专题03 四边形常见模型（六大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期中真题分类汇编（北师大版）

专题03 四边形常见模型 中点四边形模型 1．（23-24九年级上·山东枣庄·期中）若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是（    ） A．矩形 B．菱形 C．对角线相等的四边形 D．对角线互相垂直的四边形 2．（23-24九年级上·山西朔州·期中）如图，四边形的对角线于点，点，，，分别为边，，和的中点，顺次连接，，和得到四边形．若，则四边形的面积等于（    ） A．30 B．35 C．40 D．60 3．（23-24九年级上·山东东营·期中）如图，把矩形沿直线折叠，点B落在点E处，连接，则顺次连接四边形各边中点，得到的四边形的形状一定是 ． 4．（23-24九年级上·河南信阳·期中）已知：如图，四边形四条边上的中点分别为，顺次连接，得到四边形EFGH（即四边形的中点四边形）． (1)求证：四边形的形状是平行四边形； (2)当四边形的对角线满足______条件时，四边形是矩形； (3)当四边形的对角线满足______条件时，四边形是菱形． 5．（23-24九年级上·福建泉州·期中）已知：如图，四边形四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接、、，，得到四边形（即四边形的中点四边形）． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当四边形的对角线满足________条件时，四边形是矩形？并说明理由． 十字架模型 6．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，将一边长为15的正方形纸片的顶点A折叠至边上的点，使，折痕为，则的长为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 7．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，将边长为4的正方形纸片ABCD折叠，使得点A落在边CD的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AD、BC上，则折痕FG的长度为 ． 8．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，正方形纸片的边长为，是边上一点，连接、折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，得到折痕，点在上，若，则的长为 9．（23-24九年级上·陕西商洛·期中）如图，在正方形中，E，F分别是，的中点，，相交于点G，连接，求证：    (1)． (2)． 对角互补模型 10．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，点E为对角线BD上任意一点，连接AE、CE． 若AB=5，BC=3，则AE2-CE2等于(    ) A．7 B．9 C．16 D．25 11．（23-24·山东淄博·期中）如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是（     ） A．a2+b2＝5c2 B．a2+b2＝4c2 C．a2+b2＝3c2 D．a2+b2＝2c2 12．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）已知对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O． （1）若，，，则 ； （2）若，，则 ； （3）若，，，，则m，n，c，d之间的数量关系是 ． 13．（23-24九年级上·安徽芜湖·期中）如图甲，我们把对角线相互垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）【概念理解】我们已经学习了①平行四边形、②菱形、③矩形、④正方形，在这四种图形中是垂美四边形的是______（填序号）． （2）【性质探究】小美同学猜想“垂美四边形两组对边的平方和相等”，即，如图甲，在四边形中，若，则．请判断小美同学的猜想是否正确，并说明理由． （3）【问题解决】如图乙，在中，，，D，E分别是，的中点，连接，，有，求． 14．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)在我们学过：①平行四边形、②矩形、③菱形、④正方形，能称为垂美四边形的是 ；（只填序号） (2)如图，垂美四边形的对角线交于点，求的长度． 半角模型 15．（23-24九年级上·四川眉山·期中）（半角模型）如图，正方形中，是上的点，是上的点，且．求证：． 16．（23-24九年级上·广西南宁·期中）【探索发现】如图①，四边形是正方形，分别在边上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如图①，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到，连接 (1)试判断之间的数量关系，并写出证明过程． (2)如图②，点分别在正方形的边的延长线上，，连接，请写出之间的数量关系，并写出证明过程． 17．（23-24九年级上·广东汕尾·期中）如图，在边长为6的正方形内作，交于点E，交于点F，连接，将绕点A顺时针旋转得到． (1)求证：； (2)若，求的长． 18．（23-24九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）【问题情境】神奇的半角模型 在几何图形中，共顶点处的两个角，其中较小的角是较大的角的一半时，我们称之为半角模型．