第1章 1.4 两条直线的平行与垂直（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

1．4　两条直线的平行与垂直 学业标准 素养目标 1．理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件． 2．能根据已知条件判断两直线的平行与垂直． 3．能应用两条直线平行或垂直解决实际问题. 1．通过两条直线平行及垂直条件的理解、培养学生数学抽象、直观想象等核心素养． 2．通过两直线平行及垂直条件的应用，提升学生直观想象、数学运算等核心素养. [对应学生用书P14] 导学1　两条直线平行 　直线l1：3x＋2y－6＝0与直线l2：3x＋2y＋6＝0的位置关系是怎样的？ [提示]　由得方程组无解． 所以直线l1与直线l2平行． ◎结论形成 两条平行直线与斜率之间的关系 1．对于两条直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2，l1∥l2⇔__k1＝k2且b1≠b2__. 2．若直线l1与直线l2的斜率都不存在，则它们都是倾斜角为的直线，从而它们互相__平行或重合__． 导学2　两条直线垂直 　如果两条直线的斜率存在且满足k1·k2＝－1，是否一定有l1⊥l2？为什么？ [提示]　一定有l1⊥l2.不妨设k2＜0，即α2为钝角，因为k1·k2＝－1， 则有tan α2tan α1＝－1， 所以tan α2＝－. 又α1∈[0°，180°)，α2∈[0°，180°)，所以tan α2＝tan(90°＋α1)，则α2＝90°＋α1，所以l1⊥l2. 　对任意两条直线，如果l1⊥l2，一定有k1·k2＝－1吗？为什么？ [提示]　不一定，因为如果直线l1和l2分别平行于x，y轴，则k2不存在，所以k1·k2＝－1不成立． ◎结论形成 两条直线垂直与斜率之间的关系 1．对于两条不重合的直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1. 2．当l1，l2中有一条直线的斜率不存在时，说明斜率不存在的直线与x轴垂直，因此，若l1⊥l2，则另一条直线与x轴__平行或重合__，即另一条直线的斜率为0. [拓展]　设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. [对应学生用书P14] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平行的两条直线的斜率一定存在且相等．(　　) (2)斜率相等的两条直线(两直线不重合)一定平行．(　　) (3)若两条直线垂直，则斜率乘积为－1.(　　) (4)若两条直线的斜率都存在且不等，则两条直线相交．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　 (4)√ 2．已知直线l1过点(1,1)与3x＋5y－6＝0平行，则l1的方程是(　　) A．3x＋5y＋8＝0　　　 B．3x＋5y－8＝0 C．5x＋3y＋8＝0 D．5x＋3y－8＝0 解析　∵l1∥l2，∴设l1：3x＋5y＋C＝0，又l1过点(1,1)，∴3×1＋5×1＋C＝0，∴C＝－8，即l1的方程是3x＋5y－8＝0.故选B． 答案　B 3．过点(1,6)，且垂直于直线x－2y＝0的直线方程是(　　) A．2x＋y－8＝0 B．2x－y－8＝0 C．2x＋y＋8＝0 D．2x－y＋8＝0 解析　根据垂直关系得所求直线的斜率为－2，又过点(1,6)，所以所求直线方程为y－6＝－2(x－1)，即2x＋y－8＝0. 答案　A 4．若直线l1：x－2y－1＝0和直线l2：2x－ay－a＝0平行，则实数a＝________. 解析　由于l1∥l2，所以1×(－a)－(－2)×2＝0且－2×(－a)－(－a)×(－1)≠0，解得a＝4. 答案　4 [对应学生用书P15] 题型一　两条直线平行、垂直的判定 　判断下列各组直线是否平行或垂直，并说明理由． (1)l1经过点A(2,3)，B(－4,0)，l2经过点M(－3,1)，N(－2,2)； (2)l1的斜率为－10，l2经过点A(10,2)，B(20，3)； (3)l1：y－2＝0，l2：y＋1＝0. [解析]　设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2. (1)k1＝＝，k2＝＝1， 所以k1≠k2且k1·k2≠－1，从而l1与l2既不平行又不垂直． (2)因为k1＝－10，k2＝＝， 所以k1·k2＝－1，从而l1与l2垂直． (3)因为k1＝k2＝0，且l1与l2不重合， 从而l1∥l2. 判断两条不重合直线是否平行或垂直的步骤 [触类旁通] 1．