第1章 2.1 圆的标准方程（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

§2　圆与圆的方程 2．1　圆的标准方程 学业标准 素养目标 1．会用定义推导圆的标准方程，并掌握圆的标准方程的特征．(难点) 2．能根据所给条件求圆的标准方程．(重点) 3．掌握点与圆的位置关系．(难点) 1．通过学习圆的标准方程，培养直观想象核心素养． 2．借助圆的标准方程的应用，提升数学运算等核心素养. [对应学生用书P24] 导学1　圆的标准方程 　若已知圆的圆心坐标为C(a，b)，半径为r(其中a，b，r都是常数，r＞0)．设M(x，y)为这个圆上的任意一点，那么点M满足的条件是什么？该圆如何用集合来表示？ [提示]　|MC|＝r，P＝{M||MC|＝r}． ◎结论形成 圆的标准方程 方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)①，平面内圆C上的点P的坐标(x，y)满足__方程①__，反之，以满足方程①的(x，y)为坐标的点P一定在__圆C上__．因此，方程①就是以点__C(a，b)__为圆心，__r__为半径的圆的方程，称此方程为圆的标准方程． 导学2　点与圆的位置关系 　平面内任意一点M(x，y)到圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的圆心C(a，b)的距离如何求，怎样判断点M与圆C的位置关系？ [提示]　|MC|＝， 当|MC|＞r时，点M在圆C外； 当|MC|＝r时，点M在圆C上； 当|MC|＜r时，点M在圆C内． ◎结论形成 点与圆的位置关系的判定 圆C的圆心为C(a，b)，半径为r(r＞0)，则点M1(x1，y1)在圆C外的充要条件是(x1－a)2＋(y1－b)2＞r2；点M2(x2，y2)在圆C内的充要条件是(x2－a)2＋(y2－b)2＜r2. [对应学生用书P25] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2表示圆．(　　) (2)若圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝m2(m≠0)，则圆心为(a，b)，半径为m.(　　) (3)圆心是原点的圆的标准方程是x2＋y2＝r2(r＞0)．(　　) (4)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　 (4)√ 2．若直线2x＋y－1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝(　　) A．　　　　　　 B．－ C．1 D．－1 解析　若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，圆心坐标(a,0)，所以由2a＋0－1＝0解得a＝. 答案　A 3．点P(a,10)与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2的位置关系是(　　) A．在圆外 B．在圆上 C．在圆内 D．与a的值有关 解析　因为＝＞，故点P(a,10)在圆外． 答案　A 4．圆心在直线x＝2上的圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C的方程为________． 解析　由题意知圆心坐标为(2，－3)，半径r＝＝，所以圆C的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5. 答案　(x－2)2＋(y＋3)2＝5 [对应学生用书P25] 题型一　求圆的标准方程一题多变 　(1)圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为(　　) A．x2＋(y－2)2＝1　　 B．x2＋(y＋2)2＝1 C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1 (2)已知圆过点A(1，－1)，B(－1,1)，求圆心C在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程． (1)[解析]　设圆心(0，m)，依题意＝1，解得m＝2. ∴圆的方程为x2＋(y－2)2＝1，故选A． [答案]　A (2)[解析]　解法一　设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 由已知条件知 解此方程组，得 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. 解法二　设点C为圆心， ∵点C在直线x＋y－2＝0上， ∴可设点C的坐标为(a,2－a)． 又∵该圆经过A，B两点，∴|CA|＝|CB|. ∴ ＝， 解得a＝1. ∴圆心坐标为C(1,1)，半径长r＝|CA|＝2. 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. 解法三　由已知可得线段AB的中点坐标为(0,0)，kAB＝＝－1， 所以弦AB的垂直平分线的斜率为k＝1， 所以AB的垂直平分线的方程为y－0＝1·(x－0)，即y＝x.则圆心是直线y＝x与x＋y－2＝0的交点， 由 得即圆心为(1,1)， 圆的半径为＝2， 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. [母题变式] 1．(变条件)本例(2)中条件“圆心C在直线x＋y－2＝0上”若换为“圆心C在y轴上”，其他条件不变，其结论又如何呢？ 解析　设圆心C(0，b)，则|AC|＝|BC|，解得b＝0.故圆的方程为x2＋y2＝2. 2．(变条件、变结论)本例(2)中条件“圆心C在直线x＋y－2＝0上”去掉，其他条件不变，试求周长最小的圆的方程． 解析　经过A，B两点且周长最小即半径最小，故应是以AB为直径的圆．又AB中点为(0,0)，半径R＝. 所求圆的方程为x2＋y2＝2. 确定圆的标准方程，从思路上可分为两种：几何法和待定系数法． (1)几何法 它是利用图形的几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心和半径，代入圆的标准方程，从而得到圆的标准方程． (2)待定系数法 由三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的标准方程中三个参数，从而确定圆的标准方程．它是求圆的方程最常用的方法，一般步骤是： ①设—设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2； ②列—由已知条件，建立关于a，b，r的方程组； ③解—解方程组，求出a，b，r； ④代—将a，b，r代入所设方程，得所求圆的方程． [触类旁通] 1．(1)与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为________________． (2)以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的标准方程是________________． 