第一章《空间向量与立体几何》同步单元必刷卷（基础卷）-2024-2025学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019选择性必修第一册）

第一章《空间向量与立体几何》同步单元必刷卷（基础卷） 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．若点平面，且对空间内任意一点满足，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，单位向量满足，则的夹角为（    ） A． B． C． D． 3．四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，若，则等于（    ） A． B．1 C． D．2 4．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 5．已知空间中三点，，，则（    ） A．与是共线向量 B．的单位向量是 C．与夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是 6．在直三棱柱中，分别是的中点，，则与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 7．如图，二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，，且，则的长等于（    ）    A． B． C．4 D．2 8．如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，，，点是的中点，点是上不与端点重合的动点，则异面直线与所成角的正切值最小为（    ） A． B． C． D． 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知空间向量，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 10．下列命题不正确的是（       ） A．若A，B，C，D是空间任意四点，则有= B．“”是“共线”的充要条件 C．若共线，则与所在直线平行 D．对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若 (其中x、y、z∈R)，则P、A、B、C四点共面 11．在直三棱柱中，，，、分别是、的中点，在线段上，则下面说法中正确的有（    ） A．平面 B．若是上的中点，则 C．直线与平面所成角的正弦值为 D．直线与直线所成角最小时，线段长为 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在空间直角坐标系中，点，则向量在上的投影向量的坐标为 . 13．二面角为，,是棱上的两点，，分别在半平面，内，，，且，，则的长为 ． 14．如图，四边形是正方形，平面，且，是线段的中点，则异面直线与所成角的正切值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知，，，，，求： (1)，，； (2)与夹角的余弦值. 16．如图，在平行六面体中，．求： (1)；(2)的长；(3)的长． 17．如图，四棱锥，底面为直角梯形，，，，. (1)求证：平面平面； (2)若直线与平面所成角为，求直线与平面所成角的正弦值. 18．如图，直三棱柱的体积为4，的面积为． (1)求A到平面的距离； (2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值． 19．如图所示，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，且点M和N分别为和的中点. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)在棱上是否存在点E，使得直线和平面所成角的正弦值为?若存在试求出点E的位置，若没有说明理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章《空间向量与立体几何》同步单元必刷卷（基础卷） 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．若点平面，且对空间内任意一点满足，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件得出，，，四点共面，再根据即可求出的值． 【详解】平面， ，，，四点共面， 又， ，解得． 故选：D． 或者根据平面，，，，四点共面，则存在实数，使得， 即， 又，所以解得 故选：D 2．已知向量，单位向量满足，则的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的模平方得向量积的值，再利用向量夹角公式求解 【详解】因为，所以.又， 所以，即，所以，则. 所以.又，所以. 故选：C. 3．四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，若，则等于（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】运用向量的线性运用表示向量，对照系数，求得，代入可得选项. 【详解】因为， 所以，所以，所以 ， 所以， 故选：A. 4．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量数量积的运算性质和定义，结合投影向量进行求解即可. 【详解】因为空间向量，， 所以向量在向量上的投影向量为： ， 故选：C 5．已知空间中三点，，，则（    ） A．与是共线向量 B．的单位向量是 C．与夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是 【答案】D 【分析】根据共线向量、单位向量、空间向量夹角公式、法向量的性质逐一判断即可. 【详解】对于A，由 ，，，所以与不共线，所以A错误； 对于B，的单位向量为，所以B错误； 对于C，，所以， 所以C错误； 对于D，设平面的法向量是， 则，将，，代入验证满足方程组，所以D正确． 故选：D 6．在直三棱柱中，分别是的中点，，则与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，求直线与的方向向量，利用向量夹角公式求夹角； 【详解】以点为原点，以为轴的正方向建立空间直角坐标系， 设，则，，，，， ，，所以，， 所以， 故选：A. 7．如图，二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，，且，则的长等于（    ）    A． B． C．4 D．2 【答案】C 【分析】根据题意，可得，再由空间向量的模长计算公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】由二面角的平面角的定义知， ∴， 由，得，又， ∴ ， 所以，即. 故选：C. 8．如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，，，点是的中点，点是上不与端点重合的动点，则异面直线与所成角的正切值最小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，先证明，再以为空间直角坐标系的原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设异面直线与所成角为，利用向量法求出，再利用函数求出最值即得解. 【详解】如图所示，连接. 由题得，所以是等边三角形，所以. 因为平面，所以.以为空间直角坐标系的原点，建立如图所示的空间直角坐标系.设. 则. 由题得, . 设. 所以. 设异面直线与所成角为， 则. 当时，最大为，此时最小，最小值为. 故选：C 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知空间向量，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 【答案】AC 【分析】根据向量坐标运算，验证向量的平行垂直，向量的模，投影向量即可解决. 