第2章 2.2 第2课时 双曲线方程及性质的应用（Word练习）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．点M为双曲线－x2＝1上任意一点，点O是坐标原点，则|OM|的最小值是(　　) A．1　　　　　　　 B． C．2 D．2 解析　设M(x，y)，|OM|＝，∵点M在双曲线－x2＝1上，∴x2＝－1，|y|≥，∴|OM|＝＝≥. 答案　B 2．若双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y＝－x，则双曲线的方程为(　　) A．y2－x2＝96 B．y2－x2＝160 C．y2－x2＝80 D．y2－x2＝24 解析　设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，因为双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点为(0，±4)，所以λ＜0，且－2λ＝(4)2，得λ＝－24.故选D． 答案　D 3．设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积为(　　) A．4 B．8 C．24 D．48 解析　由题意得解得 又由|F1F2|＝10可得△PF1F2是直角三角形，则＝|PF1||PF2|＝24. 答案　C 4．已知A(－3,0)，B是圆x2＋(y－4)2＝1上的点，点P在双曲线－＝1的右支上，则|PA|＋|PB|的最小值为(　　) A．9 B．2＋4 C．8 D．7 解析　如图所示，设圆心为C， 双曲线右焦点为A′(3,0)，且|PB|≥|PC|－1，|PA|＝|PA′|＋4， 所以|PB|＋|PA|≥|PC|＋|PA′|＋3≥|A′C|＋3＝8，当且仅当A′，B，C三点共线时取得等号． 答案　C 5．焦点为(0,6)，且与双曲线－y2＝1有相同的渐近线的双曲线方程是________． 解析　由－y2＝1，得双曲线的渐近线方程为y＝±x. 设所求双曲线方程为－y2＝λ(λ＜0)， 所以－＝1. 所以－λ－2λ＝36，所以λ＝－12.故双曲线方程为－＝1. 答案　－＝1 6．已知双曲线－＝1(b＞0)的离心率为2，则它的一个焦点到其中一条渐近线的距离为________． 解析　由双曲线方程知a＝2，又e＝＝2，所以c＝4，所以b＝＝＝2.所以双曲线的一条渐近线方程为y＝x＝x，一个焦点为F(4,0)．焦点F到渐近线y＝x的距离d＝＝2. 答案　2 7．已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2的坐标分别为(，0)和(－，0)，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为1，则双曲线的方程为________________． 解析　由⇒(|PF1|－|PF2|)2＝16，即2a＝4，解得a＝2， 又c＝，所以b＝1， 故双曲线的方程为－y2＝1. 答案　－y2＝1 8．求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)两顶点间的距离是6，两焦点所连线段被两顶点和中心四等分； (2)渐近线方程为2x±3y＝0，且两顶点间的距离是6. 解析　(1)由两顶点间的距离是6，得2a＝6， 即a＝3. 由两焦点所连线段被两顶点和中心四等分可得2c＝4a＝12，即c＝6，于是有b2＝c2－a2＝62－32＝27. 由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1. (2)设双曲线方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)， 即－＝1(λ≠0)，由题意得a＝3. 当λ＞0时，＝9，λ＝36， 双曲线方程为－＝1； 当λ＜0时，－＝9，λ＝－81， 双曲线方程为－＝1. 故所求双曲线方程为－＝1或－＝1. [关键能力·综合提升] 9．(多选)已知在等边三角形ABC中，D，E分别是CA，CB的中点，以A，B为焦点且过点D，E的椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则下列关于e1，e2的关系式正确的是(　　) A．e2＋e1＝2 B．e2－e1＝2 C．e1e2＝2 D．＞2 解析　设△ABC的边长为2，由题意，可求得椭圆的离心率e1＝＝－1，双曲线的离心率e2＝＝＋1，所以e2＋e1＝2，e1e2＝2，e2－e1＝2，＝2＋＞2，故选BCD． 答案　BCD 10．设椭圆＋＝1和双曲线－y2＝1的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个公共点，则cos∠F1PF2＝(　　) A． B． C． D． 解析　设|PF1|＝d1，|PF2|＝d2， 则d1＋d2＝2，① |d1－d2|＝2，② ①2＋②2，得d＋d＝18.①2－②2，得2d1d2＝6. 而c＝2， ∴cos∠F1PF2＝＝. 答案　B 11．若双曲线－y2＝1(n＞1)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且满足|PF1|＋|PF2|＝2，则△PF1F2的面积为(　　) A．1 B． C．2 D．4 解析　设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2，已知|PF1|＋|PF2|＝2，解得|PF1|＝＋，|PF2|＝－，|PF1|·|PF2|＝2.又|F1F2|＝2， 则|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2， ∴△PF1F2为直角三角形，∠F1PF2＝90°， ∴＝|PF1|·|PF2|＝×2＝1. 答案　A 12．设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点．若P在双曲线上，且·＝0，则|＋|的值为________． 解析　由题意，知双曲线两个焦点的坐标分别为F1(－，0)，F2(，0)． 设点P(x，y)，则＝(－－x，－y)，＝(－x，－y)． ∵·＝0， ∴x2＋y2－10＝0，即x2＋y2＝10. ∴|＋|＝ ＝＝2. 答案　2 13．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的上焦点为F(0，c)． (1)若双曲线C是等轴双曲线，且c＝2，求双曲线的标准方程； (2)若经过原点且倾斜角为30°的直线l与双曲线C的上支交于点A，O为坐标原点，△AOF是以线段AF为底边的等腰三角形，求双曲线C的离心率及渐近线方程． 解析　(1)由双曲线为等轴双曲线，知a＝b，又c＝2，则a2＋b2＝c2＝4，∴a2＝b2＝2， 故双曲线的标准方程为－＝1. (2)由题意得|OA|＝c， ∵直线OA的倾斜角为30°， ∴A，则2a＝－＝(－1)c， ∴a＝c，∴e＝＝＋1. 又e2＝1＋，∴＝3＋2， ∴渐近线方程为y＝±x. [核心价值·探索创新] 14．已知P为双曲线－＝1右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，点M为△PF1F2的内心．若＝＋8，则△MF1F2的面积为(　　) A．2 B．10 C．8 D．6 解析　设△PF1F2的内切圆的半径为R，由双曲线的标准方程可知a＝4，b＝3，c＝5. 因为＝＋8，所以(|PF1|－|PF2|)R＝8，即aR＝8，所以R＝2， 所以＝·2c·R＝10. 答案　B 15．如图所示，已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)中，c＝2a，F1，F2分别为左、右焦点，P为双曲线上的点，∠F1PF2＝60°，＝12，求双曲线的标准方程． 解析　由题意得＝2a，在△F1PF2中，由余弦定理得cos 60°＝＝， ∴|PF1|·|PF2|＝4(c2－a2)＝4b2. ∴＝|PF1||PF2|·sin 60°＝2b2·＝b2. ∴b2＝12，b2＝12. 由c＝2a，c2＝a2＋b2，得a2＝4. ∴双曲线的标准方程为－＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $$