第2章 2.1 双曲线及其标准方程（Word练习）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．平面内到两定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离之差的绝对值等于4的点M的轨迹(　　) A．椭圆　　　　　　　 B．线段 C．两条射线 D．双曲线 解析　根据双曲线定义|MF1|－|MF2|＝±4且|F1F2|＝6＞4， ∴点M的轨迹是焦点在x轴上的双曲线，且焦距为6，故选D． 答案　D 2．(多选)F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点．若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，则点M到另一个焦点的距离为(　　) A．8 B．10 C．22 D．32 解析　设|MF1|＝16，根据双曲线的定义知＝6，即|MF2|－16＝±6，解得|MF2|＝10或|MF2|＝22.故选BC． 答案　BC 3．已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C的右支上一点，且|PF2|＝|F1F2|，则△PF1F2的面积等于(　　) A．24 B．36 C．48 D．96 解析　由题意，得|F1F2|＝|PF2|＝10且|PF1|－|PF2|＝6，∴|PF1|＝16. 由勾股定理，得△PF1F2的边PF1上的高h＝＝6，∴△PF1F2的面积S＝h·|PF1|＝×6×16＝48. 答案　C 4．已知双曲线－＝1的一个焦点是(0,2)，椭圆－＝1的焦距等于4，则n＝________. 解析　因为双曲线的焦点为(0,2)， 所以焦点在y轴上， 所以双曲线的方程为－＝1， 即a2＝－3m，b2＝－m，所以c2＝－3m－m＝－4m＝4，解得m＝－1，所以椭圆方程为＋x2＝1，且n＞0，椭圆的焦距为4，所以c2＝n－1＝4或1－n＝4，解得n＝5或－3(舍去)． 答案　5 5．已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是________． 解析　由题意得(m2＋n)(3m2－n)＞0，解得－m2＜n＜3m2.又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m2＋n＋3m2－n＝4，即m2＝1，所以－1＜n＜3. 答案　(－1,3) 6．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点． (1)求双曲线的标准方程； (2)若点M在双曲线上，F1，F2为左，右焦点，且|MF1|＝2|MF2|，试求△MF1F2的面积． 解析　(1)椭圆方程可化为＋＝1， 焦点在x轴上，且c＝， 故设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则有解得a2＝3，b2＝2，所以双曲线的标准方程为－＝1. (2)因为点M在双曲线上，且|MF1|＝2|MF2|，所以点M在双曲线的右支上，则有|MF1|－|MF2|＝2，故|MF1|＝4，|MF2|＝2， 又|F1F2|＝2，因此在△MF1F2中，cos∠F1MF2＝＝， 所以sin∠F1MF2＝， ＝×|MF1|·|MF2|·sin∠F1MF2＝×4×2×＝2. [关键能力·综合提升] 7．(多选)关于x，y的方程＋＝1，其中m2≠，方程对应的曲线可能是(　　) A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在y轴上的椭圆 C．焦点在x轴上的双曲线 D．焦点在y轴上的双曲线 解析　当m2＋2＞3m2－2＞0，即－＜m＜－或＜m＜时，曲线是焦点在x轴上的椭圆，A正确；当3m2－2＞m2＋2＞0，即m＜－或m＞时，曲线是焦点在y轴上的椭圆，B正确；当3m2－2＜0，即－＜m＜时，曲线是焦点在x轴上的双曲线，C正确；因为m2＋2＜0时，m无实数解，所以D错误．故选ABC． 答案　ABC 8．(多选)已知双曲线－＝1上一点P到左焦点F1的距离为10，则PF1的中点N到坐标原点O的距离为(　　) A．3 B．6 C．14 D．7 解析　连接ON，PF2(F2为双曲线的右焦点)，则ON是△PF1F2的中位线，∴|ON|＝|PF2|， ∵＝4，|PF1|＝10，∴|PF2|＝14或6，∴|ON|＝|PF2|＝7或3. 答案　AD 9．过原点的直线l与双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右两支分别相交于A，B两点，F(－，0)是双曲线的左焦点，若|FA|＋|FB|＝4，·＝0，则双曲线C的方程为________． 解析　由题意知|FO|＝，又·＝0， ∴|AB|＝2|FO|＝2，设|FA|＝x， 则|FB|＝4－x， ∴x2＋(4－x)2＝12，∴x＝2±. ∴|FA|＝2－，|BF|＝2＋， ∴2a＝|FB|－|FA|＝2， ∴a＝，b＝1.故双曲线方程为－y2＝1. 答案　－y2＝1 10．已知方程kx2＋y2＝4，其中k为实数，对于不同范围的k值分别指出方程所表示的曲线类型． 解析　(1)当k＝0时，y＝±2，表示两条与x轴平行的直线； (2)当k＝1时，方程为x2＋y2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆； (3)当k＜0时，方程为－＝1，表示焦点在y轴上的双曲线； (4)当0＜k＜1时，方程为＋＝1，表示焦点在x轴上的椭圆； (5)当k＞1时，方程为＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆． [核心价值·探索创新] 11．已知曲线C：＋＝1(t≠0，t≠±1)． (1)求t为何值时，曲线C分别为椭圆、双曲线； (2)求证：不论t为何值，曲线C有相同的焦点． (1)解析　当|t|＞1时，t2＞0，t2－1＞0，且t2≠t2－1，曲线C为椭圆； 当|t|＜1时，t2＞0，t2－1＜0，曲线C为双曲线． (2)证明　当|t|＞1时，曲线C是椭圆， 且t2＞t2－1， 因此c2＝a2－b2＝t2－(t2－1)＝1， ∴焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)．当|t|＜1时，双曲线C的方程为－＝1， ∵c2＝a2＋b2＝t2＋1－t2＝1， ∴焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)． 综上所述，无论t为何值，曲线C有相同的焦点． 学科网（北京）股份有限公司 $$