第1章 2.2 圆的一般方程（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

2．2　圆的一般方程 学业标准 素养目标 1．理解圆的一般方程的特点，会根据圆的一般方程求圆心和半径．(重点) 2．会根据给定的条件灵活选取恰当的方法求圆的一般方程．(重点、难点) 1．通过圆的一般方程的学习，培养数学抽象的核心素养． 2．借助圆的一般方程的应用，提升数学运算、直观想象等核心素养. [对应学生用书P28] 导学　圆的一般方程 　圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)展开可得到一个什么式子？ [提示]　x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0. ◎结论形成 1．圆的一般方程 (1)当__D2＋E2－4F＞0__时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫作圆的一般方程，其圆心为　　，半径为　 　. (2)当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点　　. (3)当__D2＋E2－4F＜0__时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形． 2．圆的一般方程的代数特征 对于二元二次方程Ax2＋Cxy＋By2＋Dx＋Ey＋F＝0而言，圆的一般方程突出了二元二次方程表示圆时，其在代数结构上的典型特征： (1)x2，y2的系数__相同，且不等于0__，即__A＝B≠0__； (2)不含__xy__这样的二次项，即C＝__0__. 具备上述两个特征是一般二元二次方程表示圆的__必要__条件，但不是__充分__条件． [拓展]　点与圆的位置关系 已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，则其位置关系如下表： 位置关系 代数关系 点M在圆外 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＞0 点M在圆上 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＝0 点M在圆内 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＜0 [对应学生用书P28] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆．(　　) (2)利用圆的一般方程无法判断点与圆的位置关系．(　　) (3)圆的标准方程与一般方程可以相互转化．(　　) (4)利用待定系数法求圆的一般方程，需要三个独立的条件．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　 (4)√ 2．若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a＝(　　) A．－1　　　　　　　　　 B．1 C．3 D．－3 解析　∵圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心为(－1,2)，∴3x＋y＋a＝0过点(－1,2)，即－3＋2＋a＝0，∴a＝1. 答案　B 3．圆x2＋y2－4x－1＝0的圆心坐标及半径分别为(　　) A．(2,0)，5 B．(2,0)， C．(0,2)， D．(2,2)，5 解析　x2＋y2－4x－1＝0可化为(x－2)2＋y2＝5， ∴圆心为(2,0)，半径r＝. 答案　B 4．由方程x2＋y2＋x＋(m－1)y＋m2＝0所确定的圆中，最大面积是________． 解析　r2＝＝， 所以当m＝－1时，r＝，所以Smax＝π. 答案　π [对应学生用书P29] 题型一　圆的一般方程的概念 　(1)(2023·上海卷)已知圆C：x2＋y2－4y－m＝0的面积为π，则m＝________. (2)方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径． (1)[解析]　由x2＋y2－4y－m＝0，得x2＋(y－2)2＝4＋m，所以该圆的半径为(m>－4)，即π()2＝π，解得m＝－3. [答案]　－3 (2)[解析]　解法一　由方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0， 可知D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20， 所以D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2，因此，当m＝2时，D2＋E2－4F＝0，它表示一个点，当m≠2时，D2＋E2－4F＞0，原方程表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m，－m)，半径为r＝＝|m－2|. 解法二　原方程可化为(x－2m)2＋(y＋m)2＝5(m－2)2，因此，当m＝2时，它表示一个点，当m≠2时，原方程表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m，－m)，半径为r＝|m－2|. 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的 两种判断方法 (1)配方法：对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程可以通过配方变形成“标准”形式后，观察是否表示圆． (2)定义法：判断D2＋E2－4F是否大于零，确定它是否表示圆． 提醒：在利用D2＋E2－4F＞0来判断二元二次方程是否表示圆时，务必注意x2及y2的系数． [触类旁通] 1．“m＞”是“x2＋y2－2mx－m2－5m＋3＝0为圆的方程”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 解析　方程x2＋y2－2mx－m2－5m＋3＝0表示圆需满足(－2m)2－4(－m2－5m＋3)＞0，解得m＜－3或m＞，所以“m＞”是“x2＋y2－2mx－m2－5m＋3＝0为圆的方程”的充分不必要条件，故选A． 