2024-2025学年人教A版高一数学上学期第一章1.4充分条件和必要条件

人教A版高一数学必修1第一学期第一章章1.1集合的概念 第一章　集合与常用逻辑用语 1.4　充分条件与必要条件 核心素养目标 1.数学抽象：充分条件、必要条件、充要条件的含义； 2.直观想象：判断命题的充分条件、必要条件、充要条件： 3.逻辑推理：直观想象：对条件的判定应该归结为判断命题的真假。 4、数据分析：充要条件的探求与证明：将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程： 5.数学建模：通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力。 教学目标 教学重点：充分条件、必要条件和充要条件的意义． 教学难点：对必要条件的意义、充要条件与数学定义之间的关系的理解。 内容回顾： 情境导入 命题：把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句称为命题. 真命题与假命题：判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题. 命题的形式：“若 p ，则 q ”的形式是数学命题的一般形式，其中称 p 为命题的条件, 称 q 为命题的结论. 知识讲解 下列形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？ （1） 若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； （2）若两个三角形周长相等，则这两个三角形全等； （3）若 ，则 ； （4）若平面内两条直线 a 和 b 均垂直于直线 ，则 . 真命题 真命题 假命题 假命题 情境导入 写出下列两个命题的条件和结论， 并判断是真命题还是假命题？ (1）若 x > a2+ b2，则 x > 2ab, (2）若ab=0，则a=0. 学生容易得出结论；命题（1）为真命题，命题（2）为假命题。 提问：对于命题"若p，则q"，有时是真命题，有时是假命题．如何判断其真假的？ 结论：看 p能不能推出 q，如果 p能推出q，则原命题是真命题，否则就是假命题． 知识讲解 （二）预习课本，引入新课 阅读课本 17-22页，思考并完成以下问题 1．什么是充分条件？ 2．什么是必要条件？ 3．什么是充要条件？ 4．什么是充分不必要条件？ 5．什么是必要不充分条件？ 6．什么是既不充分也不必要条件？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题，教师巡视指导，解答学生在自主学习中遇到的困惑过程。 知识讲解 定义概念 "若p，则 “q"为真命题，是指由 P 通过推理可以得出，记作p ⇒q，且称 p为q的充分条件，q为p的必要条件. (1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； 真命题 "平行四边形的对角线互相垂直" 是"这个平行四边形是菱形"的充分条件，"这个平行四边形是菱形"是 "平行四边形的对角线互相垂直"的必要条件． 9 知识讲解 (4）若平面内两条直线和均垂直于直线 ，则a//b．真命题 "平面内两条直线 a 和b 均垂直于直线 "是"a/lb"的充分条件， "a//b"是"平面内两条直线 a和b均垂直于直线 "的必要条件． 10 知识讲解 "若p，则q”为真命题，是指由 P 通过推理可以得出 ，记作p ⇒ q，且称 p为q的充分条件，q为p的必要条件． "若p，则 q"为真命题，是指由p通过推理,可以得出q，记作p ⇒ q，且称p为q的充分条件，q为 p的必要条件． 若P成立，则q一定成立； 若q不成立，则 P一定不成立； q成立是P成立必不可少的条件，q称为 p的必要条件． 知识讲解 充分条件与必要条件的判断 确定原命题的条件p和结论q p ⇒ q(原命题为真命题） p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q是p的必要条件 p q（原命题为假命题） 知识讲解 思考1：(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？ (2)以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？ 提示： (2)等价 (1)相同，都是p⇒q. 定义法判断充分条件、必要条件(1)确定谁是条件，谁是结论(2)尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件(3)尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件. 知识讲解 　已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________． [思路点拨]　 → → p代表的集合是q代 表的集合的真子集 p是q的充分不必要条件 列不等式组求解 {m|m≥9} [因为p是q的充分不必要条件，所以p⇒q且q p. 即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}的真子集，所以 或 解得m≥9. 所以实数m的取值范围为{m|m≥9}．] 知识讲解 利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围(1)化简p，q两命题；(2)根据p与q的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系；(3)利用集合间的关系建立不等式；(4)求解参数范围. 知识讲解 充分条件、必要条件与集合的关系 A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q} A⊆B B⊆A p是q的充分条件q是p的必要条件 q是p的充分条件 p是q的必要条件 p是q的不充分条件q是p的不必要条件 q是p的不充分条件p是q的不必要条件 知识讲解 知识讲解 2．充要条件 (1)一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的　　　　条件，简称　　条件． 概括地说，如果p⇔q，那么p与q　　　　条件． (2)若p⇒q，但q p，则称p是q的充分不必要条件． (3)若q⇒p，但p q，则称p是q的必要不充分条件． (4)若p q，且q p，则称p是q的既不充分也不必要条件． 知识讲解 思考2：(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？ 提示：(1)正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q.(2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论． ②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论． 19 知识讲解 有下列命题： ①a＞b＞0是a2＞b2的充要条件； ②a＞b＞0是＜的充要条件； ③a＞b＞0是a3＞b3的充要条件．其中错误的说法有________．(填序号) [①由不等式的性质易得a＞b＞0⇒a2＞b2，反之则不成立，如a＝－2，b＝1. ②由不等式的性质易得a＞b＞0⇒＜，反之则不成立，如a＝－2，b＝1. ③由不等式的性质易得a＞b＞0⇒a3＞b3，反之则不成立，如a＝－2，b＝－3.] ①②③ 20 知识讲解 充要条件判断的两种方法 (1)要判断一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即判断两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真． (2)在判断的过程中也可以转化为集合的思想来判断，判断p与q的解集是相同的，判断前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论． 提醒：判断时一定要注意，分清充分性与必要性的判断方向． 知识讲解 下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的什么条件？(充分不必要条件，必要不充分条件，既是充分条件也是必要条件，既不充分也不必要条件)(1)若x＝1，则x2－4x＋3＝0；[解]　(1)因为命题“若x＝1，则x2－4x＋3＝0”是真命题，而命题“若x2－ 4x＋3＝0，则x＝1”是假命题，所以p是q的充分条件，但不是必要条件，即p是q的充分不必要条件． (2)若函数y＝x，则函数为递增的；(2)∵p⇒q，而qp，∴p是q的充分不必要条件．(3)若x为无理数，则x2为无理数；∵p q，而q⇒p，∴p是q的必要不充分条件．(4)若x＝y，则x2＝y2；∵p⇒q，而q p，∴p是q的充分不必要条件．(5)若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等； ∵p⇒q，而q p，∴p是q的充分不必要条件． (6)若a>b，则ac>bc. ∵p q，而q p，∴p是q的既不充分也不必要条件． 知识讲解 求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0. [证明]　假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，q：a＋b＋c＝0.①证明p⇒q，即证明必要性．∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，∴a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0. ②证明q⇒p，即证明充分性．由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.∵ax2＋bx＋c＝0，∴ax2＋bx－a－b＝0，即a(x2－1)＋b(x－1)＝0.故(x－1)(ax＋a＋b)＝0.∴x＝1是方程的一个根．故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.