第2章 1.2 第1课时 椭圆的简单几何性质（Word练习）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．椭圆C1：＋＝1和椭圆C2：＋＝1(0＜k＜9)有(　　) A．等长的长轴　　 B．相等的焦距 C．相等的离心率 D．等长的短轴 解析　依题意知椭圆C2的焦点在y轴上，对于椭圆C1：焦距＝2＝8，对于椭圆C2：焦距＝2＝8，故选B． 答案　B 2．(多选)已知椭圆＋＝1的离心率e＝，则k的值可能是(　　) A．－4 B．4 C．－ D． 解析　(1)当焦点在x轴上，即当k＋8＞9，即k＞1时，由椭圆的标准方程得a＝，b＝3，则c＝＝，所以椭圆的离心率e＝＝＝，解得k＝4. (2)当焦点在y轴上，即当0＜k＋8＜9，即－8＜k＜1时，由椭圆的标准方程得b＝，a＝3，则c＝＝，所以椭圆的离心率e＝＝＝，解得k＝－.故选BC． 答案　BC 3．(2022·全国甲卷)椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为(　　) A． B． C． D． 解析　设椭圆C的右顶点为B，由于点P，Q均在C上，且关于y轴对称，所以直线BP，AQ也关于y轴对称，即kAP·kBP＝－kAP·kAQ＝－＝e2－1，e2＝，e＝. 答案　A 4．如图，已知短轴长为，离心率e＝的椭圆两焦点为F1，F2，过F1作直线交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为________． 解析　设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，则b＝，e＝＝＝＝，解得a＝. ∴△ABF2的周长为|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝6. 答案　6 5．椭圆x2＋my2＝1的长轴长是短轴长的两倍，则m＝________. 解析　由x2＋my2＝1是椭圆，知m＞0且m≠1. 方程化为x2＋＝1. 当椭圆焦点在y轴上时，长轴长为2，短轴长为2，由2＝4，得m＝4. 当椭圆焦点在y轴上时，长轴长为2，短轴长为2，由2＝4，得m＝，故答案为4或. 答案　4或 6．椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，且经过点A. (1)求满足条件的椭圆方程； (2)求该椭圆的顶点坐标、长轴长、短轴长、离心率． 解析　(1)由已知焦点在x轴上，设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，则c＝1.焦点坐标为F1(－1,0)，F2(1,0)，2a＝|AF1|＋|AF2|＝＋＝4， ∴a＝2，∴b2＝a2－c2＝3. ∴椭圆方程为＋＝1. (2)顶点坐标(±2,0)，(0，±)；长轴长4，短轴长2；离心率e＝. [关键能力·综合提升] 7．已知椭圆＋＝1的焦点在x轴上，若椭圆的短轴长为4，则n的取值范围是(　　) A．(12，＋∞) B．(4,12) C．(4,6) D．(6，＋∞) 解析　依题意得2m2－n＞n－m2＞0，得m2＞n＞m2，且n－m2＝4，得m2＝n－4，则(n－4)＞n＞n－4，得n＞12，故选A． 答案　A 8．(多选)已知F1，F2为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，B为椭圆短轴的一个端点，·≥2，则椭圆的离心率的取值可以是(　　) A． B． C． D． 解析　由椭圆的定义可知：BF1＝BF2＝a，OF1＝OF2＝c，则sin∠OBF1＝＝e， ∴cos∠F1BF2＝1－2sin2∠OBF1＝1－2e2，∵·≥2，即(1－2e2)a2≥c2， ∴1－2e2≥e2，即e2≤.∴0＜e≤.故选A，B，C． 答案　ABC 9．已知F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为________． 解析　因为P，Q为C上关于坐标原点对称的两点， 且|PQ|＝|F1F2|，所以四边形PF1QF2为矩形， 设|PF1|＝m，|PF2|＝n， 则m＋n＝8，m2＋n2＝48， 所以64＝(m＋n)2＝m2＋2mn＋n2＝48＋2mn, mn＝8，即四边形PF1QF2的面积为8. 答案　8 10．分别求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)离心率是，长轴长是6. (2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6. 解析　(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)． 由已知得2a＝6，e＝＝，∴a＝3，c＝2. ∴b2＝a2－c2＝9－4＝5. ∴椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. (2)设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)． 如图所示，F为椭圆的一个焦点，A1，A2分别为短轴的两个端点， 则△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2上的中线(高)， 且|OF|＝c，|A1A2|＝2b， ∴c＝b＝3，∴a2＝b2＋c2＝18， 故所求椭圆的标准方程为＋＝1. [核心价值·探索创新] 11．已知椭圆E的中心为坐标原点O，两个焦点分别为A(－1，0)，B(1,0)，一个顶点为H(2,0)． (1)求椭圆E的标准方程； (2)对于x轴上的点P(t,0)，椭圆E上存在点M，使得MP⊥MH，求实数t的取值范围． 解析　(1)由题意可得，c＝1，a＝2，∴b＝. ∴所求椭圆E的标准方程为＋＝1. (2)设M(x0，y0)(x0≠±2)， 则＋＝1.① ＝(t－x0，－y0)， ＝(2－x0，－y0)， 由MP⊥MH可得·＝0， 即(t－x0)(2－x0)＋y＝0.② 由①②消去y0，整理得 t(2－x0)＝－x＋2x0－3. ∵x0≠2，∴t＝x0－. ∵－2＜x0＜2，∴－2＜t＜－1. ∴实数t的取值范围为(－2，－1)． 学科网（北京）股份有限公司 $$