单元检测02 集合与常用逻辑用语（能力卷）- 2024-2025学年高一上学期必修第一册数学同步学案（自主预习+题型研析+当堂温习+分层练习）（人教A版2019）

单元检测02 集合与常用逻辑用语（能力卷） 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 一、单选题 1．（2024高二下·安徽·学业考试）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·辽宁·模拟预测）已知集合，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川·一模）已知集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．（23-24高一上·湖北恩施·阶段练习）定义集合运算：.若集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高一上·河南郑州·阶段练习）下列表示集合和关系的Venn图中正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·四川乐山·三模）已知集合，则集合A的元素个数为（    ） A．9 B．8 C．6 D．5 7．（23-24高二下·北京昌平·期末）已知集合，对于集合中的任意元素和，记.若集合，，均满足，则中元素个数最多为（    ） A．10 B．11 C．1023 D．1024 8．（23-24高一上·陕西西安·开学考试）已知表示不超过x的最大整数，集合，，且，则集合B的子集个数为（    ）． A．4 B．8 C．16 D．32 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（22-23高一上·湖北随州·阶段练习）已知命题，若为真命题，则的值可以为（ ） A． B． C．0 D．3 10．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）下列四个命题中正确的是（   ） A．由所确定的实数集合为 B．同时满足的整数解的集合为 C．集合可以化简为 D．中含有三个元素 11．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）对于集合，给出以下结论，其中正确的结论是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高二下·甘肃兰州·期末）已知集合．若，则 ． 13．（23-24高一上·四川成都·期中）若成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围为 . 14．（23-24高三下·重庆·期中）已知集合，集合满足：①每个集合都恰有4个元素；②.集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为，则的最大值与最小值的差为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高一上·福建莆田·阶段练习）已知集合. (1)若是空集，求的取值范围； (2)若中只有一个元素，求的值，并把这个元素写出来; (3)若中至多只有一个元素，求的取值范围; 16. (15分) （22-23高一上·河南平顶山·阶段练习）已知集合，，且． (1)若是真命题，求实数的取值范围； (2)若是真命题，求实数的取值范围． 17. (15分) （23-24高一上·上海·期末）已知集合. (1)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若至少有两个子集，试求实数的取值范围. 18. (17分) （24-25高一上·河南驻马店·开学考试）设集合，． (1)当时，求，； (2)记，若集合的子集有8个，求实数的取值所构成的集合． 19. (17分) （23-24高一上·北京·期中）已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”. (1)试判断集合是否为集合的“期待子集”；（直接写出答案，不必说明理由） (2)如果一个集合中含有三个元素，同时满足①，②，③为偶数.那么称该集合具有性质.对于集合的非空子集，证明：集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 单元检测02 集合与常用逻辑用语（能力卷） 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 一、单选题 1．（2024高二下·安徽·学业考试）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·辽宁·模拟预测）已知集合，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川·一模）已知集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．（23-24高一上·湖北恩施·阶段练习）定义集合运算：.若集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高一上·河南郑州·阶段练习）下列表示集合和关系的Venn图中正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·四川乐山·三模）已知集合，则集合A的元素个数为（    ） A．