截长补短法是解决这类问题常用的方法． 如图1，在正方形中，以A为顶点的，与分别交于E、F两点，为了探究之间的数量关系，小明的思路如下： 如图2，延长到点H，使，连接，先证明，再证明．从而得到之间的数量关系． (1)提出问题：之间的数量关系为________________． (2)知识应用：如图3，，，以A为顶点的，，与分别交于E、F两点，你认为（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． (3)知识拓展：如图4，在四边形中，，，．与互补，与分别交于E、F两点，且，请直接写出的周长________________．（用含a、b、c的式子表示．） 含60°的菱形模型 19．（2024·上海·期中）菱形的边长为，，于E，于F，那么周长为 20．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·开学考试）如图，菱形的边长为4，，过点B作交于点E，连接，F为的中点，连接，交于点G，则的长为 ． 21．（23-24九年级上·上海·期中）如图，菱形中，，，，点P为对角线上的一个动点，则的最小值为 ． 22．（23-24九年级上·广西钦州·期中）如图，已知菱形的边长为8，点M是对角线上的一动点，且，则的最小值是 ． 23．（23-24九年级上·四川绵阳·开学考试）如图，中，，是斜边的中点，若，，且交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，则四边形ADCE的面积＝_____． 24．（23-24九年级上·浙江杭州·开学考试）如图，在中，D、E分别是、的中点，，延长到点F，使得，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 三垂线模型 25．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在正方形中，点G为边上一点，以为边向右作正方形，连接，交于点P，连接，过点F作交于点H，连接，交于点K，下列结论中错误的是（    ） A． B．是等腰直角三角形 C．点P为中点 D． 26．（23-24九年级上·广西贵港·期中）如图，在中，，，，以斜边为边向外作正方形，垂直于的延长线于，连接，则的长为（    ）    A．13 B．15 C．17 D．20 27．（23-24九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，正方形的边长为3，点在上，点在的延长线上，且，则四边形的面积为： ． 1．（23-24九年级上·陕西西安·期中）已知：点 E、F、G、H分别为四边形四条边中点，顺次连接得到四边形．有下列说法： ①四边形是平行四边形； ②当四边形为平行四边形时，四边形是菱形； ③当四边形为矩形时，四边形是菱形； ④当时，四边形是矩形； ⑤若四边形是正方形，则四边形一定是正方形．其中正确的是（　　） A．①③④ B．①②⑤ C．①③④⑤ D．②④⑤ 2．（23-24九年级上·山东泰安·期中）如图，菱形中，，，E、F分别是、的中点，连接，则的周长为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在正方形中，，点E是边的中点，将沿着翻折，得到，延长交的延长线于点H，则＝ ．    4．（23-24九年级上·山西太原·期中）如图，在正方形中，，点E是边上一点，且，连接，点F是边上一点，过点F作交于点G，连接，，，则四边形的面积为 ．    5．（23-24九年级上·山西吕梁·期中）如图，正方形的周长为，顺次连接正方形各边中点、、、，得到四边形的面积等于 ．    6．（23-24九年级上·山东东营·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为2，点B在y轴上，，则点B的坐标为 ． 7．（23-24九年级上·湖北咸宁·期中）在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=45°．EA交BD于M，AF交BD于N． (1)作△APB≌△AND（如图①），求证：△APM≌△ANM； (2)求证：； (3)矩形ABCD中，M、N分别在BC、CD上，∠MAN=∠CMN=45°，（如图②），请你直接写出线段MN，BM，DN之间的数量关系． 8．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，在平行四边形中，点E，F分别在边，上，，，与相交于点O，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若平行四边形的周长为22，，，求的长． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 四边形常见模型 中点四边形模型 1．（23-24九年级上·山东枣庄·期中）若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是（    ） A．矩形 B．菱形 C．对角线相等的四边形 D．对角线互相垂直的四边形 【答案】C 【详解】解：如图，设点，，，分别是四边形各边的中点， ∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴． ∴原四边形一定是对角线相等的四边形． 故选：C．      2．（23-24九年级上·山西朔州·期中）如图，四边形的对角线于点，点，，，分别为边，，和的中点，顺次连接，，和得到四边形．若，则四边形的面积等于（    ） A．30 B．35 C．40 D．