第1章 2.3 直线与圆的位置关系（Word练习）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．(多选)若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a＝(　　) A．0　　　　　　　　　 B．－2 C． D．4 解析　由圆的方程，可知圆心坐标为(a,0)，半径r＝2，又直线被圆截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离d＝＝.又d＝，所以|a－2|＝2，解得a＝4或0.故选A，D． 答案　AD 2．如果直线ax＋by＝2与圆x2＋y2＝1有两个不同的公共点，那么点(b，a)与圆x2＋y2＝4的位置关系是(　　) A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．不能确定 解析　因为直线ax＋by＝2与圆x2＋y2＝1有两个公共点，所以有＜1，即2＜. 因为点(b，a)与圆x2＋y2＝4的圆心的距离为，圆x2＋y2＝4的半径为2，所以点(b，a)在圆外．故选A． 答案　A 3．已知直线l过点P(2,4)，且与圆O：x2＋y2＝4相切，则直线l的方程为(　　) A．x＝2或3x－4y＋10＝0 B．x＝2或x＋2y－10＝0 C．y＝4或3x－4y＋10＝0 D．y＝4或x＋2y－10＝0 解析　由22＋42＝20＞4，得点P在圆外． 当过点P的切线斜率存在时，设所求切线的斜率为k， 则切线方程为y－4＝k(x－2)， 即kx－y－2k＋4＝0， ∴＝2，解得k＝. 故所求切线方程为3x－4y＋10＝0. 当过点P的切线斜率不存在时，方程为x＝2，也满足条件． 故直线l的方程为3x－4y＋10＝0或x＝2.故选A． 答案　A 4．过点A(4,1)的圆C与直线x－y＝1相切于点B(2，1)则圆C的方程为________． 解析　由题意可知，圆心必在过点B且与直线x－y＝1垂直的直线上，而此直线方程为y＝－x＋3，故设圆的方程为(x－a)2＋(y＋a－3)2＝r2，由条件知＝解得a＝3，又可求r2＝2，故所求圆的方程是(x－3)2＋y2＝2. 答案　(x－3)2＋y2＝2 5．过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为________． 解析　化圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝1.又相交所得弦长为2，故相交弦为圆的直径，所以直线过圆心．由圆的方程得圆心为(1,2)，又直线过原点，故由两点式得该直线的方程为2x－y＝0. 答案　2x－y＝0 6．求与x轴切于点(5,0)并在y轴上截取弦长为10的圆的方程． 解析　解法一　设所求圆的方程为(x－5)2＋(y－b)2＝b2，并且与y轴交于A、B两点， 由方程组， 得y＝b±，∵|yB－yA|＝10， ∴|b＋－b＋|＝10，b＝±5. ∴所求圆的方程为(x－5)2＋(y±5)2＝50. 解法二　设所求圆的方程为 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)， ∵圆与x轴相切于点(5,0)，① ∴r＝|b|，a＝5，② ∵圆在y轴上截得的弦长为10， ∴a2＋2＝r2，③ 由①②③得a＝5，r＝5. 所求圆的方程为(x－5)2＋(y±5)2＝50. [关键能力·综合提升] 7．(2024·全国甲卷·文)已知直线ax＋y＋2－a＝0与圆C：x2＋y2＋4y－1＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 解析　设直线为l：ax＋y＋2－a＝0，即l：a(x－1)＋y＋2＝0，易知l过定点P(1，－2)，圆C的标准方程为x2＋(y＋2)2＝5，所以圆心为C(0，－2)，半径为，且P在圆C内．因为当PC⊥AB时，圆心C到直线l的距离最大，此时|AB|取得最小值，易得|PC|＝|xP－xC|＝1，所以|AB|＝2＝4，故选C． 答案　C 8．(多选)已知圆M：(x＋cos θ)2＋(y－sin θ)2＝1，直线l：y＝kx，则下列命题中正确的是(　　) A．对任意实数k和θ，直线l和圆M有公共点 B．对任意实数θ，必存在实数k，使得直线l与圆M相切 C．对任意实数k，必存在实数θ，使得直线l与圆M相切 D．存在实数k与θ，使得圆M上有一点到直线l的距离为3 解析　圆心M(－cos θ，sin θ)到直线l的距离d＝＝＝|sin(θ＋φ)|，其中tan φ＝k. ∵d≤1，∴直线l与圆M有公共点，A正确；当θ＝0时，d＝＜1恒成立，即不存在k使得直线l和圆M相切，B错误； 不论k为何值，d＝|sin(θ＋φ)|＝1有解， 即存在实数θ，使得直线l与圆M相切，C正确； ∵d≤1，且圆上任一点到直线l的距离不超过d＋1，∴d＋1≤2，D错误．故选AC． 答案　AC 9．一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为________． 解析　利用直线与圆的位置关系建立等式求解． 由已知，得点(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，－3)．设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切，则有d＝＝1，解得k＝－或k＝－. 答案　－或－ 10．已知点A(1，a)，圆O：x2＋y2＝4. (1)若过点A的圆O的切线只有一条，求实数a的值及切线方程； (2)若过点A且在两坐标轴上截距相等的直线被圆O截得的弦长为2，求实数a的值． 解析　(1)由于过点A的圆O的切线只有一条，则点A在圆上，故12＋a2＝4，∴a＝±. 当a＝时，A(1，)，切线方程为x＋y－4＝0； 当a＝－时，A(1，－)， 切线方程为x－y－4＝0. (2)设直线方程为x＋y＝b. ∵直线过点A， ∴1＋a＝b，即a＝b－1.① 又圆心到直线的距离d＝， ∴2＋2＝4，② 由①②，得或 [核心价值·探索创新] 11．①经过直线l1：x－2y＝0与直线l2：2x＋y－1＝0的交点．②圆心在直线2x－y＝0上．③被y轴截得弦长|CD|＝2；从上面这三个条件中任选一个，补充下面问题中，若问题中的圆存在，求圆的方程；若问题中圆不存在，请说明理由．问题：是否存在圆Q，________，且点A(－2，－1)，B(1，－1)均在圆上？ 解析　因为点A(－2，－1)，B(1，－1)均在圆上，所以圆心在直线AB的垂直平分线上，又直线AB的方程为y＝－1，直线AB垂直平分线所在直线方程为x＝＝－，则可设圆心坐标为，设圆的半径为r. 若选①，存在圆Q，使得点A(－2，－1)，B(1，－1)均在圆上． 由解得即直线l1和l2的交点为，则圆过点，所以r2＝2＋2＝2＋(b＋1)2，解得b＝－1，则r2＝， 即存在圆Q，且圆Q的方程为2＋(y＋1)2＝； 若选②，存在圆Q，使得点A(－2，－1)，B(1，－1)均在圆上． 由圆心在直线2x－y＝0上可得2×－b＝0，则b＝－1， 所以r2＝2＋(－1＋1)2＝， 即存在圆Q，且圆Q的方程为2＋(y＋1)2＝； 若选③，存在圆Q，使得点A(－2，－1)，B(1，－1)均在圆上． 若圆被y轴截得弦长|CD|＝2，根据圆的性质可得，r2＝2＋2＝， 由r2＝2＋(b＋1)2＝， 解得b＝－1， 即存在圆Q，且圆Q的方程为2＋(y＋1)2＝； 综上，存在圆Q，且圆Q的方程为2＋(y＋1)2＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$