第一章《空间向量与立体几何》同步单元必刷卷（培优卷）-2024-2025学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019选择性必修第一册）

第一章《空间向量与立体几何》同步单元必刷卷（培优卷） 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．给出下列说法，其中不正确的是（    ） A．若，则，与空间中其它任何向量都不能构成空间的一个基底向量 B．若，则A，B，C，D四点共面 C．若，则点M是线段AB的中点 D．若平面α，β的法向量分别为，，且α⊥β，则 2．在四面体中，空间的一点满足，若，，共面，则（    ） A． B． C． D． 3．已知四面体O－ABC，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG＝3GG1，若，则为（    ） A． B． C． D． 4．在三棱锥中，为的中点，则等于（    ） A．-1 B．0 C．1 D．3 5．如图，在正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，下列四个结论中，正确的是（    ） A．平面 B．存在点，使平面 C．存在点，使 D． 6．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点P为线段BC1上的动点，则点P到直线AC的距离的最小值为（　　）    A．1 B． C． D． 7．在长方体中，，，O是AC的中点，点P在线段上（包含端点），若直线OP与平面所成的角为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑中，平面，，，E是BC的中点，H是内的动点（含边界），且平面，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若，，是三个不共面的单位向量，且两两夹角均为，则（    ） A．的取值范围是 B．能构成空间的一个基底 C．“”是“P，A，B，C四点共面”的必要不充分条件 D． 10．已知正方体的边长为2，为的中点，为侧面上的动点，且满足平面，则下列结论正确的是（   ） A． B．平面 C．动点的轨迹长为 D．与所成角的余弦值为 11．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点满足，则（    ） A．当时，平面 B．任意，三棱锥的体积是定值 C．存在，使得与平面所成的角为 D．当时，平面截该正方体的外接球所得截面的面积为 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是 ． 13．如图，二面角等于，A、是棱l上两点，BD、AC分别在半平面、内，，，且，则CD的长等于 . 14．在侧棱长为的正三棱锥中，点为线段上一点，且，点M为平面内的动点，且满足，记直线与直线的所成角的余弦值的取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知，，，，， (1)若、共线，求实数； (2)若向量与所成角为锐角，求实数的范围． 16．如图，在四面体中，，，，，点，分别在棱，上，且，.    (1)用，，表示，； (2)求异面直线，所成角的余弦值. 17．如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得． (1)证明：； (2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值． 18．在梯形中，，，，P为的中点，线段与交于O点（如图1）.将沿折起到位置，使得平面平面（如图2）.    (1)求二面角的余弦值； (2)线段上是否存在点Q，使得与平面所成角的正弦值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19．如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章《空间向量与立体几何》同步单元必刷卷（培优卷） 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．给出下列说法，其中不正确的是（    ） A．若，则，与空间中其它任何向量都不能构成空间的一个基底向量 B．若，则A，B，C，D四点共面 C．若，则点M是线段AB的中点 D．若平面α，β的法向量分别为，，且α⊥β，则 【答案】B 【分析】由已知，选项A，由，可知，与任何向量都共面，所以，与任何向量都不能构成空间的一个基底向量；选项B，由空间向量共线定理可知，该选项错误；选项C，由线性运算关系可知，该选项正确；选项D，可根据α⊥β，借助，，坐标直接求解. 【详解】由已知，选项A，向量，则，与任何向量都共面，所以，与任何向量都不能构成空间的一个基底向量，故该选项正确； 选项B，由空间向量共面定理可知，如果A，B，C，D四点共面，则须满足，且，所以该选项错误； 选项C，由线性运算有，所以M为AB中点，故该选项正确； 选项D，面α，β的法向量分别为，，当α⊥β时，面α，β的法向量共线，即，即，解得，故该选项正确； 故选：B. 2．在四面体中，空间的一点满足，若，，共面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量共面定理求解． 【详解】由题意， ，， ∵，，共面， ∴存在实数唯一实数对，使得， ， ∴，解得． 故选：B． 【点睛】结论点睛：本题考查空间向量共面定理．空间上任意三个不共面的向量都可以作为一个基底，其他向量都可用基底表示，且表示方法唯一．是不共面的向量，，则共面． 3．已知四面体O－ABC，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG＝3GG1，若，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接AG1并延长，交BC于点E，利用向量加减、数乘几何意义用表示出，即可得答案. 【详解】如图所示，连接AG1并延长，交BC于点E，则点E为BC的中点， ，则， 由题设，， 所以. 故选：A 4．在三棱锥中，为的中点，则等于（    ） A．-1 B．0 C．1 D．3 【答案】C 【分析】由题意可得，再由数量积的运算律代入求解即可. 【详解】因为， 所以， ， ， 因为， . 