60 【答案】A 【详解】解：点，分别为边，的中点， 是的中位线， ，， ， ， 同理，可得：，， ，， 点，分别为边，的中点， 是的中位线， ，， 同理，可得：，， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， 平行四边形是矩形， 矩形的面积为：， 即四边形的面积为30． 故选：A． 3．（23-24九年级上·山东东营·期中）如图，把矩形沿直线折叠，点B落在点E处，连接，则顺次连接四边形各边中点，得到的四边形的形状一定是 ． 【答案】菱形 【详解】解：∵把矩形沿直线折叠，点B落在E处， ∴， ∵顺次连接四边形各边中点， ∴H、F分别是的中点， ∴． 同理， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形． ∴得到的四边形的形状一定是：菱形． 故答案为：菱形． 4．（23-24九年级上·河南信阳·期中）已知：如图，四边形四条边上的中点分别为，顺次连接，得到四边形EFGH（即四边形的中点四边形）． (1)求证：四边形的形状是平行四边形； (2)当四边形的对角线满足______条件时，四边形是矩形； (3)当四边形的对角线满足______条件时，四边形是菱形． 【答案】(1)证明见解析 (2)互相垂直 (3) 【详解】（1）证明：如图，连接、， 点、、、分别为、、、的中点， 、分别为、的中位线， ，，，， ，， 四边形的形状是平行四边形； （2）解：当时，四边形是矩形， ∵，，， ， 平行四边形是矩形， 故答案为：互相垂直； （3）解：当时，四边形是菱形， ，，， ， 平行四边形是菱形， 故答案为：相等． 5．（23-24九年级上·福建泉州·期中）已知：如图，四边形四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接、、，，得到四边形（即四边形的中点四边形）． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当四边形的对角线满足________条件时，四边形是矩形？并说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)，见详解 【详解】（1）解：连接，如图，   ∵四边形四条边上的中点分别为、、、， ， ， ∴四边形是平行四边形； （2）解：，理由如下： 连接，， ∵四边形四条边上的中点分别为、、、， ． ， ， ， ∴平行四边形是矩形． 故答案为：． 十字架模型 6．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，将一边长为15的正方形纸片的顶点A折叠至边上的点，使，折痕为，则的长为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】C 【详解】解：过点作于点， 由折叠得到， ， 又， ， ， ， 则，， ． 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的折叠问题，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，平行线的性质等知识，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等． 7．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，将边长为4的正方形纸片ABCD折叠，使得点A落在边CD的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AD、BC上，则折痕FG的长度为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点G作GH⊥AD于H，则四边形ABGH中，HG=AB， 由翻折变换的性质得GF⊥AE， ∵∠AFG+∠DAE=90°，∠AED+∠DAE=90°， ∴∠AFG=∠AED， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=AB， ∴HG=AD， 在△ADE和△GHF中， ， ∴△ADE≌△GHF（AAS）， ∴GF=AE， ∵点E是CD的中点， ∴DE=CD=2， 在Rt△ADE中，由勾股定理得，AE， ∴GF的长为2． 故答案为：． 【点睛】本题考查翻折变换的问题，折叠问题其实质是轴对称，对应线段相等，对应角相等，找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键． 8．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，正方形纸片的边长为，是边上一点，连接、折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，得到折痕，点在上，若，则的长为 【答案】 【详解】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=AD=24，∠BAD=∠D=90°， 由折叠及轴对称的性质可知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG， ∴BF⊥AE，AH=GH， ∴∠BAH+∠ABH=90°， 又∵∠FAH+∠BAH=90°， ∴∠ABH=∠FAH， ∴△ABF≌△DAE（ASA）， ∴AF=DE=10， 在Rt△ABF中， BF==26， S△ABF=AB•AF=BF•AH， ∴24×10=26AH， ∴AH=， ∴AG=2AH=， ∵AE=BF=26， ∴GE=AE-AG=26-=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，面积法求线段的长度等，解题关键是能够灵活运用正方形的性质和轴对称的性质． 