第2章 3.1 抛物线及其标准方程（Word练习）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．(多选)经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程为(　　) A．y2＝x　　　　　 B．x2＝8y C．x2＝－8y D．y2＝－8x 解析　若抛物线的焦点在x轴上，设抛物线的方程为y2＝2px，又因为抛物线经过点P(4，－2)，所以(－2)2＝2p×4，解得p＝，所以抛物线的方程为y2＝x.若抛物线的焦点在y轴上，设抛物线的方程为x2＝2p′y，因为抛物线经过点P(4，－2)，所以42＝2p′×(－2)，解得p′＝－4，所以抛物线的方程为x2＝－8y.故选AC． 答案　AC 2．已知抛物线的焦点为F(a,0)(a＜0)，则抛物线的标准方程是(　　) A．y2＝2ax B．y2＝4ax C．y2＝－2ax D．y2＝－4ax 解析　因为抛物线的焦点为F(a,0)(a＜0)，所以抛物线的标准方程为y2＝4ax，故选B． 答案　B 3．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为(　　) A．2 B．2 C．2 D．4 解析　抛物线C的准线方程为x＝－，焦点F(， 0)，由|PF|＝4及抛物线的定义知，P点的横坐标xP＝3，从而yP＝±2， 所以S△POF＝|OF|·|yP|＝××2＝2. 答案　C 4．已知抛物线y2＝2px(p＞0)上的点到准线的最小距离为，则抛物线的焦点坐标为________． 解析　抛物线y2＝2px(p＞0)上的点(x0，y0)到准线的距离d＝x0＋(x0≥0)，故dmin＝，依题意＝，即焦点坐标(，0)． 答案　(，0) 5．设抛物线y＝mx2(m≠0)的准线与直线y＝1的距离为3，则抛物线的标准方程为________． 解析　y＝mx2(m≠0)可化为x2＝y， 其准线方程为y＝－.由题意知－＝－2或－＝4，解得m＝或m＝－， 故所求抛物线的标准方程为x2＝8y或x2＝－16y. 答案　x2＝8y或x2＝－16y 6．根据下列条件求抛物线的标准方程． (1)抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点； (2)抛物线的焦点在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5. 解析　(1)双曲线方程化为－＝1，左顶点为(－3,0)，由题意设抛物线方程为y2＝－2px(p＞0)且＝－3，∴p＝6，∴抛物线方程为y2＝－12x. (2)设所求焦点在x轴上的抛物线方程为 y2＝2ax(a≠0)，A(m，－3)， 由抛物线定义得5＝|AF|＝. 又(－3)2＝2am，∴a＝±1或a＝±9， 故所求抛物线方程为y2＝±2x或y2＝±18x. [关键能力·综合提升] 7．已知A为抛物线C：y2＝2px(p＞0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝(　　) A．2 B．3 C．6 D．9 解析　设焦点为F，点A的坐标为(x0，y0)， 由抛物线定义得|AF|＝x0＋， ∵点A到y轴的距离为9，∴x0＝9， ∴9＋＝12，∴p＝6. 答案　C 8．(多选)设抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F.点M在y轴上，若线段FM的中点B在抛物线上，且点B到抛物线准线的距离为，则点M的坐标为(　　) A．(0，－4) B．(0，－2) C．(0,2) D．(0,4) 解析　根据题意，抛物线y2＝2px的焦点为， 准线方程为x＝－，设B的坐标为(m，n)， 若B为F，M的中点，则m＝＝，又由点B到抛物线准线的距离为， 则－＝，解可得p＝， 则抛物线的方程为y2＝2x，且m＝，又B在抛物线上， 则n2＝2×＝1， 解可得n＝±1，则B的坐标为， 则点M的坐标为(0,2)或(0，－2)．故选BC． 答案　BC 9．如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a＜b)，原点O为AD的中点，抛物线y2＝2px(p＞0)经过C，F两点，则＝________. 解析　根据两正方形的边长及O为AD的中点，求出点C，F的坐标，将两点坐标代入抛物线方程列式求解． ∵正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b，O为AD的中点， ∴C，F. 又∵点C，F在抛物线y2＝2px(p＞0)上， ∴解得＝＋1. 答案　＋1 10．某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物线型，跨度为20 m，拱顶距水面6 m，桥墩高出水面4 m．现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18 m，目前吃水线上部中央船体高5 m，宽16 m，且该货船在现有状况下还可多装1 000 t货物，但每多装150 t货物，船体吃水线就要上升0.04 m．若不考虑水下深度，问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？ 解析　如图所示，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为x轴，竖直直线为y轴，建立直角坐标系． 因为拱顶距水面6 m，桥墩高出水面4 m，所以A(10，－2)． 设桥孔上部抛物线方程是x2＝－2py(p＞0)， 则102＝－2p×(－2)，所以p＝25， 所以抛物线方程为x2＝－50y，即y＝－x2. 若货船沿正中央航行，船宽16 m，而当x＝8时， y＝－×82＝－1.28， 即船体在x＝±8之间通过，B(8，－1.28)， 此时B点距水面6＋(－1.28)＝4.72(m)． 而船体高为5米，所以无法通行． 又因为5－4.72＝0.28(m)，0.28÷0.04＝7， 150×7＝1 050(t)， 所以若船通过增加货物通过桥孔，则要增加1 050 t，而船最多还能装1 000 t货物，所以货船在现在状况下不能通过桥孔． [核心价值·探索创新] 11．如图，A地在B地东偏北45°方向，相距2 km处，B地与东西走向的高铁线(近似看成直线)l相距4 km.已知曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁线l的距离，现要在公路旁建造一个变电房M(变电房与公路之间的距离忽略不计)，分别向A地、B地送电． (1)试建立适当的直角坐标系，求曲线形公路PQ所在曲线的方程； (2)问变电房M应建在相对A地的什么位置(方位和距离)，才能使得架设电路所用电线长度最短？并求出最短长度． 解析　(1)如图，以经过点B且垂直于l(垂足为K)的直线为y轴，线段BK的中点O的原点，建立直角坐标系xOy，则B(0,2)，A(2,4)． 因为曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁线l的距离，所以PQ所在的曲线是以B(0,2)为焦点，l为准线的抛物线． 设抛物线方程为x2＝2py(p＞0)，则p＝4，故曲线形公路PQ所在曲线的方程为x2＝8y. (2)要使架设电路所用电线长度最短，即|MA|＋|MB|值最小．如图所示，过M作MH⊥l，垂足为H，依题意得|MB|＝|MH|，所以|MA|＋|MB|＝|MA|＋|MH|，故当A，M，H三点共线时，|MA|＋|MH|取得最小值，即|MA|＋|MB|取得最小值，此时M.变电房M应建在A地正南方向且与A地相距 km时，所用电线长度最短，最短长度为6 km. 学科网（北京）股份有限公司 $$