第1章 1.6 平面直角坐标系中的距离公式（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

1．6　平面直角坐标系中的距离公式 学业标准 素养目标 1．理解并掌握两点间的距离公式，会用公式解决有关问题．(重点) 2．探索并掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行直线间的距离．(重点、难点) 1．通过对距离公式的推导，培养逻辑推理、直观想象等核心素养． 2．通过距离公式的应用，提升直观想象、数学运算等核心素养. [对应学生用书P20] 导学1　两点间的距离公式 　在x轴上两点A1(x1,0)，B1(x2,0)间的距离如何计算？ [提示]　|A1B1|＝|x2－x1|. 　在y轴上两点C(0，y1)，D(0，y2)间的距离如何计算？ [提示]　|CD|＝|y2－y1|. ◎结论形成 两点间的距离公式，若坐标平面内的两点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝　　. 导学2　点到直线的距离公式 　直线外一点和直线上的点的连线中哪条线段最短？ [提示]　垂线段． 　点A(1,2)到直线x＝5和y＝5的距离分别是多少？ [提示]　4和3. ◎结论形成 点到直线的距离公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝　　(其中A，B不全为0)． 导学3　两条平行直线间的距离公式 　直线l1：x＋y－1＝0上有A(1,0)，B(0,1)，C(－1，2)三点，直线l2：x＋y＋1＝0与直线l1平行，那么点A，B，C到直线l2的距离分别为多少？有什么规律吗？ [提示]　点A，B，C到直线l2的距离都是.规律是当两直线平行时，一条直线上任一点到另一条直线的距离都相等． ◎结论形成 两条平行线间的距离公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d，则d＝　(A，B不全为0，C1≠C2)　. [对应学生用书P20] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当A＝0或B＝0或点P在直线l上时，点P到直线Ax＋By＋C＝0的距离公式仍然适用．(　　) (2)当两直线平行时，一条直线上任一点到另一条直线的距离都相等．(　　) (3)在用两平行线间的距离公式时，两方程中x，y的系数对应成比例即可．(　　) (4)点P(x0，y0)到x轴的距离是d＝y0.(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)×　 (4)× 2．已知A(－1,0)，B(5,6)，C(3,4)三点，则＝(　　) A．　　　　　　　 B． C．3 D．2 解析　由两点间的距离公式，得 |AC|＝＝4， |CB|＝＝2， 故＝＝2. 答案　D 3．已知点(3，m)到直线x＋y－4＝0的距离等于1，则m＝(　　) A． B．－ C．－ D．或－ 解析　由点到直线的距离公式得＝1，解得m＝或－. 答案　D 4．直线3x＋4y－2＝0和6x＋8y－5＝0的距离等于________． 解析　直线6x＋8y－5＝0化为3x＋4y－＝0. 故两直线平行，且两直线间的距离为： d＝＝＝. 答案　 [对应学生用书P21] 题型一　两点间距离公式的应用一题多变 　已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，试判断△ABC的形状． [解析]　解法一 ∵|AB|＝＝， |AC|＝＝， |BC|＝＝， ∴|AB|＝|AC|，且|AB|2＋|AC|2＝|BC|2. ∴△ABC是等腰直角三角形． 解法二　∵kAC＝＝，kAB＝＝－，∴kAC·kAB＝－1.∴AC⊥AB． 又|AC|＝＝， |AB|＝＝， ∴|AC|＝|AB|.∴△ABC是等腰直角三角形． [母题变式] (变结论)本例条件不变，求BC边上的中线AM的长和AM所在直线的方程． 解析　易知M(2,2)，则|AM|＝＝.直线AM的方程为＝，即x－5y＋8＝0. 两点间的距离公式是解析几何的重要公式之一，它主要解决线段的长度问题，体现了数形结合思想的应用． [触类旁通] 1．在△ABC中，AO是BC边上的中线，求证：|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)． 证明　以BC的中点O为原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图，则O(0,0)，设B(－a,0)，C(a,0)，A(m，n)，其中a＞0， 则|AB|2＋|AC|2＝(m＋a)2＋n2＋(m－a)2＋n2＝2(m2＋n2＋a2)，|AO|2＋|OC|2＝m2＋n2＋a2，故|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)． 题型二　点到直线、平行线间距离公式的应用 　(1)两条平行直线3x＋4y－12＝0与ax＋8y＋11＝0间的距离为(　　) A．　　　　　　　　　 