第2章 1.2 第2课时 椭圆的几何性质的综合应用（Word练习）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．已知地球运行的轨道是焦距为2c，离心率为e的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，则地球到太阳的最小距离为(　　) A．ce－c　　　　　　　 B．2ce－2c C．－c D．－2c 解析　因为地球椭圆轨道的焦距为2c，离心率为e，所以由e＝，得a＝，而太阳在这个椭圆的一个焦点上，所以地球到太阳的最小距离为a－c＝－c. 答案　C 2．已知点F1，F2分别是椭圆x2＋2y2＝2的左、右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|＋|的最小值是(　　) A．0 B．1 C．2 D．2 解析　由题可知F1(－1,0)，F2(1,0)，设P(x0，y0)，则＝(－1－x0，－y0)，＝(1－x0，－y0)， ∴＋＝(－2x0，－2y0)， ∴|＋|＝＝2＝2. ∵点P在椭圆上，∴0≤y≤1，∴当y＝1时，|＋|取得最小值2.故选C． 答案　C 3．在椭圆＋＝1中，A1，A2分别为椭圆的左、右顶点，F1为左焦点，M是椭圆上的点，则△MF1A2面积的最大值为(　　) A．16 B．32 C．16 D．32 解析　由题意可知点M为短轴端点时，△MF1A2的面积取最大值，因为椭圆方程为＋＝1，所以a＝5，b＝4，c＝3，即有Smax＝(a＋c)×b＝×8×4＝16. 答案　A 4．已知点P(x，y)是椭圆＋＝1上任意一点，则点P到直线l：y＝x＋5的最大距离为(　　) A． B． C．5＋ D．5－ 解析　设直线y＝x＋m与椭圆相切，由 得13x2＋18mx＋9m2－36＝0，∵Δ＝(18m)2－4×13(9m2－36)＝0，解得m＝±， ∴切线方程为y＝x＋和y＝x－，与l距离较远的是y＝x－，∴所求最大距离为d＝＝. 答案　A 5．“嫦娥四号”探测器实现历史上的首次月背着陆，如图是“嫦娥四号”运行轨道示意图，圆形轨道距月球表面100千米，椭圆形轨道的一个焦点是月球球心，一个长轴顶点位于两轨道相切的变轨处，另一个长轴顶点距月球表面15千米，则椭圆形轨道的焦距为________千米． 解析　设椭圆长轴长为2a，焦距为2c，月球半径为R，则两式作差，可得2c＝85，∴椭圆形轨道的焦距为85千米． 答案　85 6．已知椭圆C：＋＝1(a＞2)上点A(0,2)，P为椭圆上异于A点的任一点．若P点到A点距离的最大值仅在P点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”．若椭圆C是“圆椭圆”，则a的取值范围是________． 解析　设点P(x，y)，|PA|2＝x2＋(y－2)2＝a2＋(y－2)2＝y2－4y＋4＋a2，y∈[－2,2]，∵a＞2，∴1－＜0，且在y＝－2处函数取得最大值，∴－≤－2，得a2≤8，得－2≤a≤2，综上可知2＜a≤2. 答案　(2,2] 7．椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e＝，已知点P到椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程． 解析　设所求椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)． ∵＝＝＝，∴a＝2b. ∴椭圆方程为＋＝1. 设椭圆上点M(x，y)到点P的距离为d， 则d2＝x2＋2＝4b2＋y2－3y＋＝－32＋4b2＋3(－b≤y≤b)， 令f(y)＝－32＋4b2＋3. ①当－b≤－，即b≥时，d＝f＝4b2＋3＝7，解得b＝1， ∴椭圆方程为＋y2＝1. ②当－＜－b，即0＜b＜时，d＝f(－b)＝7，解得b＝－＞，与b＜矛盾． 综上所述，所求椭圆方程为＋y2＝1. [关键能力·综合提升] 8．天文学家开普勒的行星运动定律可表述为：绕同一中心天体的所有行星的椭圆轨道的半长轴a的三次方跟它的公转周期T的二次方的比值都相等，即＝k，k＝，其中M为中心天体质量，G为引力常量，已知地球绕以太阳为中心天体的椭圆轨道的半长轴长约为1.5亿千米，地球的公转周期为1年，距离太阳最远的冥王星绕以太阳为中心天体的椭圆轨道的半长轴长约为60亿千米，取＝3.1，则冥王星的公转周期约为(　　) A．