【详解】因为，所以，故A正确； 由题得，而，所以不成立，故B不正确； 因为，故C正确； 因为在上的投影向量为，故D错误； 故选：AC. 10．下列命题不正确的是（       ） A．若A，B，C，D是空间任意四点，则有= B．“”是“共线”的充要条件 C．若共线，则与所在直线平行 D．对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若 (其中x、y、z∈R)，则P、A、B、C四点共面 【答案】BCD 【分析】根据向量的多边形法则可知A正确；根据向量的三角不等式等号成立条件可知，B错误； 根据共线向量的定义可知，C错误；根据空间向量基本定理的推论可知，D错误． 【详解】对A，四点恰好围成一封闭图形，根据向量的多边形法则可知，正确； 对B，根据向量的三角不等式等号成立条件可知，同向时，应有，即必要性不成立，错误； 对C，根据共线向量的定义可知，所在直线可能重合，错误； 对D，根据空间向量基本定理的推论可知，需满足x+y+z=1，才有P、A、B、C四点共面，错误． 故选：BCD． 11．在直三棱柱中，，，、分别是、的中点，在线段上，则下面说法中正确的有（    ） A．平面 B．若是上的中点，则 C．直线与平面所成角的正弦值为 D．直线与直线所成角最小时，线段长为 【答案】AD 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断各选项的正误. 【详解】解：直三棱柱中，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系如图， ，、分别是、的中点，在线段上， 、、、、、， 对于A，为平面的一个法向量，， 则，又平面，平面，故A正确； 对于B，当是上的中点时，，，， 则，与不垂直，故B错误； 对于C，为平面的一个法向量，， 设直线与平面所成角为， 则，故C错误； 对于D，设， 则，， 设直线与直线所成角为，则 ， 当即时，取最大值，此时直线与直线所成角最小， ，，故D正确． 故选：AD． 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在空间直角坐标系中，点，则向量在上的投影向量的坐标为 . 【答案】 【分析】先求出向量，再由投影向量的定义，结合数量积的坐标运算、模的坐标运算公式求解即可得出结果. 【详解】根据题意可得，所以， 则； 因此向量在上的投影向量为， 因此投影向量的坐标为. 故答案为： 13．二面角为，,是棱上的两点，，分别在半平面，内，，，且，，则的长为 ． 【答案】 【分析】将分解为，再求模即可. 【详解】由题意，∵二面角为，，，∴与夹角为， ∴与夹角为， ， ∴，即的长为. 故答案为：. 14．如图，四边形是正方形，平面，且，是线段的中点，则异面直线与所成角的正切值为 . 【答案】 【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】 因为平面，则，，又四边形是正方形， 则，以为坐标原点，分别为轴的正半轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，且，则， ，，又是线段的中点，则， 则，，则， 设异面直线与所成角为，即， 则，所以， 即异面直线与所成角的正切值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知，，，，，求： (1)，，； (2)与夹角的余弦值. 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）由空间向量共线、垂直的条件求解； （2）由向量的夹角公式计算． 【详解】（1），则，解得， ， 又，则，， ； （2）由（1），， 设与夹角为，则． 16．如图，在平行六面体中，．求： (1)； (2)的长； (3)的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用数量积的定义得，即可求解； （2）由，结合，代入数据，即可求解； （3）根据，代入数据，即可求解． 【详解】（1）解：由向量的数量积的概念，可得. （2）解：因为， 所以， 即的长为. （3）解：以为， 所以 . 17．如图，四棱锥，底面为直角梯形，，，，. (1)求证：平面平面； (2)若直线与平面所成角为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，设法证明平面，即可证得平面平面；； （2） 如图以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）因为四边形为直角梯形，， 在梯形中，过作垂直于，垂足为，则四边形为正方形， 则，而， 所以，所以， 在几何体中，因为，，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2）作于，因为，所以为中点， 由（1）知平面平面，且平面平面， 平面，所以平面， 所以为直线与平面所成的角， 设，因为，，所以， 如图以为原点建立空间直角坐标系，则 ，，，. ，， 设平面法向量，则， 故，取，则， 所以平面一个法向量， 设与平面所成角为， 则，                       所以直线与平面所成角为正弦值为. 18．如图，直三棱柱的体积为4，的面积为． (1)求A到平面的距离； (2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等体积法运算即可得解； （2）由面面垂直的性质及判定可得平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解. 【详解】（1）在直三棱柱中，设点A到平面的距离为h， 则， 解得， 所以点A到平面的距离为； （2）取的中点E,连接AE,如图，因为，所以, 又平面平面，平面平面， 且平面，所以平面， 在直三棱柱中，平面， 由平面，平面可得，， 又平面且相交，所以平面， 所以两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图， 由（1）得，所以，，所以， 则,所以的中点， 则，, 设平面的一个法向量，则， 可取， 设平面的一个法向量，则， 可取， 则， 所以二面角的正弦值为. 19．如图所示，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，且点M和N分别为和的中点. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)在棱上是否存在点E，使得直线和平面所成角的正弦值为?若存在试求出点E的位置，若没有说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）取中点为，连接，根据已知可推得平面，平面.进而判定得出平面平面.然后根据面面平行的定义，即可得出证明； （2）建立空间直角坐标系，求出点的坐标以及平面的法向量，根据向量法求解即可得出答案； （3）假设存在，设出，根据已知求出平面的法向量和，进而根据已知列出关系式，求解即可得出答案. 【详解】（1） 取中点为，连接， 因为分别是的中点， 所以，，. 又，所以. 因为平面，平面， 所以平面. 同理可得，平面. 因为平面，， 所以，平面平面. 因为平面，所以平面. （2） 如图2，建立空间直角坐标系，则，，，，，， 取中点为，连接， 因为，，所以，，， 所以，，. 所以，，，. 设平面的一个法向量为， 则，取，则是平面的一个法向量. 所以，点到平面的距离为. （3）假设棱上是否存在点E，设，. 由（2）知，，则. 因为底面， 所以，即为平面的一个法向量. 因为直线和平面所成角的正弦值为， 所以，，即， 整理可得，解得或（舍去）， 所以，. 所以，在棱上存在点E，使得直线和平面所成角的正弦值为，点坐标为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$