B． C． D． (2)求过点P(1,2)且与点A(2,3)，B(4，－5)的距离相等的直线l的方程． (1)[解析]　由直线平行的充要条件可得＝，∴a＝6，所以两条平行直线6x＋8y－24＝0与6x＋8y＋11＝0间的距离为d＝＝＝.故选C． [答案]　C (2)[解析]　解法一　由题意知kAB＝－4，线段AB的中点为C(3，－1)，所以过点P(1,2)与直线AB平行的直线方程为y－2＝－4(x－1)， 即4x＋y－6＝0.此直线符合题意． 过点P(1,2)与线段AB中点C(3，－1)的直线方程为＝， 即3x＋2y－7＝0.此直线也符合题意． 故所求直线l的方程为4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0. 解法二　显然所求直线的斜率存在． 设直线方程为y＝kx＋b， 根据条件得 化简得或 所以或 所以所求直线l的方程为： y＝－4x＋6或y＝－x＋， 即4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0. 1．求点到直线的距离时，先把直线方程化为一般式，再代入公式．如果直线垂直于坐标轴，那么可结合图形求解． 2．利用平行线间的距离公式时要注意两条直线方程中x，y的系数必须对应相等． [触类旁通] 2．(1)(多选)已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值等于(　　) A． B． C．－ D．－ (2)经过点M(－2,1)与原点距离为2的直线方程为________． 解析　(1)由点到直线的距离公式可得＝，化简得|3a＋3|＝|6a＋4|，解得a＝－或a＝－.故选CD． (2)①当经过M点的直线斜率不存在时，过点M且与原点距离为2的直线为x＝－2. ②当经过M点的直线斜率存在时，可设方程y－1＝k(x＋2)，即kx－y＋1＋2k＝0. 依题意得＝2，解得k＝，所求直线为3x－4y＋10＝0. 综上所求直线的方程为x＝－2或3x－4y＋10＝0. 答案　(1)CD　(2)x＝－2或3x－4y＋10＝0 题型三　距离公式的综合应用 　已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点． (1)若点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程； (2)求点A(5,0)到l的距离的最大值． [解析]　(1)解法一　联立⇒交点P(2，1)． 当直线斜率存在时， 设l的方程为y－1＝k(x－2)， 即kx－y＋1－2k＝0， ∴＝3，解得k＝， ∴l方程为y－1＝(x－2)， 即4x－3y－5＝0. 而直线斜率不存在时直线x＝2也符合题意， 故所求l方程为4x－3y－5＝0或x＝2. 解法二　经过两已知直线交点的直线系方程为 (2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0， 即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0， ∴＝3， 即2λ2－5λ＋2＝0，解得λ＝2或， ∴l的方程为4x－3y－5＝0或x＝2. (2)由，解得交点P(2,1)， 过P任意作直线l，设d为A到l的距离，则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)，∴dmax＝|PA|＝. [素养聚焦]　通过距离公式的综合应用，提升了数学运算、逻辑推理等核心素养． 1．解有关过已知两条直线的交点的直线方程问题，可以先求出两已知直线的交点坐标，再结合其他条件求解，也可不解交点坐标，利用过两直线交点的直线系方程求解． 2．求有关距离最值问题的两种方法 (1)利用解析几何知识构造一个函数，然后利用函数求最值． (2)利用几何性质求最值 ①两点之间线段最短，直角三角形斜边大于直角边，三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边等； ②寻找定长线段． [触类旁通] 3．(1)点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，则x2＋y2的最小值是(　　) A．8　　　　　　　　　 B．2 C． D．16 (2)两条相互平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d，求： ①d的取值范围； ②当d取最大值时，两条直线的方程． (1)解析　x2＋y2表示直线上的点P(x，y)到原点距离的平方，因为原点到直线x＋y－4＝0的距离为＝2，所以x2＋y2的最小值为8，故选A． 答案　A (2)解析　①如图，显然有0＜d≤|AB|. 而|AB|＝＝3， 故所求d的变化范围是(0,3]． ②由图知，当d取最大值时，两直线均垂直于AB，而kAB＝＝，所以所求直线的斜率为－3.故所求的直线方程为y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0. 知识落实 技法强化 1．点到点及点到直线的距离公式的推导过程． 2．点到直线的距离公式d＝. 3．公式的应用. 1．方法归纳：公式法、数形结合法． 2．设直线方程要讨论斜率存在与不存在两种情况. 学科网（北京）股份有限公司 $$