9 B．8 C．6 D．5 7．（23-24高二下·北京昌平·期末）已知集合，对于集合中的任意元素和，记.若集合，，均满足，则中元素个数最多为（    ） A．10 B．11 C．1023 D．1024 8．（23-24高一上·陕西西安·开学考试）已知表示不超过x的最大整数，集合，，且，则集合B的子集个数为（    ）． A．4 B．8 C．16 D．32 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（22-23高一上·湖北随州·阶段练习）已知命题，若为真命题，则的值可以为（ ） A． B． C．0 D．3 10．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）下列四个命题中正确的是（   ） A．由所确定的实数集合为 B．同时满足的整数解的集合为 C．集合可以化简为 D．中含有三个元素 11．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）对于集合，给出以下结论，其中正确的结论是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高二下·甘肃兰州·期末）已知集合．若，则 ． 13．（23-24高一上·四川成都·期中）若成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围为 . 14．（23-24高三下·重庆·期中）已知集合，集合满足：①每个集合都恰有4个元素；②.集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为，则的最大值与最小值的差为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高一上·福建莆田·阶段练习）已知集合. (1)若是空集，求的取值范围； (2)若中只有一个元素，求的值，并把这个元素写出来; (3)若中至多只有一个元素，求的取值范围; 16. (15分) （22-23高一上·河南平顶山·阶段练习）已知集合，，且． (1)若是真命题，求实数的取值范围； (2)若是真命题，求实数的取值范围． 17. (15分) （23-24高一上·上海·期末）已知集合. (1)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若至少有两个子集，试求实数的取值范围. 18. (17分) （24-25高一上·河南驻马店·开学考试）设集合，． (1)当时，求，； (2)记，若集合的子集有8个，求实数的取值所构成的集合． 19. (17分) （23-24高一上·北京·期中）已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”. (1)试判断集合是否为集合的“期待子集”；（直接写出答案，不必说明理由） (2)如果一个集合中含有三个元素，同时满足①，②，③为偶数.那么称该集合具有性质.对于集合的非空子集，证明：集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A D C C B C BCD BC 题号 11 答案 AC 1．B 【分析】根据全称命题的否定选择. 【详解】的否定为：. 故选：B. 2．B 【分析】根据描述法表示的集合元素特征，对选项逐一判断即可得出结论. 【详解】因为，所以，因为，所以 所以，故A错误，B正确； 所以，故C错误； 所以，故D错误； 故选：B． 3．A 【分析】根据条件，利用充分条件和必要条件的判断方法，即可求出结果. 【详解】当时，，此时，即可以推出， 若，所以，得到，所以推不出， 即“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 4．D 【分析】由题意可得，从而可得或，或，再根据新定义得，再代入验证即可得答案. 【详解】因为，所以或 所以或，或 所以或，， 代入验证得点在该直线上， 故. 故选：D. 5．C 【分析】分别求出集合，，由集合间关系即可求解. 【详解】由题意得，所以． 故选：C 6．C 【分析】利用列举法表示集合A即可得出元素个数. 【详解】，共6个元素. 故选：C. 7．B 【分析】分析可得当和同时为时，，当和至少有一个为时，，要使，则的所有元素的位置至多有个，讨论即可得到集合的元素个数的最值． 【详解】依题意，对于中元素和， 当和同时为时，， 当和至少有一个为时，， 要使得的一个子集中任两个不同元素、，均满足， 设集合中的元素记为， 则的所有元素的位置至多有个， 若位置为，其它位置为的元素有个， 若全为的有个， 综上中元素最多有个． 故选：B． 【点睛】关键点点睛：本题关键是分析出的所有元素的位置至多有个，从而确定中元素个数的最大值. 8．C 【分析】由新定义及集合的概念可化简集合，再由可知，分类讨论的归属，从而得到集合的元素个数，由此利用子集个数公式即可求得集合的子集的个数. 【详解】由题设可知，， 又因为，所以， 而， 因为的解为或，的两根满足， 所以分属方程与的根， 若是的根，是的根，则有，解得， 代入与，解得或与或， 故； 若是的根，是的根，则有，解得， 代入与，解得或与或， 故； 所以不管如何归属方程与，集合总是有4个元素， 故由子集个数公式可得集合的子集的个数为. 故选：C 9．BCD 【分析】考虑与两种情况，结合方程有根，得到的取值范围，求出答案. 【详解】当时，，为真命题，则成立， 当时，若为真命题，则，解得且， 综上，为真命题时，的取值范围为. 