判断下列各题中直线l1与l2是否平行或垂直． (1)l1经过点A(－1，－2)，B(2,1)，l2经过点M(3，4)，N(－1，－1)； (2)l1经过点A(－3,2)，B(－3,10)，l2经过点M(5，－2)，N(5,5)． (3)l1经过点A(－3，－4)，B(1,3)，l2经过点M(－4，－3)，N(3,1)； (4)l1经过点A(3,4)，B(3,10)，l2经过点M(－10，40)，N(10,40)． 解析　设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2， (1)k1＝＝1，k2＝＝. ∵k1≠k2，k1·k2≠－1，∴l1与l2既不平行也不垂直． (2)∵l1与l2都与x轴垂直，且l1与l2不重合，∴l1∥l2. (3)k1＝＝，k2＝＝，k1≠k2，k1k2≠－1，∴l1与l2既不平行也不垂直． (4)k1不存在，则l1⊥x轴；k2＝＝0，则l2∥x轴，∴l1⊥l2. 题型二　平面几何中的平行与垂直问题 　已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3，0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定图形ABCD的形状． [解析]　由题意知A，B，C，D四点在坐标平面内的位置，如图所示， 由斜率公式可得kAB＝＝，kCD＝＝，kAD＝＝－3，kBC＝＝－. 所以kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合， 所以AB∥CD．由kAD≠kBC， 所以AD与BC不平行． 又因为kAB·kAD＝×(－3)＝－1， 所以AB⊥AD，故四边形ABCD为直角梯形． 利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤 [触类旁通] 2．(1)已知A(－1,2)，B(1,3)，C(0，－2)，AD⊥BC，AB∥CD，则点D的坐标为(　　) A．　　　　　 B． C． D． 答案　D (2)已知四边形MNPQ的顶点坐标为M(1,1)，N(3，－1)，P(4,0)，Q(2,2)，求证：四边形MNPQ为矩形． 证明　∵kMN＝＝－1，kPQ＝＝－1， ∴MN∥PQ. 又∵kMQ＝＝1，kNP＝＝1， ∴MQ∥NP，∴四边形MNPQ为平行四边形． 又kMN·kMQ＝－1，∴MN⊥MQ， ∴平行四边形MNPQ为矩形． 题型三　含参数的两条直线平行与垂直问题 　当a为何值时，直线(a－1)x－2y＋4＝0与x－ay－1＝0满足下列关系．(1)平行；(2)垂直． [解析]　解法一　当a＝0或1时，两直线既不平行，也不垂直； 当a≠0且a≠1时，直线(a－1)x－2y＋4＝0的斜率为k1＝，b1＝2； 直线x－ay－1＝0的斜率为k2＝，b2＝－. (1)当两直线平行时， 由k1＝k2，b1≠b2，即＝，a≠－， 解得a＝－1或a＝2. 所以当a＝－1或2时，两直线平行． (2)当两直线垂直时， 由k1·k2＝－1，即·＝－1， 解得a＝.所以当a＝时，两直线垂直． 解法二　直线(a－1)x－2y＋4＝0的一个法向量为n1＝(a－1，－2)， 直线x－ay－1＝0的一个法向量为n2＝(1，－a)． (1)由n1∥n2得－a×(a－1)－1×(－2)＝0，解得a＝2或a＝－1，经检验a＝2或a＝－1时两条直线不重合，故所求a的值为2或－1. (2)两条直线垂直⇔n1·n2＝0. 即1×(a－1)＋(－2)(－a)＝0，解得a＝. [素养聚焦]　逻辑推理、数学运算等核心素养体现在本例的求解过程中． 1．根据两直线的一般式方程判定两直线平行的方法 (1)判定斜率是否存在，若存在，化成斜截式后则k1＝k2，且b1≠b2；若都不存在，则还要判定不重合． (2)一般地，设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1∥l2⇔ 2．根据两直线的一般式方程判定两直线垂直的方法 (1)若一个斜率为零，另一个斜率不存在，则两直线垂直．若两个都存在斜率，化成斜截式后，则k1k2＝－1. (2)一般地，设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0，第二种方法可避免讨论，减小失误． [触类旁通] 3．(多选)已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k＝(　　) A．1　　　　　　　　　 B．2 C．3 D．5 解析　k＝3时，l1：y＋1＝0，l2：－2y＋3＝0显然平行； k＝4时，l1：x＋1＝0，l2：2x－2y＋3＝0，显然不平行； k≠3且k≠4时，要使l1∥l2，应有＝≠⇒k＝5. 综上所述k＝3或5，故选CD． 答案　CD 知识落实 技法强化 1．两直线平行的判定． 2．两直线垂直的判定. 1．方法归纳：分类讨论、数形结合． 2．研究两直线平行、垂直关系时易忽略直线斜率为0或斜率不存在的情况. 学科网（北京）股份有限公司 $$