9．（23-24九年级上·陕西商洛·期中）如图，在正方形中，E，F分别是，的中点，，相交于点G，连接，求证：    (1)． (2)． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【详解】（1）∵四边形是正方形， ∴，， ∵E，F分别是，的中点， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）延长，交的延长线于，    ∵在正方形中，， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵在正方形中，， ∴， ∵ ∴， ∴是斜边的中线， ， ， ，， ． 【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质等，综合性很强，解题的关键是能够综合运用上述知识． 对角互补模型 10．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，点E为对角线BD上任意一点，连接AE、CE． 若AB=5，BC=3，则AE2-CE2等于(    ) A．7 B．9 C．16 D．25 【答案】C 【详解】解：如图所示：连接AC，与BD交于点O， ∵对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】题目主要考查勾股定理的应用，理解题意，熟练运用勾股定理是解题关键． 11．（23-24·山东淄博·期中）如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是（     ） A．a2+b2＝5c2 B．a2+b2＝4c2 C．a2+b2＝3c2 D．a2+b2＝2c2 【答案】A 【详解】设EF＝x，DF＝y，根据三角形重心的性质得AF＝2y，BF＝2EF＝2x，利用勾股定理得到4x2+4y2＝c2，4x2+y2＝b2，x2+4y2＝a2，然后利用加减消元法消去x、y得到a、b、c的关系． 【解答】解：设EF＝x，DF＝y， ∵AD，BE分别是BC，AC边上的中线， ∴点F为△ABC的重心，AF＝AC＝b，BD＝a， ∴AF＝2DF＝2y，BF＝2EF＝2x， ∵AD⊥BE，∴∠AFB＝∠AFE＝∠BFD＝90°， 在Rt△AFB中，4x2+4y2＝c2，① 在Rt△AEF中，4x2+y2＝b2，② 在Rt△BFD中，x2+4y2＝a2，③ ②+③得5x2+5y2＝（a2+b2），∴4x2+4y2＝（a2+b2），④ ①﹣④得c2﹣（a2+b2）＝0，即a2+b2＝5c2． 故选：A． 【点评】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． 也考查了勾股定理． 12．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）已知对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O． （1）若，，，则 ； （2）若，，则 ； （3）若，，，，则m，n，c，d之间的数量关系是 ． 【答案】 【详解】（1）， ， ， ． 故答案为． （2）由（1）得： ，，，，， ，， ． 故答案为． （3）由（2）得： ， ． 故答案为． 【点睛】本题考查勾股定理的应用问题，熟练利用勾股定理和等量代换是解题的关键． 13．（23-24九年级上·安徽芜湖·期中）如图甲，我们把对角线相互垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）【概念理解】我们已经学习了①平行四边形、②菱形、③矩形、④正方形，在这四种图形中是垂美四边形的是______（填序号）． （2）【性质探究】小美同学猜想“垂美四边形两组对边的平方和相等”，即，如图甲，在四边形中，若，则．请判断小美同学的猜想是否正确，并说明理由． （3）【问题解决】如图乙，在中，，，D，E分别是，的中点，连接，，有，求． 【答案】（1）②④；（2）猜想正确，理由见解析；（3） 【详解】解：（1）∵菱形、正方形的对角线相互垂直， ∴菱形和正方形符合垂美四边形的定义， 故答案为：②④； （2）猜想正确，理由如下： ∵四边形中，， ∴， ∴，，，， ∴，， ∴； （3）∵，，D、E分别是、的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 14．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)在我们学过：①平行四边形、②矩形、③菱形、④正方形，能称为垂美四边形的是 ；（只填序号） (2)如图，垂美四边形的对角线交于点，求的长度． 【答案】(1)③④ (2) 【详解】（1）解：∵菱形和正方形的对角线相互垂直，矩形和平行四边形的对角线不一定垂直， ∴只有正方形和菱形能称为垂美四边形， 故答案为：③④； （2）∵， ∴，，，， ∴，， ∴； ∵ ∴ ∴． 半角模型 15．（23-24九年级上·四川眉山·期中）（半角模型）如图，正方形中，是上的点，是上的点，且．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：如图，在的延长线上截取， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴，． ∵，则 ∴． ∴． 在和中 ， ∴ ∴． 即 ∴． 16．