第1章 1.5 两条直线的交点坐标（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

1．5　两条直线的交点坐标 学业标准 素养目标 1．会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标． 2．会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系． 3．能解决简单的直线共点问题. 1．通过求两直线的交点坐标，提升学生数学运算等核心素养． 2．通过两直线交点的简单应用，培养学生直观想象、逻辑推理等核心素养. [对应学生用书P17] 导学　两条直线的交点坐标 　直线上的点与其方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的解有什么样的关系？ [提示]　直线l上每一个点的坐标都满足直线方程，也就是说直线上的点的坐标是其方程的解．反之，直线l的方程的每一个解都表示直线上的点的坐标． 　已知两条直线l1与l2相交，如何用代数方法求它们的交点的坐标？ [提示]　只需写出这两条直线的方程，然后联立求解． ◎结论形成 两条直线相交的判断及交点坐标的求法 对于两条不重合的直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，我们可以用直线的__斜率(斜率存在时)或法向量__先定性判断两条直线是否相交，若相交，则两条直线l1，l2交点的__坐标__就是两个方程的__公共解__．因此，可通过求解方程组得到两条直线l1，l2的交点__坐标__． [对应学生用书P17] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线x＝1与y＝2的交点坐标是(1,2)．(　　) (2)直线x＋y＝0和2x＋2y＋3＝0的交点有无数个．(　　) (3)直线(m＋1)x－my＋1＝0恒过定点(1,1)．(　　) (4)直线x＋y－4＝0经过直线x－y＝0和2x－y－2＝0的交点．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．不论m为何实数，直线l：(m－1)x＋(2m－3)y＋m＝0恒过定点(　　) A．(－3，－1)　　　　　 B．(－2，－1) C．(－3,1) D．(－2,1) 解析　令m＝1得y＝1，令m＝得x＝－3. 答案　C 3．斜率为－2，且过两条直线3x－y＋4＝0和x＋y－4＝0交点的直线方程为______________． 解析　由得 又k＝－2，故所求方程为y－4＝－2x， 即2x＋y－4＝0. 答案　2x＋y－4＝0 4．记直线x－2y＋4＝0和x＋3y－2＝0的交点为A，则经过A且与x－2y＋4＝0相垂直的直线方程为________________． 解析　由得交点， 又所求直线与x－2y＋4＝0垂直， ∴所求直线斜率为－2. ∴所求直线方程为y－＝－2， 即2x＋y＋2＝0. 答案　2x＋y＋2＝0 [对应学生用书P17] 题型一　两条直线的交点问题 　分别判断下列直线l1与l2是否相交．如果相交，求出交点的坐标． (1)l1：x－y＝0，l2：3x＋3y－10＝0； (2)l1：3x－y＋4＝0，l2：6x－2y－1＝0； (3)l1：3x＋4y－5＝0，l2：6x＋8y－10＝0. [解析]　(1)解方程组得 所以l1与l2相交，交点是M. (2)解方程组 ①×2－②得9＝0，矛盾，这个方程组无解，所以l1与l2无公共点，l1∥l2. (3)解方程组 ①×2得6x＋8y－10＝0. ①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，l1与l2重合． 两条直线相交的判定方法 方法一 联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交 方法二 两直线的斜率都存在，且斜率不相等 方法三 两直线的斜率一个存在，另一个不存在 [触类旁通] 1．判断下列各对直线的位置关系．若相交，求出交点坐标． (1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0； (2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0. 解析　(1)解方程组得 所以直线l1与l2相交，交点坐标为(－1，－1)． (2)解方程组 ①×2－②，得1＝0，矛盾，方程组无解．所以直线l1与l2无公共点，即l1∥l2. 题型二　过两直线交点的直线与方程一题多变 　求过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程． [解析]　解法一(直接法) 解方程组得 所以两直线的交点坐标为. 又因为所求直线与直线3x＋y－1＝0平行， 所以所求直线的斜率为－3，故所求直线方程为y－＝－3， 即15x＋5y＋16＝0. 