故选：C.    5．如图，在正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，下列四个结论中，正确的是（    ） A．平面 B．存在点，使平面 C．存在点，使 D． 【答案】D 【分析】当与重合时，平面，即可判断A；设正方体的棱长为1，以点为坐标原点，以，，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，可得坐标，由可知与不垂直，即可判断B；若，则，列方程组求解可判断C；由可判断D. 【详解】当与重合时，又平面，则平面，故A错误； 设正方体的棱长为1，以点为坐标原点，以，，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 设，又，∴， ，则，∴， ∵，，∴与不垂直，而平面，则与平面不垂直，故B错误； ，若，则，则，此方程无解，故不存在点，使，故C错误； ∵，，，∴，故D正确． 故选：D． 6．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点P为线段BC1上的动点，则点P到直线AC的距离的最小值为（　　）    A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】以D为坐标原点，DA、DC、所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线距离可得. 【详解】解：正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点P为线段BC1上的动点， 以D为坐标原点，DA、DC、所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则A（2，0，0），C（0，2，0），B（2，2，0），设P（2﹣t，2，t），（0≤t≤2）， ， 设异面直线的公共法向量为， 则，取x＝1，得， ∴点P到直线AC的距离为： ， 点P到直线AC的距离的最小值为. 故选：C.    7．在长方体中，，，O是AC的中点，点P在线段上（包含端点），若直线OP与平面所成的角为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，结合线面角的计算公式，即可得到结果. 【详解】 以为原点，分别以为轴正半轴，建立如图所示空间直角坐标系， 因为，，则, ，因为O是AC的中点，则，则， ，设，，则， 所以，则，设平面的法向量为，则，解得，取，则， 所以，则 ，其中， 当或时，有最小值为； 当时，有最大值为； 所以. 故选：D 8．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑中，平面，，，E是BC的中点，H是内的动点（含边界），且平面，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意作出图形，利用面面平行的判定定理可得平面平面，再由线面垂直的判定定理可得平面，进而有，，结合空间向量的数量积运算即可求解. 【详解】设F，G分别为AB，BD的中点，连接FG，EF，EG，如图， 易得，，， 因为平面，平面，所以平面， 同理平面， 又因为平面，，所以平面平面. 因为平面，所以H为线段FG上的点. 由平面，平面，得， 又，则， 由平面，得平面， 因为，所以平面，，. 因为， 所以，，. 所以 . 因为，所以. 故选：B. 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若，，是三个不共面的单位向量，且两两夹角均为，则（    ） A．的取值范围是 B．能构成空间的一个基底 C．“”是“P，A，B，C四点共面”的必要不充分条件 D． 【答案】BD 【分析】利用向量的夹角的定义判断A； 利用空间向量的基底的性质判断B； 利用共面向量定理判断C； 利用向量数量积公式判断D. 【详解】解：因为，，是三个不共面的单位向量，且两两夹角均为， 对于A，由向量所成角的定义得，故错误； 对于B，因为不共面，所以能构成空间的一个基底，故正确； 对于C，因为，3-1-1=1，所以P，A，B，C四点共面； 当P，A，B，C四点共面时，不一定有成立， 所以“”是“P，A，B，C四点共面”的充分不必要条件，故错误； 对于D， ==，故正确. 故选：BD. 10．已知正方体的边长为2，为的中点，为侧面上的动点，且满足平面，则下列结论正确的是（   ） A． B．平面 C．动点的轨迹长为 D．与所成角的余弦值为 【答案】BC 【分析】建立空间直角坐标系，结合向量法判断各选项. 【详解】如图建立空间直角坐标系，设正方体棱长为， 则，，，，， 所以，，， 由平面， 得，即，化简可得， 所以动点在直线上， A选项：，，，所以与不垂直，所以A选项错误； B选项：，平面，平面，所以平面，B选项正确； C选项：动点在直线上，且为侧面上的动点，则在线段上，，所以，C选项正确； D选项：，，D选项错误； 故选：BC. 11．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点满足，则（    ） A．当时，平面 B．任意，三棱锥的体积是定值 C．存在，使得与平面所成的角为 D．当时，平面截该正方体的外接球所得截面的面积为 【答案】ACD 【分析】建立适当的空间直角坐标系，对于A，时，与重合，故只需验证面是否成立即可，对于B，由不与平面平行，即点到面的距离不为定值，由此即可推翻B，对于C，考虑两种极端情况的线面角，由于是连续变化的，故与平面所成的角也是连续变化的，由此即可判断；对于D，求出平面的法向量，而显然球心坐标为，求出球心到平面的距离，然后结合球的半径、勾股定理可得截面圆的半径，进一步可得截面圆的面积. 【详解】如图所示建系，， 所以， 从而， 所以， 又面， 所以面， 时，与重合，平面为平面， 因为面，平面，A对. 不与平面平行，到面的距离不为定值， 三棱锥的体积不为定值，B错. 设面的法向量为， 则，令，解得， 即可取， 而， 所以与平面所成角的正弦值为， 又， 所以， 所以， 又面， 所以面， 当在时，与平面所成角的正弦值为，此时与平面所成角小于， 当在时，与平面所成角为， 所以存在使与平面所成角为，C正确. ， 设平面的法向量为， 不妨设，则. ，则，平面的法向量，显然球心， 到面的距离，外接球半径， 截面圆半径的平方为，所以，D对. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：判断D选项的关键是利用向量法求出球心到截面的距离，由此即可顺利得解. 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据投影向量的概念计算即可得解. 【详解】向量在向量上的投影向量为： . 故答案为： 13．如图，二面角等于，A、是棱l上两点，BD、AC分别在半平面、内，，，且，则CD的长等于 . 【答案】4 【分析】根据二面角的定义，结合空间向量加法运算性质、空间向量数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】由二面角的平面角的定义知， ∴， 由，，得，，又， ∴ ， 所以，即. 故答案为：4. 14．在侧棱长为的正三棱锥中，点为线段上一点，且，点M为平面内的动点，且满足，记直线与直线的所成角的余弦值的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用正三棱锥的结构特征，结合已知可得两两垂直，再确定的轨迹，建立空间直角坐标系，利用空间向量求出异面直线夹角余弦即得. 【详解】在正三棱锥中，由于正三棱锥的相对棱垂直，则，而， 平面，于是平面，又平面， 因此，有，记在底面内的投影为， ，，则， 由，得，所以的轨迹是以为圆心半径为的圆， 取中点，连接，则经过点，建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，，而， 则，设直线与直线的所成角为， 所以， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知，，，，， (1)若、共线，求实数； (2)若向量与所成角为锐角，求实数的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量的模长公式以及可求出、的值，可得出向量、的坐标，根据、共线，可得出关于实数的不等式，解之即可； （2）分析可知以及、不共线，结合空间向量的坐标运算可求得实数的取值范围. 【详解】（1）解：因为，，，，， 则，可得，，解得， 所以，，所以，， 因为，所以，解得． （2）解；由（1）知，，， 因为向量与所成角为锐角， 所以，解得， 又当时，， 所以实数的范围为． 16．如图，在四面体中，，，，，点，分别在棱，上，且，.    (1)用，，表示，； (2)求异面直线，所成角的余弦值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据向量的线性运算直接表示各向量； （2）利用转化法求向量数量积及夹角. 【详解】（1）因为点，分别在棱，上，且，， 所以，， 所以， ； （2）因为，，，， 所以，， 所以， ， ， 所以， 即异面直线，所成角的余弦值为. 17．如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得． (1)证明：； (2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由题意，根据余弦定理求得，利用勾股定理的逆定理可证得，则，结合线面垂直的判定定理与性质即可证明； （2）由（1），根据线面垂直的判定定理与性质可证明，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解面面角即可. 【详解】（1）由， 得，又，在中， 由余弦定理得, 所以，则，即， 所以，又平面， 所以平面，又平面， 故； （2）连接，由，则， 在中，，得， 所以，由（1）知，又平面， 所以平面，又平面， 所以，则两两垂直，建立如图空间直角坐标系， 则， 由是的中点，得， 所以， 设平面和平面的一个法向量分别为， 则，， 令，得， 所以， 所以， 设平面和平面所成角为，则， 即平面和平面所成角的正弦值为. 18．在梯形中，，，，P为的中点，线段与交于O点（如图1）.将沿折起到位置，使得平面平面（如图2）.    (1)求二面角的余弦值； (2)线段上是否存在点Q，使得与平面所成角的正弦值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）建立空间直角坐标系，由空间向量求解； （2）设，表示出，利用向量的夹角公式代入列式，即可得解. 【详解】（1）因为在梯形中，，，，为的中点，所以，，， 所以是正三角形，四边形为菱形， 可得，， 而平面平面，平面平面， 平面，， 平面，所以，，两两互相垂直， 如图，以点为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，，，， 设平面的一个法向量为，则 ，即，令，则， ， 设平面的一个法向量为，则 ，即，令，则，， ， ， 所以二面角的余弦值为. （2）线段上存在点，使得与平面所成角的正弦值为. 设，因为，，所以， 设与平面所成角为，则， 即，，解得， 所以线段上存在点，且，使得与平面所成角的正弦值为. 19．如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先利用平面几何的知识与线面垂直的性质证得两两垂直，从而建立空间直角坐标系，求出和平面的法向量，由此证得线面平行； （2）结合（1）中结论，求出平面与平面的法向量，利用空间向量夹角余弦的坐标表示求解即可； （3）先利用线面角结合向量法求得的坐标，再利用空间向量点面距离公式求解即可. 【详解】（1）记的中点为，连结， 因为，，所以四边形是平行四边形，则， 因为，所以平行四边形是矩形，则， 因为平面，平面，所以，则两两垂直， 故以为坐标原点，分别以，，为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，，， 因为为的中点，所以，则， 设平面的一个法向量为，而，， 则，令，则， 所以，则， 又平面，所以平面． . （2）设平面的一个法向量为，而，， 所以，令，则， 设平面的一个法向量为，而，， 所以，令，则， 记平面与平面夹角为，则， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. （3）依题意，不妨设，则，， 又由（2）得平面的一个法向量为，记直线与平面所成角为， 所以，解得（负值舍去）， 所以，则， 而由（2）得平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$