第1章 1.3 第2课时 直线方程的两点式和直线方程的截距式（Word练习）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．过点M(－4,3)和N(－2,1)的直线方程是(　　) A．x－y＋3＝0　　　　 B．x＋y＋1＝0 C．x－y－1＝0 D．x＋y－3＝0 解析　由两点式得，＝，整理得x＋y＋1＝0. 答案　B 2．若直线l过点(1,3)且在两条坐标轴上的截距相等，则直线l的斜率k是(　　) A．k＝－1或k＝3 B．k＝±1或k＝3 C．k＝－1 D．k＝1或k＝3 解析　直线l经过原点时，可得斜率k＝3.直线不经过原点时，直线l过点(1,3)且在两条坐标轴上的截距相等，∴经过点(a,0)，(0，a)(a≠0)． ∴k＝－1. 综上可得：直线l的斜率为k＝－1或k＝3. 答案　A 3．已知直线l的两点式方程为＝，则l的斜率为(　　) A．－ B． C．－ D． 解析　因为直线l的两点式方程为＝，所以直线l过点(－5,0)，(3，－3)，所以l的斜率为＝－. 答案　A 4．过点(2,1)且在x轴，y轴上截距相等的直线方程为(　　) A．x＋y－3＝0 B．x＋y－3＝0或x－y－1＝0 C．x＋y－3＝0或y＝x D．x－y－1＝0或y＝x 解析　①当直线在两坐标轴上的截距都为0时，设直线l的方程为y＝kx，把点P(2,1)代入方程，得1＝2k，即k＝，所以直线l的方程为y＝x；②当直线在两坐标轴上的截距都不为0时，设直线l的方程为＋＝1，把点P(2,1)代入方程，得＋＝1，即a＝3.所以直线l的方程为x＋y－3＝0. 答案　C 5．直线－＋＝－1在x轴，y轴上的截距分别为________． 解析　直线方程－＋＝－1，即＋＝1，根据直线方程的截距式，可得它在x轴，y轴上的截距分别为2，－3. 答案　2，－3 6．已知△ABC的三个顶点分别为A(1,2)，B(4,1)，C(3,6)，则AC边上的中线BM所在直线的方程为________． 解析　∵AC的中点为M(2,4)，∴AC边上的中线BM所在的直线方程为＝， 整理，得3x＋2y－14＝0. 答案　3x＋2y－14＝0 7．已知点P(3，m)在过点M(2，－1)和N(－3,4)的直线上，则m的值是________． 解析　由两点式，得直线MN的方程为＝，化简，得x＋y－1＝0.又点P(3，m)在此直线上，代入得3＋m－1＝0，解得m＝－2. 答案　－2 8．已知△ABC的顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，若AB与y轴交于点E，BC与x轴交于点F，求直线EF的方程． 解析　直线AB过A(－5,0)，B(3，－3)两点， 由两点式得＝， 整理得3x＋8y＋15＝0， 这就是AB所在直线的方程． 令x＝0，得y＝－，所以E. 直线BC过B(3，－3)，C(0,2)两点， 由两点式得＝， 整理得5x＋3y－6＝0， 这就是BC所在直线的方程． 令y＝0，得x＝，所以F. 由截距式方程得＋＝1， 整理得25x－16y－30＝0. 所以直线EF的方程为25x－16y－30＝0. [关键能力·综合提升] 9．(多选)直线l过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12，则直线l的方程为(　　) A．x－3y－9＝0 B．x＋3y－9＝0 C．4x－y＋16＝0 D．4x－y－16＝0 解析　由于直线在两坐标轴上的截距之和为12，因此直线l在两坐标轴上的截距都存在且不过原点， 故可设直线l的方程为＋＝1，a＋b＝12.① 又直线l过点(－3,4)，所以＋＝1.② 由①②解得或 故所求直线的方程为＋＝1或＋＝1， 即x＋3y－9＝0或4x－y＋16＝0.故选BC． 答案　BC 10．(多选)已知直线＋＝1经过第一、二、三象限且斜率小于1，那么下列不等式中一定正确的是(　　) A．|a|＞|b| B．＞ C．(b－a)(b＋a)＞0 D．＞ 解析　因为直线＋＝1经过第一、二、三象限，所以直线在x轴上的截距a＜0，在y轴上的截距b＞0. 由直线的斜率小于1可知0＜－＜1，结合a＜0可得a＜0＜b＜－a. 由绝对值的性质可知|a|＞|b|，选项A正确； 由幂函数y＝的单调性可知＞，选项B正确； 因为b－a＞0，b＋a＜0，所以(b－a)(b＋a)＜0，选项C错误； 因为＜0，＞0，所以＜，选项D错误，故选AB． 答案　AB 11．已知直线l过点(－1,2)，经过第一象限且在两个坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为________． 解析　因为直线l过点(－1,2)，经过第一象限且在两个坐标轴上的截距相等， 所以该直线l不过原点，设直线l的方程为＋＝1，所以＋＝1，解得a＝1， 所以直线l的方程为＋＝1，即y＝－x＋1. 答案　y＝－x＋1 12．已知在△ABC中，A(2，－1)，B(4,3)，C(3，－2)．则与BC边平行的中位线所在直线方程为________，此直线与坐标轴围成的三角形的面积为________． 解析　设AB的中点为M，AC的中点为N，则M(3,1)，N，故由两点式得所求直线方程为＝，即5x－y－14＝0.令直线方程5x－y－14＝0中x＝0，得y＝－14，令y＝0，得x＝，故直线5x－y－14＝0与坐标轴围成的三角形面积为×14×＝. 答案　5x－y－14＝0　 13．直线l过点P且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点． (1)当△AOB的周长为12时，求直线l的方程； (2)当△AOB的面积为6时，求直线l的方程． 解析　(1)设直线l的方程为＋＝1(a＞0，b＞0)，因为直线l过点P， 所以＋＝1，① 又a＋b＋＝12.② 由①②可得5a2－32a＋48＝0，解得或 所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0. (2)设直线l的方程为＋＝1(a＞0，b＞0)，由题意知，ab＝12，＋＝1，消去b，得a2－6a＋8＝0，解得或所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0. [核心价值·探索创新] 14．已知两点A(3,0)，B(0,4)，动点P(x，y)在线段AB上运动，则xy的最大值为________． 解析　由题意知线段AB的方程为＋＝1(0≤x≤3)，则y＝4(0≤x≤3)，所以xy＝4x＝－2＋3，当x＝时，xy取得最大值3. 答案　3 15．已知直线l在x轴，y轴上的截距之和为4. (1)若直线l的斜率为2，求实数m的值； (2)若直线l分别与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O是坐标原点，求△AOB面积的最大值及此时直线l的方程． 解析　依题意直线在x，y轴上的截距都存在且不为0， 设直线l的方程为＋＝1(m≠0，m≠4)． (1)由直线方程可知，直线过点(m,0)，(0,4－m)， ∴kl＝＝＝2，解得m＝－4. (2)依题意解得0＜m＜4， 又A(m,0)，B(0,4－m)， S△AOB＝|m|·|4－m|＝m·(4－m)＝(－m2＋4m)＝－(m－2)2＋2， ∴当m＝2时，(S△AOB)max＝2， 此时直线l的方程为＋＝1，即y＝－x＋2. 学科网（北京）股份有限公司 $$