第1章 2.4 圆与圆的位置关系（Word练习）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．两圆C1：x2＋y2－2x－3＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0的位置关系是(　　) A．外离　　　　　　　　 B．相切 C．相交 D．内含 解析　把两圆的方程分别配方，化为标准方程是(x－1)2＋y2＝4，(x－2)2＋(y＋1)2＝2，所以两圆圆心为C1(1,0)，C2(2，－1)，半径为r1＝2，r2＝，则连心线的长|C1C2|＝＝，r1＋r2＝2＋，r1－r2＝2－，故r1－r2＜|C1C2|＜r1＋r2，两圆相交． 答案　C 2．若圆C1：(x－a)2＋y2＝r2与圆C2：x2＋y2＝4r2(r＞0)相切，则a＝(　　) A．±3r B．±r C．±3r或±r D．3r或r 解析　圆C1的圆心为(a,0)，半径为r，圆C2的圆心为(0,0)，半径为2r. (1)当两圆外切时，有|a|＝3r，此时a＝±3r(r＞0)． (2)当两圆内切时，|a|＝r，此时a＝±r(r＞0)． 即当a＝±3r(r＞0)时两圆外切， 当a＝±r(r＞0)时两圆内切． 综上(1)(2)可知故选C． 答案　C 3．⊙C1：(x－1)2＋y2＝4与⊙C2：(x＋1)2＋(y－3)2＝9相交弦所在直线为l，则l被⊙O：x2＋y2＝4截得的弦长为(　　) A． B．4 C． D． 解析　由⊙C1与⊙C2的方程相减得l：2x－3y＋2＝0.圆心O(0,0)到l的距离d＝，⊙O的半径R＝2，∴截得的弦长为2＝2＝.故选D． 答案　D 4．已知圆C：x2＋y2＝4与圆D：x2＋y2－4x＋2y＋4＝0相交于A，B两点，则直线CD的方程为________________，两圆公共弦AB的长为________． 解析　解法一　依题意得，圆C的圆心为C(0,0)，半径为2.圆D的圆心为D(2，－1)，半径为1，因此直线CD的斜率为－，直线CD的方程为y＝－x，即x＋2y＝0.将圆C与圆D的方程相减得，其公共弦AB所在的直线方程为2x－y－4＝0.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由消去y得5x2－16x＋12＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝，|AB|＝＝. 解法二　依题意得，圆C的圆心为C(0,0)，半径为2.圆D的圆心为D(2，－1)，因此直线CD的斜率为－，直线CD的方程为y＝－x，即x＋2y＝0.将圆C与圆D的方程相减得，其公共弦AB所在的直线方程为2x－y－4＝0，圆心C(0,0)到直线AB的距离为，因此|AB|＝2＝. 答案　x＋2y＝0　 5．过两圆x2＋y2－2y－4＝0与x2＋y2－4x＋2y＝0的交点，且圆心在直线l：2x＋4y－1＝0上的圆的方程是________． 解析　设圆的方程为x2＋y2－4x＋2y＋λ(x2＋y2－2y－4)＝0，则(1＋λ)x2－4x＋(1＋λ)y2＋(2－2λ)y－4λ＝0，把圆心代入l：2x＋4y－1＝0的方程，可得λ＝，所以所求圆的方程为x2＋y2－3x＋y－1＝0. 答案　x2＋y2－3x＋y－1＝0 6．求与圆C：x2＋y2－7y＋10＝0相交，所得公共弦平行于已知直线2x－3y－1＝0，且过点(－2,3)，(1,4)的圆的方程． 解析　公共弦所在直线的斜率为，圆C的圆心坐标为，故两圆圆心所在直线的方程为y－＝－x，即3x＋2y－7＝0. 设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. 由 解得 所以所求圆的方程为x2＋y2＋2x－10y＋21＝0. [关键能力·综合提升] 7．(多选)若圆C1：(x－1)2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－8x＋8y＋m＝0相切，则m的值为(　　) A．16　　　　　　　　 B．7 C．－4 D．－7 解析　圆C1的圆心为(1,0)，半径为1； 圆C2：x2＋y2－8x＋8y＋m＝0转化为标准方程得(x－4)2＋(y＋4)2＝32－m， 其圆心为(4，－4)，半径为，所以两圆的圆心距为＝5. 