（23-24九年级上·广西南宁·期中）【探索发现】如图①，四边形是正方形，分别在边上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如图①，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到，连接 (1)试判断之间的数量关系，并写出证明过程． (2)如图②，点分别在正方形的边的延长线上，，连接，请写出之间的数量关系，并写出证明过程． 【答案】(1)．证明见解析 (2)．证明见解析 【详解】（1）解：．证明如下： 由旋转，可知： ∴点共线 ∵ ∴ 在和中 ∴ ∴ ∵ ∴ （2）解：．证明如下：    在上取．连接， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ 在和中， ∴ ∴ ∵ ∴ 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，利用全等三角形的性质进行等量转化是解题的关键． 17．（23-24九年级上·广东汕尾·期中）如图，在边长为6的正方形内作，交于点E，交于点F，连接，将绕点A顺时针旋转得到． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴； 由旋转的性质可知：，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴． （2）解：∵，， ∴， 由（1）可知：，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴． 18．（23-24九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）【问题情境】神奇的半角模型 在几何图形中，共顶点处的两个角，其中较小的角是较大的角的一半时，我们称之为半角模型．截长补短法是解决这类问题常用的方法． 如图1，在正方形中，以A为顶点的，与分别交于E、F两点，为了探究之间的数量关系，小明的思路如下： 如图2，延长到点H，使，连接，先证明，再证明．从而得到之间的数量关系． (1)提出问题：之间的数量关系为________________． (2)知识应用：如图3，，，以A为顶点的，，与分别交于E、F两点，你认为（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． (3)知识拓展：如图4，在四边形中，，，．与互补，与分别交于E、F两点，且，请直接写出的周长________________．（用含a、b、c的式子表示．） 【答案】(1) (2)（1）中的结论还成立，证明见解析 (3) 【详解】（1）解：延长到点H，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为： （2）解：（1）中的结论还成立，证明如下： 延长到点M，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，延长到点P，使，连接， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴的周长． 故答案为： 含60°的菱形模型 19．（2024·上海·期中）菱形的边长为，，于E，于F，那么周长为 【答案】9 【详解】解：过点A作， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， 再中，， 同理可证，，， ∴，， ∴是等边三角形，边长为3 ∴的周长是9． 20．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·开学考试）如图，菱形的边长为4，，过点B作交于点E，连接，F为的中点，连接，交于点G，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图，取为的中点， ∵菱形的边长为4，， ∴，，， ∵F为的中点，H为的中点， ∴，是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 21．（23-24九年级上·上海·期中）如图，菱形中，，，，点P为对角线上的一个动点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接，，过作于， 由菱形的对称性可得：， ∴， 当三点共线时，最短， ∵菱形中，，， ∴，为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为：； 故答案为： 【点睛】本题考查的是菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，三角形的三边关系的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 22．（23-24九年级上·广西钦州·期中）如图，已知菱形的边长为8，点M是对角线上的一动点，且，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点M作于点E，连接， ∵四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 当、、三点共线时，取得最小值， 此时， 的最小值为， ， ， ， 的最小值为； 故答案：． 23．（23-24九年级上·四川绵阳·开学考试）如图，中，，是斜边的中点，若，，且交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，则四边形ADCE的面积＝_____． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∴，且． ∵是斜边的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，是斜边的中点， ， ∴平行四边形是菱形． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知，四边形是菱形，四边形是平行四边形， ∴，， ∴菱形的面积， 故答案为： 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、含角的直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 24．（23-24九年级上·浙江杭州·开学考试）如图，在中，D、E分别是、的中点，，延长到点F，使得，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)菱形的面积为 【详解】（1）证明：∵D、E分别是的中点， 且， 又，， ，， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是菱形； （2）解：， ， 是等边三角形， ∴菱形的边长为4， 作于G， ， ，即高为， ∴菱形的面积为 三垂线模型 25．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在正方形中，点G为边上一点，以为边向右作正方形，连接，交于点P，连接，过点F作交于点H，连接，交于点K，下列结论中错误的是（    ） A． B．是等腰直角三角形 C．点P为中点 D． 【答案】D 【详解】解：A．∵四边形CEFG是正方形， ∴GF∥CE，GF=CE， ∵BG∥HF， ∴四边形BHFG为平行四边形， ∴GF=BH， ∴BH=CE， ∴BC=HE， ∵四边形ABCD为正方形， ∴BC=CD． ∴HE=CD，故A正确； B．∵ABCD是正方形，CEFG是正方形， ∴AB=BC，CE=EF，∠ABH=∠HEF=90°， ∵BC=HE，BH=CE， ∴AB=HE，BH=EF， ∴△ABH≌△HEF（SAS）， ∴AH=HF，∠BAH=∠EHF， ∵∠BAH+∠AHB=90°， ∴∠EHF+∠AHB=90°， ∴∠AHF=90°， ∴△AHF为等腰直角三角形，故B正确； C．过H作HM⊥BC，HM与BD交于点M，连接MF，则MH∥EF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC=90°，∠HBD=∠ABC， ∴∠HBM=45°， ∴BH=MH， ∵△ABH≌△HEF， ∴BH=EF， ∴MH=EF， ∴四边形EFMH为矩形， ∴MF∥BE∥AD，MF=HE， ∴∠DAP=∠MFP，∠ADP=∠FMP， ∵AD=BC=HE， ∴AD=MF， ∴△PAD≌△PFM（ASA）， ∴AP=FP，故C正确； D．将△ADP绕点A顺时针旋转90，得△ABQ，连接QK，则AQ=AP，∠QAP=90°， ∵△AHF是等腰直角三角形， ∴∠HAF=45°， ∴∠QAK=∠PAK=45°， ∵AK=AK， ∴△AQK≌△APK（SAS）， ∴QK=PK， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABD=∠ADB=45°， 由旋转性质知，∠ABQ=∠ADP=45°，BQ=DP， ∴∠QBK=90°， ∴BK2+BQ2=QK2， ∴BK2+DP2=KP2，故D错误； 故选：D． 【点睛】本题是正方形的一个综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，后两选项关键在构造全等三角形． 26．（23-24九年级上·广西贵港·期中）如图，在中，，，，以斜边为边向外作正方形，垂直于的延长线于，连接，则的长为（    ）    A．13 B．15 C．17 D．20 【答案】C 【详解】∵四边形是正方形， ，， ∵， ∴， ∴， ∵， ， 在和中， ， ， ，， 在中，， ， 根据勾股定理得：， 故选：． 【点睛】此题考查了勾股定理，正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 27．（23-24九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，正方形的边长为3，点在上，点在的延长线上，且，则四边形的面积为： ． 【答案】9 【详解】∵四边形ABCD是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形EBFD的面积=正方形ABCD的面积==9． 故答案是9． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，准确计算是解题的关键． 1．（23-24九年级上·陕西西安·期中）已知：点 E、F、G、H分别为四边形四条边中点，顺次连接得到四边形．有下列说法： ①四边形是平行四边形； ②当四边形为平行四边形时，四边形是菱形； ③当四边形为矩形时，四边形是菱形； ④当时，四边形是矩形； ⑤若四边形是正方形，则四边形一定是正方形．其中正确的是（　　） A．①③④ B．①②⑤ C．①③④⑤ D．②④⑤ 【答案】A 【详解】解：如图所示，连接， ∵E、H分别为中点， ∴， 同理，， ∴， ∴四边形是平行四边形，故①正确； 当四边形是矩形时，则， ∴， ∴平行四边形是菱形， 而当四边形是平行四边形时，不能得出，故②错误，③正确； 当时， ∵E、F、H分别为中点， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形，故④正确； ∵，四边形是正方形， ∴， ∴， 不能说明四边形是正方形，故⑤错误； 故选A． 2．（23-24九年级上·山东泰安·期中）如图，菱形中，，，E、F分别是、的中点，连接，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接， 菱形， ，， E、F分别是、的中点， ， ， 在和中， ， ， ， ， 与是等边三角形， ， ，， ， ， 是等边三角形， 的周长是． 