解法二(待定系数法)　设所求直线为l， 因为直线l过已知两直线的交点，因此设直线l的方程为2x－3y－3＋μ(x＋y＋2)＝0(其中μ为常数)， 即(μ＋2)x＋(μ－3)y＋2μ－3＝0. 又直线l与直线3x＋y－1＝0平行，所以－＝－3且≠，解得μ＝. 将μ＝代入直线l的方程，并整理， 得15x＋5y＋16＝0，即为所求． [母题变式] (变条件)在本例中将“与直线3x＋y－1＝0平行”改为“与直线3x＋y－1＝0垂直”，其他条件不变，如何求？ 解析　两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点坐标为. 又与直线3x＋y－1＝0垂直，故所求直线的斜率为，即所求直线的方程为y＋＝，即5x－15y－18＝0. 解本题有两种方法：一是采用常规方法，先通过解方程组求出两直线交点，再根据平行关系求出斜率，由点斜式写出直线方程；二是采用过两直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，直接设出过两直线交点的方程，再根据平行条件求待定系数． [触类旁通] 2．过两直线3x＋y－1＝0与x＋2y－7＝0的交点，并且与第一条直线垂直的直线方程是(　　) A．x－3y＋7＝0　　　 B．x－3y＋13＝0 C．2x－y＋7＝0 D．3x－y－5＝0 解析　由得交点(－1,4)． 因为所求直线与3x＋y－1＝0垂直， 所以所求直线的斜率为k＝， 所以所求直线方程为y－4＝(x＋1)， 即x－3y＋13＝0. 答案　B 题型三　直线过定点问题 　求证：不论λ为何实数，直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3都恒过一定点． [证明]　证法一(特殊值法) 取λ＝0，得到直线l1：2x＋y＋3＝0，取λ＝1， 得到直线l2：x＝－3， 故l1与l2的交点为P(－3,3)． 将点P(－3,3)代入方程左边， 得(λ＋2)×(－3)－(λ－1)×3＝－6λ－3， ∴点(－3,3)在直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3上． ∴直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3恒过定点(－3，3)． 证法二(分离参数法) 由(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3，整理，得(2x＋y＋3)＋λ(x－y＋6)＝0. 则直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3通过直线2x＋y＋3＝0与x－y＋6＝0的交点． 由方程组得 ∴直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3恒过定点(－3，3)． [素养聚焦]　在求解直线过定点问题的过程中，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养． 解含有参数的直线恒过定点的问题的两种方法 (1)任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解． (2)含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得．若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0)． [触类旁通] 3．已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0. (1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限； (2)若使直线l不经过第二象限，求a的取值范围． (1)证明　直线l的方程可化为y－＝a，所以不论a取何值，直线l恒过定点A，又点A在第一象限，所以不论a取何值，直线l恒过第一象限． (2)解析　令x＝0，y＝，由题意，得≤0，解得a≥3.所以a的取值范围为[3，＋∞)． [缜密思维提能区]　易错辨析 对“不能构成三角形”讨论不全面而致误 [典例]　若三条直线l1：4x＋y＋4＝0，l2：mx＋y＋1＝0，l3：x－y＋1＝0不能围成三角形，求m的值． [错解]　当三条直线中至少有两条平行时，三条直线不能围成三角形．显然l1与l3不平行．当l1∥l2时，m＝4；当l2∥l3时，m＝－1. [正解]　显然l1与l3不平行，当l1∥l2或l2∥l3时，不能构成三角形，此时对应m的值分别为m＝4，m＝－1；当直线l1，l2, l3经过同一个点时，也不能构成三角形，由得代入l2的方程，得－m＋1＝0， ∴m＝1，综上可得m＝4或－1或1. [纠错心得]　解决三条直线不能围成三角形的问题时，除了三条直线中至少有两条平行外，还要注意三线共点这一特殊情况． 知识落实 技法强化 1．两条直线的交点． 2．直线过定点问题. 1．方法归纳：消元法、直线系法． 2．常见误区：对两直线相交条件认识模糊. 学科网（北京）股份有限公司 $$