两个圆内切时，两圆的圆心距等于半径之差的绝对值，即5＝|－1|，解得m＝－4；当两个圆外切时，两圆的圆心距等于半径之和，可得5＝＋1，解得m＝16. 综上，m的值为－4或16. 故选AC． 答案　AC 8．(多选)若圆C1：(x－m)2＋(y－1)2＝7始终平分圆C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝2的周长，则直线3x＋4y＋3＝0被圆C1所截得弦长为(　　) A．2 B． C．2 D． 解析　由圆C1：(x－m)2＋(y－1)2＝7得 x2＋y2－2mx－2y＋m2－6＝0， 由圆C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝2得 x2＋y2＋2x＋2y＝0， 把两圆的方程相减即得两圆公共弦所在直线l方程为(2m＋2)x＋4y－m2＋6＝0， 由题意知直线l经过圆C2的圆心(－1，－1)， 因而m2＋2m＝0， ∴m＝0或m＝－2， 当m＝0时，圆C1的圆心坐标为(0,1)，半径为，圆心到直线3x＋4y＋3＝0的距离 d＝＝， ∴直线3x＋4y＋3＝0被圆C1所截得的弦长为2＝. 当m＝－2时，圆C1的圆心坐标为(－2,1)，半径为，圆心到直线3x＋4y＋3＝0的距离． d＝＝， ∴直线3x＋4y＋3＝0被圆C1所截得弦长为2＝. 故选BD． 答案　BD 9．已知两圆相交于两点A(1,3)，B(m，－1)，若两圆圆心都在直线2x＋y＋c＝0上，则m＝________，c＝________. 解析　两圆相交于两点A(1,3)，B(m，－1)， 则kAB＝， 由于两圆圆心都在直线2x＋y＋c＝0上， 所以·(－2)＝－1， 解得m＝－7. 由于m＝－7，所以两点A(1,3)，B(－7，－1)的中点的坐标为D(－3,1)， 所以点D(－3,1)的坐标满足2x＋y＋c＝0，解得c＝5.故答案为－7,5. 答案　－7　5 10．已知圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心O2(2,1)． (1)若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程； (2)若圆O2与圆O1交于A，B两点，且|AB|＝2，求圆O2的方程． 解析　(1)因为两圆外切，所以|O1O2|＝r1＋r2，r2＝|O1O2|－r1＝2(－1)， 故圆O2的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝12－8. (2)设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r. 因为圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，此两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB所在直线的方程：4x＋4y＋r－8＝0.① 作O1H⊥AB，H为垂足，则|AH|＝|AB|＝， |O1H|＝＝＝. 又圆心(0，－1)到直线①的距离为＝， 得r＝4或r＝20，故圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20. [核心价值·探索创新] 11．如图，已知圆心坐标为M(，1)的圆M与x轴及直线y＝x均相切，切点分别为A，B，另一圆N与圆M，x轴及直线y＝x均相切，切点分别为C，D． (1)求圆M和圆N的方程； (2)过B点作MN的平行线l，求直线l被圆N截得的弦的长度． 解析　(1)由于圆M与∠BOA的两边相切，故M到OA及OB的距离均为圆M的半径，则M在∠BOA的角平分线上，同理，N也在∠BOA的角平分线上，即O，M，N三点共线，且射线ON为∠BOA的角平分线，因为M的坐标为M(，1)， 所以M到x轴的距离为1，即：圆M的半径为1， 所以圆M的方程为(x－)2＋(y－1)2＝1； 设圆N的半径为r，由Rt△OAM∽Rt△OCN， 得OM∶ON＝MA∶NC， 即＝⇒r＝3，OC＝3， 所以圆N的方程为：(x－3)2＋(y－3)2＝9. (2)由对称性可知，所求弦长等于过A点的MN的平行线被圆N截得的弦长，此弦所在直线方程为y＝(x－)，即x－y－＝0， 圆心N到该直线的距离d＝＝，则弦长＝2＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$