157年 B．220年 C．248年 D．256年 解析　设地球椭圆轨道的半长轴为a1，公转周期T1.设冥王星椭圆轨道的半长轴为a2，公转周期T2.则两式相除并化简得T＝×T＝3×1＝6 400×10，所以T2＝80≈80×3.1＝248年． 答案　C 9．椭圆C：＋＝1的左右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是(　　) A． B． C． D． 解析　设P点坐标为(x0，y0)，则＋＝1，kPA2＝，kPA1＝，于是kPA1·kPA2＝＝＝－，故kPA1＝－·. ∵kPA2∈[－2，－1]，∴kPA1∈.故选B． 答案　B 10．如图，两个椭圆＋＝1，＋＝1内部重叠区域的边界记为曲线C，P是曲线C上任意一点，给出下列三个判断： ①P到F1(－4,0)，F2(4,0)，E1(0，－4)，E2(0,4)四点的距离之和为定值； ②曲线C关于直线y＝x，y＝－x均对称； ③曲线C所围成区域面积必小于36. 上述判断中所有正确命题的序号为________． 解析　①不考虑交点的情况，当P在＋＝1上时，PF1＋PF2＝10，PE1＋PE2不为定值，错误； ②两个椭圆均关于y＝x，y＝－x对称，故曲线C关于直线y＝x，y＝－x均对称，正确； ③曲线C在边长为6的正方形内部，故面积小于36，正确． 答案　②③ 11．从椭圆的一个焦点F1发出的光线射到椭圆上的点P，反射后光线经过椭圆的另一个焦点F2，事实上，点P(x0，y0)处的切线＋＝1垂直于∠F1PF2的角平分线，已知椭圆C：＋＝1的两个焦点是F1，F2，点P是椭圆上除长轴端点外的任意一点，∠F1PF2的角平分线PT交椭圆C的长轴于点T(t,0)，则t的取值范围是________． 解析　由题意，椭圆C在点P(x0，y0)处的切线＋＝1，且x0∈(－2,2)，所以切线的斜率为－，而∠F1PF2的角平分线的斜率为， 又由切线垂直于∠F1PF2的角平分线，所以－·＝－1，即t＝x0∈. 答案　 12．已知P是椭圆＋y2＝1上的一动点． (1)定点A(1,0)，求|PA|的最小值； (2)求P到直线2x＋y＋2＝0距离的最大值． 解析　(1)P在椭圆＋y2＝1上， 设P(cos θ，sin θ)， 所以|PA|＝＝－cos θ， 所以当cos θ＝1时，求|PA|的最小值为－1. (2)P在椭圆＋y2＝1上， 设P(cos θ，sin θ)， 则P到直线2x＋y＋2＝0距离为 d＝＝＝， 其中sin φ＝，cos φ＝，φ取锐角． ∴当sin(θ＋φ)＝1时，dmax＝＝. [核心价值·探索创新] 13．某同学在画“切面圆柱体”(用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫作切面圆柱体)的过程中，发现“切面”是一个椭圆(如图所示)，若“切面”所在平面与底面成60°角，则该椭圆的离心率为(　　) A． B． C． D． 解析　设椭圆长轴长为2a，短轴长为2b，“切面”是一个椭圆，由“切面”所在平面与底面成60°角，可得＝cos 60°，即a＝2b，所以e＝＝＝. 答案　C 14．某海域有A，B两个岛屿，B岛在A岛正东4海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线C，曾有渔船在距A岛、B岛距离和为8海里处发现过鱼群，以A，B所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示． (1)求曲线C的标准方程； (2)某日，研究人员在A，B两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号(传播速度相同)，A，B两岛收到鱼群在P处反射信号的时间比为5∶3，你能否确定P处的位置(即点P的坐标)? 解析　(1)由题意知曲线C是以A，B为焦点且长轴长为8的椭圆，又2c＝4，则c＝2，a＝4，故b＝2，∴曲线C的方程为＋＝1. (2)由于A，B两岛收到鱼群反射信号的时间比为5∶3，因此鱼群此时距A，B两岛的距离比为5∶3，即鱼群分别距A，B两岛的距离为5海里和3海里，设P(x，y)，B(2,0)，由|PB|＝3，得＝3，∴ 解得或 ∴点P的坐标为(2,3)或(2，－3)． 学科网（北京）股份有限公司 $$