解析　(1)∵圆心坐标为(－5，－3)，又与y轴相切，∴该圆的半径为5，∴该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25. (2)∵AB为直径，∴AB的中点(1,2)为圆心，|AB|＝＝5为半径，∴该圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25. 答案　(1)(x＋5)2＋(y＋3)2＝25　(2)(x－1)2＋(y－2)2＝25 题型二　点与圆的位置关系 　如图，已知两点P1(4,9)和P2(6,3)． (1)求以P1P2为直径的圆的方程； (2)试判断点M(6,9)，N(3，3)，Q(5,3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？ [解析]　(1)解法一　设圆心C(a，b)，半径r，则由C为P1P2的中点得a＝＝5，b＝＝6. 又由两点间的距离公式得 r＝|CP1|＝＝， ∴所求圆的方程为(x－5)2＋(y－6)2＝10. 解法二　∵半圆上的圆周角是直角， ∴对于圆上任一点P(x，y)，有PP1⊥PP2. ①当PP1，PP2的斜率都存在时，有kPP1·kPP2＝－1，即·＝－1(x≠4且x≠6)， 化简得x2＋y2－10x－12y＋51＝0， 即(x－5)2＋(y－6)2＝10(x≠4且x≠6)．* ②当PP1，PP2斜率有一个不存在时，有x＝4或x＝6，这时点P的坐标为(4,3)或(6,9)，它们都满足方程*. 又∵P1(4,9)，P2(6,3)的坐标满足方程， ∴所求圆的方程为(x－5)2＋(y－6)2＝10. (2)分别计算点到圆心的距离： |CM|＝＝； |CN|＝＝＞； |CQ|＝＝3＜. 因此，点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内． 判断点与圆位置关系的两种方法 (1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小． (2)代数法：主要是把点的坐标代入圆的标准方程来判断： ①点P(x0，y0)在圆C上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2； ②点P(x0，y0)在圆C内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2； ③点P(x0，y0)在圆C外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2. [触类旁通] 2．(1)点P(m2,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　) A．在圆内 B．在圆外 C．在圆上 D．不确定 (2)已知点M(5＋1，)在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围是________． 解析　(1)设O为圆心，r为半径，判断点P与圆的位置关系，即寻求|PO|与r的关系．则|PO|2＝m4＋25＞24＝r2，所以点P在圆外． (2)由于点在圆的内部，所以(5＋1－1)2＋()2＜26，即26a＜26，又a≥0，解得0≤a＜1. 答案　(1)B　(2)0≤a＜1 题型三　与圆有关的最值问题 　已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3. (1)求的最大值和最小值； (2)求y－x的最大值和最小值； (3)求x2＋y2的最大值和最小值． [解析]　(1)原方程表示以点(2,0)为圆心，以为半径的圆，设＝k，即y＝kx，当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，此时＝，解得k＝±. 故的最大值为，最小值为－. (2)设y－x＝b，即y＝x＋b， 当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时＝，即b＝－2±. 故y－x的最大值为－2＋， 最小值为－2－. (3)x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，故(x2＋y2)max＝(2＋)2＝7＋4，(x2＋y2)min＝(2－)2＝7－4. [素养聚焦]　通过求解与圆有关的最值问题，提升了直观想象、数学运算等核心素养． 常见的与圆有关的最值问题的几种类型 (1)形如u＝形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题． (2)形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－x＋截距的最值问题． (3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题． [触类旁通] 3．已知x和y满足(x＋1)2＋y2＝，则x2＋y2的最大值为________，最小值为________． 解析　由题意知x2＋y2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值．原点(0,0)到圆心(－1,0)的距离为d＝1，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋＝，最小距离为1－＝，因此x2＋y2的最大值和最小值分别为和. 答案　　 [缜密思维提能区]　易错案例 求圆的标准方程 [典例]　已知圆C经过A(0,0)，B(2,0)，且圆心在第一象限，△ABC为直角三角形，则圆C的方程为(　　) A．(x－1)2＋(y－1)2＝4 B．(x－)2＋(y－)2＝2 C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－2)2＝5 [解析]　因为圆心在弦的垂直平分线上， 所以可设C(1，m)， 由于△ABC为等腰直角三角形， 所以|AC|＝＝， 因为m＞0，所以m＝1， 所以圆心坐标为(1,1)，圆的半径为. 所以圆C的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.故选C． [答案]　C [纠错心得]　求圆的标准方程的关键是求圆心坐标和半径长，求圆心坐标时要特别注意圆的性质的应用，常用的性质有： (1)圆上的点到圆心的距离等于半径； (2)圆的对称轴是任意一条过圆心的直线； (3)弦的垂直平分线过圆心．本题中圆心在弦AB的垂直平分线上，所以圆心的横坐标为1，可设C(1，m)． 知识落实 技法强化 1．圆的标准方程． 2．点与圆的位置关系． 3．利用圆的方程求最值. 1．确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a，b，r的方程组求a，b，r或直接求出圆心(a，b)和半径r. 2．依据题意适时的运用圆的几何性质解题可以化繁为简，提高解题效率. 学科网（北京）股份有限公司 $$