故选B． 3．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在正方形中，，点E是边的中点，将沿着翻折，得到，延长交的延长线于点H，则＝ ．    【答案】 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴， ∵点E是边的中点， ∴， 在中，， ∵将沿着翻折，得到， ∴， ∴， 如图，过点D′作于点F，过点C作于点G，    则， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∵， ∴, ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、折叠的性质、勾股定理、等腰三角形的性质，正确作出辅助线，根据题意推理论证得到是解题关键． 4．（23-24九年级上·山西太原·期中）如图，在正方形中，，点E是边上一点，且，连接，点F是边上一点，过点F作交于点G，连接，，，则四边形的面积为 ．    【答案】5 【详解】解：如图，过点作于，   ， 四边形是正方形， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， () ， ， ， ， ， ； 故答案：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，对角形互相垂直的四边形面积等，掌握正方形中“十字架”模型的解法是解题的关键． 5．（23-24九年级上·山西吕梁·期中）如图，正方形的周长为，顺次连接正方形各边中点、、、，得到四边形的面积等于 ．    【答案】 【详解】解：连接，，    ∵点、、、是正方形各边的中点， ∴是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ∴，，，， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形， 又∵，，， ∴， ∴四边形是正方形 ∵正方形的周长为，， ∴， 在中，由勾股定理，得，， ∴ ∴四边形的面积． 故答案为：． 6．（23-24九年级上·山东东营·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为2，点B在y轴上，，则点B的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接交于点D， ∵菱形的边长为2， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点B在y轴上， ∴点B的坐标为． 故答案为：． 7．（23-24九年级上·湖北咸宁·期中）在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=45°．EA交BD于M，AF交BD于N． (1)作△APB≌△AND（如图①），求证：△APM≌△ANM； (2)求证：； (3)矩形ABCD中，M、N分别在BC、CD上，∠MAN=∠CMN=45°，（如图②），请你直接写出线段MN，BM，DN之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)．理由见解析 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD=90°， ∵∠EAF=45°． ∴∠BAM+∠NAD=45°， ∵△APB≌△AND， ∴PA=NA，∠PAB=∠NAD， ∴∠PAB+∠BAM=45°， ∴∠PAM=∠NAM=45°， 在△APM和△ANM中，， ∴△APM≌△ANM(SAS)； （2）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠ABD=∠ADB=45°， ∵△APB≌△AND， ∴PB=ND，∠ABP=∠ADB=45°， ∴∠BPM=∠ABP+∠ABD=90°， ∴， ∵△APM≌△ANM， ∴PM=MN， ∴； （3）解：．理由如下： 将△ABM绕点A逆时针旋转90°，得到△．如图： 过点作⊥CD于F，连接， 同（1）可证△AMN≌△， ∴=MN． ∵∠C=90°，∠CMN=45°， ∴CM=CN． 设BM=a，DN=b，CM=c，则AD=a+c，CD=b+c， ∴=AD-=AD-AB=a+c-（b+c）=a-b， NF=DN+DF=DN+=DN+BM=b+a． 在Rt△中，， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用SAS即可证明△APM≌△ANM；（2）证明∠BPM=90°，利用勾股定理求解；（3）通过构造直角三角形，利用勾股定理找出． 8．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，在平行四边形中，点E，F分别在边，上，，，与相交于点O，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若平行四边形的周长为22，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：平行四边形， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：平行四边形， ， 平行四边形的周长为22， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质以及等边三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$