第2章 2.2 第1课时 双曲线的简单几何性质（Word练习）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．双曲线－＝1渐近线方程是(　　) A．y＝±x　　　　　　 B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 解析　焦点在x轴上，a＝2，b＝3，渐近线方程为：y＝±x，即y＝±x. 答案　C 2．已知双曲线E：－＝1的离心率为，则E的焦距为(　　) A．4 B．5 C．8 D．10 解析　双曲线E：－＝1的离心率为， 可得＝，可得m2＝9，所以|m|＝3，c＝5，所以双曲线的焦距为10.故选D． 答案　D 3．以双曲线－y2＝1的焦点为顶点，离心率为的双曲线的标准方程为(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 解析　双曲线－y2＝1的焦点在x轴上， 则焦点坐标为(2,0)， 则新双曲线的顶点坐标为(2,0) ，即a＝2， ∵离心率e＝，∴＝，得c＝2， 则b2＝c2－a2＝12－4＝8， 即新双曲线的标准方程为－＝1，故选D． 答案　D 4．(2022·全国甲卷)记双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为e，写出满足条件“直线y＝2x与C无公共点”的e的一个值________． 解析　因为双曲线C的渐近线方程为y＝±x，要使直线y＝2x与C无公共点，则只需要2>即可，由<2得＝<4，所以e2<5，解得1<e<. 答案　2(答案不唯一，只要1<e<即可) 5．(2022·全国甲卷)若双曲线y2－＝1(m＞0)的渐近线与圆x2＋y2－4y＋3＝0相切，则m＝________. 解析　由圆心为(0,2)，半径为1的圆与直线x＝my相切可得m＝. 答案　 6．双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y＝x，求双曲线的标准方程和离心率． 解析　由椭圆＋＝1，知c2＝64－16＝48，且焦点在y轴上． ∵双曲线的一条渐近线为y＝x， ∴设双曲线方程为－＝1. 又c2＝2a2＝48，∴a2＝24. ∴所求双曲线的方程为－＝1. 由a2＝24，c2＝48，得e2＝＝2，又e＞0，∴e＝. [关键能力·综合提升] 7．(多选)(2022·全国乙卷)双曲线C的两个焦点F1，F2，以C的实轴为直径的圆记为D，过F1作D的切线与C交于M，N两点，且cos∠F1NF2＝，则C的离心率为(　　) A．　　 B．　　　 C．　　 D． 解析　不妨假设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，F1(－c,0)，F2(c,0)．当两个交点M，N在双曲线两支上时，如图1所示，设过F1的直线与圆D切于点P，连接OP，由题意知|OP|＝a，又|OF1|＝c，所以|F1P|＝b.过点F2作F2Q⊥F1N，交F1N于点Q.由中位线的性质，可得|F2Q|＝2|OP|＝2a，|PQ|＝b.因cos∠F1NF2＝，所以sin∠F1NF2＝，故|NF2|＝a，|QN|＝a，所以|NF1|＝|F1Q|＋|QN|＝2b＋a.由双曲线的定义可知|NF1|－|NF2|＝2a，所以2b＋a－a＝2a，所以2b＝3a.两边平方得4b2＝9a2，即4(c2－a2)＝9a2，整理得4c2＝13a2，所以＝，故＝，即e＝.当两个交点M，N都在双曲线的左支上时，如图2所示，同理可得|F2Q|＝2|OP|＝2a，|PQ|＝b.因为cos∠F1NF2＝，所以sin∠F1NF2＝，可得|NF2|＝，|NQ|＝，所以|NF1|＝|NQ|－|QF1|＝－2b，所以|NF2|＝|NF1|＋2a＝－2b，又|NF2|＝，所以－2b＝，即a＝2b，e＝＝.故选AC． 答案　AC 8．(多选)已知曲线C：mx2＋ny2＝1.(　　) A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为 C．若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝± x D．若m＝0，n＞0，则C是两条直线 解析　A选项中，若m＞n＞0，则方程mx2＋ny2＝1可变形为＋＝1，因为m＞n＞0，所以0＜＜，所以此曲线表示椭圆，且焦点在y轴上，所以A正确． B选项中，若m＝n＞0，则方程mx2＋ny2＝1可变形为x2＋y2＝，则此曲线为圆，半径为，所以B不正确． C选项中，若mn＜0，则此曲线应为双曲线，mx2＋ny2＝0可化为y2＝－，即y＝± x，即双曲线的渐近线方程为y＝± x，所以C正确． D选项中，若m＝0，n＞0，则方程mx2＋ny2＝1可化为y2＝(x∈R)，即y＝±，表示两条直线，所以D正确．故选ACD． 答案　ACD 9．过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M，N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于________． 解析　令x＝－c，得y2＝，则|MN|＝. 由题意得a＋c＝，即a2＋ac＝c2－a2， ∴2－－2＝0，∴＝2或＝－1(舍去)， 即双曲线的离心率为2. 答案　2 10．中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝2，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7. (1)求这两曲线方程； (2)若P为这两曲线的一个交点，求△F1PF2的面积． 解析　(1)设椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1(a，b，m，n＞0，且a＞b)， 则， 解得：a＝7，m＝3，所以b＝6，n＝2， 所以椭圆方程为＋＝1， 双曲线方程为－＝1. (2)不妨设F1，F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则|PF1|＋|PF2|＝14，|PF1|－|PF2|＝6， 所以|PF1|＝10，|PF2|＝4， 所以cos∠F1PF2＝＝， 所以sin∠F1PF2＝. 所以＝|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2＝×10×4×＝12. [核心价值·探索创新] 11．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点为F1，F2，若双曲线上存在点P，使|PF1|＝2|PF2|，求双曲线离心率的取值范围． 解析　由题意知在双曲线上存在一点P， 使得|PF1|＝2|PF2|，如图所示． 又∵|PF1|－|PF2|＝2a， ∴|PF2|＝2a， 即在双曲线右支上恒存在点P使得|PF2|＝2a， 即|AF2|≤2a. ∴|OF2|－|OA|＝c－a≤2a，∴c≤3a. 又∵c＞a，∴a＜c≤3a，∴1＜≤3，即1＜e≤3. 所以双曲线离心率的取值范围为1＜e≤3. 学科网（北京）股份有限公司 $$