故选：BCD 10．BC 【分析】利用绝对值的意义，去绝对值符号，即可判定A；解不等式得到x的取值范围，用列举法表示出整数解的集合即可判定B；由，，，用列举法可判定C；用试根的方式找出满足条件的元素可判断D. 【详解】解：对于选项A， 当都是正数时，原式 当都是负数时，原式 当两正一负时，原式 当两负一正时，原式故A错误； 对于选项B，由，得， 所以符合条件的整数解的集合为，故B正确； 对于选项C，由，，， 可以得到符合条件的数对有，，，故C正确； 对于选项D，当时，；当时， 当时，；当时，； 当时，；当时，， 所以集合A含有四个元素2，1，0，，故D错误. 故选：BC. 11．AC 【分析】分别将各选项中式子或者集合变形，判断是否能变形成与集合M中元素一样的特征. 【详解】对于A，，则恒有， 即，则，故A选项正确； 对于B，，若，则存在使得， 即，又和同奇或同偶， 若和都是奇数，则为奇数，而是偶数； 若和都是偶数，则能被4整除，而不一定能被4整除， 所以不能得到，故B选项错误； 如果，可设， 对于C，， 可得，故C选项正确； 对于D，， 不一定成立，不能得到，故D选项错误. 故选：AC 【点睛】方法点睛： 按照题目中关于集合中元素的定义，对选项中的算式进行变形整理，表示成中元素的形式，判断是否能够成立. 12． 【分析】根据交集的定义，结合集合中元素的互异性进行求解即可. 【详解】当时，，此时，不满足集合中元素的互异性，所以（舍）； 当时，可得（舍）， 此时，，满足条件，所以． 故答案为： 13． 【分析】先利用绝对值的几何意义化简不等式，再根据充分不必要条件列不等式求解即可. 【详解】等价于， 因为成立的一个充分不必要条件是，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 14． 【分析】判断集合中元素的最小值与最大值的可能情况，然后按照特征数定义求解即可. 【详解】因为满足:①每个集合都恰有4个元素；②， 所以一定各包含4个不同数值， 集合中元素的最小值分别是1，2，3，最大值是12，11，9， 特征数的和最小，如：，特征数为13； ，特征数为11；，特征数为9； 则最小，最小值为； 当集合中元素的最小值分别是1，4，7，最大值是12，11，10时， 特征数的和最大，如：，特征数为13； ，特征数为15；，特征数为17； 则最大，最大值为， 故的最大值与最小值的差为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查了集合新定义问题，解答本题的关键在于理解题中所给新定义的含义，明确其内容，利用子集知识求解即可. 15．(1) (2)时，元素为；时，元素为 (3)或 【分析】（1）由题意得方程无解，利用即可求解. （2）由题意，对二次项系数分和讨论，时方程为一元一次方程，有且仅有一个根，满足题意，时，利用即可求解. （3）由题意得，为空集，或有且仅有一个元素，由（1）（2）的结论即可求解. 【详解】（1）若是空集， 则方程无解， 此时， 即. 故的取值范围为. （2）若中只有一个元素， 则方程有且仅有一个实根， 当时，方程为，解得， 方程有且仅有一个实根，满足题意； 当时，， 解得， 此时， 或， 当时，，即该元素为； 当时，，即该元素为. （3）若中至多只有一个元素， 则为空集，或有且仅有一个元素， 由（1）（2）的结论可得的取值范围是或. 16．(1) (2) 【分析】（1）依题意可得，即可得到不等式组，解得即可； （2）由求出的取值范围，依题意可得，求出时参数的取范围，即可得解. 【详解】（1）由于是真命题，所以． 而，所以，解得，故的取值范围为． （2）因为，所以，解得． 由为真命题，得， 当时，或，解得． 因为，所以当时，； 所以当时，．故的取值范围为． 17．(1)或，或 (2) 【分析】（1）考虑和且两种情况. （2）至少有两个子集，则方程由一个或两个根，考虑第一问的结果和且两种情况. 【详解】（1）时，解得符合题意； 时令解得， 此时， 解得符合题意， 故或，或 （2）若至少有两个子集，则至少有一个元素. 由（1）知或时符合题意. 由题意可知时若也符合题意. 即解得且. 综上. 18．(1)，． (2) 【分析】（1）求出集合A，B，根据集合的交集、并集运算求解； （2）由集合C子集个数确定集合中元素个数，据此结合中元素确定的取值即可. 【详解】（1）因为集合， ， ∴当时，，∴，． （2）因为集合的子集有8个， ∴集合中有3个元素， 而，故实数的取值集合为 19．(1)是集合的“期待子集”，不是集合的“期待子集” (2)证明见解析 【分析】（1）根据所给定义判断即可. （2）先证明必要性，再证明充分性，结合所给“期待子集”的定义及性质的定义证明即可； 【详解】（1）因为， 对于集合，令，解得，显然，， 所以是集合的“期待子集”； 对于集合，令，则， 因为，即，故矛盾，所以不是集合的“期待子集” （2）先证明必要性： 当集合是集合的“期待子集”时，由题意，存在互不相同的，使得， 不妨设，令，，，则，即条件中的①成立； 又，所以，即条件中的②成立； 因为， 所以为偶数，即条件中的③成立； 所以集合满足条件. 再证明充分性： 当集合满足条件时，有存在，满足①，②，③为偶数， 记，，， 由③得，由①得，由②得， 所以， 因为，，，所以，，均属于， 即集合是集合的“期待子集” 【点睛】关键点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关的其它知识，分类讨论，进行推理判断解决. 学科网（北京）股份有限公司 $$