答案　A 题型二　求圆的一般方程一题多变 　(1)过点C(－1,1)和D(1,3)且圆心在直线y＝x上的圆的一般方程为________． (2)已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)，求△ABC的外接圆的方程． (1)[解析]　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心为， 所以所以 所以所求圆的一般方程为x2＋y2－2x－2y－2＝0. [答案]　x2＋y2－2x－2y－2＝0 (2)[解析]　设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 由题意得解得 即△ABC的外接圆方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0. [母题变式] 1．(变条件、变结论)本例(2)中若“点M(a,2)在△ABC的外接圆上”，其他条件不变，试求a的值． 解析　设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 由题意得解得 即△ABC的外接圆方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.又因为点M(a,2)在所求的圆上，故点M(a,2)满足圆的方程，可得a2＋22－8a－2×2＋12＝0，即a2－8a＋12＝0，解得a＝2或a＝6. 2．(变条件)本例(2)中将“点C(3，－1)”改为“圆C过A，B两点且圆关于直线y＝－x对称”，其他条件不变，如何求圆的方程？ 解析　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 则圆心是，因为圆关于直线y＝－x对称，则直线y＝－x经过圆心，即圆心在直线y＝－x上，可得－＝， 即D＝－E.又圆过点A(2,2)，B(5,3)， 由此可得， 解得D＝－13，E＝13，F＝－8， 故圆的一般方程是x2＋y2－13x＋13y－8＝0. [素养聚焦]　在求圆的一般方程的过程中，体现了数学运算、直观想象等核心素养． 圆的方程的设法技巧 (1)如果是由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径来列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r. (2)如果已知条件和圆心或半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再利用待定系数法求出常数D，E，F. 提醒：当条件与圆的圆心和半径有关时，常设圆的标准方程；条件与点有关时，常设圆的一般方程． [触类旁通] 2．已知一个圆过点O(0,0)，A(1,0)，B(0，－1)，那么该圆的方程是(　　) A．x2＋y2＋x－y＝0 B．x2＋y2－x＋y＝0 C．x2＋y2＋x＋y＝0 D．x2＋y2－x－y＝0 解析　解法一　设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)， 由题意得解得 所以所求的圆的方程为x2＋y2－x＋y＝0. 解法二　如图，AB为圆的直径，所以圆心坐标为，半径为， 所以所求的圆的方程为2＋2＝，即x2＋y2－x＋y＝0. 答案　B 题型三　与圆有关的轨迹问题 　点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1,1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点． (1)求线段AP的中点M的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程． [解析]　(1)设线段AP的中点为M(x，y)， 由中点公式，得点P的坐标为(2x－2,2y)． ∵点P在圆x2＋y2＝4上， ∴(2x－2)2＋(2y)2＝4， 故线段AP的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1. (2)设线段PQ的中点为N(x，y)， 在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|. 设O为坐标原点，连接ON(图略)， 则ON⊥PQ， ∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4， 故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0. 求与圆有关的轨迹问题的方程 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等． [触类旁通] 3．(2024·新课标Ⅱ卷)已知曲线C：x2＋y2＝16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M的轨迹方程为(　　) A．＋＝1(y>0)　　 B．＋＝1(y>0) C．＋＝1(y>0)　　 D．＋＝1(y>0) 解析　解法一　(代入法)　设M(x0，y0)，则P(x0,2y0)，因为点P在曲线C上，所以x＋(2y0)2＝16(y0>0)，即＋＝1(y0>0)，所以线段PP′的中点M的轨迹方程为＋＝1(y>0)，故选A． 解法二　(数形结合法)　由题意可知把曲线C上所有点的纵坐标缩短至原来的一半，横坐标不变，即可得到点M的轨迹．曲线C为半圆，则点M的轨迹为椭圆(x轴上方部分)，其中长半轴长为4，短半轴长为2，故选A． 答案　A [缜密思维提能区]　易错案例 求动点的轨迹方程 [典例]　已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是________． [解析]　解法一　设P(x，y)，由条件知PM⊥PN，且PM，PN的斜率肯定存在，故kPM·kPN＝－1， 即·＝－1， x2＋y2＝4. 又当P，M，N三点共线时，―→ 不能构成三角形，所以x≠±2， 即所求轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2)． 解法二　由题可知，点P的轨迹是以MN为直径的圆 (除去M，N两点)，―→ 所以点P的轨迹方程是x2＋y2＝4(x≠±2)． [答案]　x2＋y2＝4(x≠±2) [纠错心得]　求曲线的轨迹方程的注意事项 (1)根据题目的条件，选用适当的求轨迹的方法，如本例中若能想到定义法求轨迹方程，可快速解题； (2)要看清是求轨迹还是求轨迹方程，轨迹是轨迹方程所表示的曲线(图形)； (3)验证轨迹上是否有应去掉或漏掉的点．如本例中P，M，N三点共线时，不能构成三角形，故x≠±2. 知识落实 技法强化 1．圆的一般方程的定义及其理解． 2．求圆的一般方程． 3．圆的一般方程的综合应用. 1．二元二次方程Ax2＋By2＋Cxy＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是 2．求圆的方程可用待定系数法来确定，在设方程时，要根据实际情况设出适当方程，以便简化解题过程. 学科网（北京）股份有限公司 $$