专题02 特殊四边形的旋转、折叠及最值问题（九大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期中真题分类汇编（北师大版）

专题02 特殊四边形的旋转、折叠及最值问题 菱形的旋转问题 1．（23-24九年级上·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边长为2，点B在x轴的正半轴上，且，将菱形OABC绕原点O逆时针方向旋转60°，得到四边形（点与点C重合），则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·四川南充·期中）如图，菱形的对角线、交于点O，，，将绕着点C旋转得到，连接，则的长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 3．（23-24九年级上·河南信阳·期中）将菱形按如图所示的方式放置，绕原点将菱形顺时针旋转，每次旋转，点的对应点依次为、、、…，若，，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，四边形是菱形，，点为平面内一点，连接，将线段绕点A逆时针方向旋转得到线段，连接，连接． 点在直线上，，则线段的长为 ． 菱形的折叠问题 5．（23-24九年级上·辽宁锦州·期中）如图，将锐角三角形纸片沿折叠，使点B落在边上的点处，然后沿折叠，使点A落在点D处，折出折痕，沿剪开，则将部分展开后得到的图形为（　　） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．无法确定 6．（2024·浙江·期中）如图，点E为菱形中边上一点，连结，，将菱形沿折叠，点A的对应点F恰好落在边上，则的度数为 ． 7．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，在菱形中，，点在上（不与、重合），将沿直线折叠得到，连结和，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·湖北黄石·期中）如图，折叠菱形纸片，使得的对应边过点B，为折痕．若，当时，的值等于（    ） A． B． C． D． 9．（23-24九年级上·广东江门·期中）如图，已知菱形的边长为6，且，点分别在边上，将菱形沿折叠，使点B正好落在边上的点G处．若，则的长为 ． 菱形的最值问题 10．（23-24九年级上·山东威海·期中）如图，点是菱形对角线上一动点，，，点，分别是边，的中点，则周长的最小值是(   ) A． B． C． D． 11．（23-24九年级上·福建厦门·期中）已知，在菱形中，点E为上一动点，点F是上一动点，连接．若，是等边三角形，若，则面积的最大值是 ． 12．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，在菱形中，E，F分别是边上的动点，连接分别为的中点，连接．若，，则的最小值为 13．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，菱形的周长为8，，E为的中点，M为上任意一点，则的最小值为 ． 14．（23-24九年级上·吉林长春·期中）将两张长为，宽为的长方形纸条按如图所示的形式交叉叠放，其中重叠部分是四边形． (1)求证：四边形为菱形； (2)在纸条转动的过程中，菱形面积的最大值为______（两张纸条不完全重合）． 矩形的旋转问题 15．（23-24九年级上·山东日照·期中）如图，矩形的顶点A、B分别在轴，轴上，，将矩形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 16．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）如图，把矩形绕点按逆时针方向旋转得到矩形，使点落在对角线上，连接，． (1)若，则°； (2)求证：． 17．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如图，在中，，，．将绕点C按顺时针方向旋转后得，直线、相交于点F．取的中点G，连接，则长的最大值为 cm． 18．（23-24九年级上·广西河池·期中）如图，将矩形绕点A按逆时针方向旋转，得到矩形，E点正好落在边上，连接，且交于P． (1)求的度数； (2)若，求的长． 矩形的折叠问题 19．（23-24九年级上·山东临沂·期中）如图的矩形中，有一点在上，，今以为折线将点往右折，点落在处，如图所示，若，，则点到的距离是（    ） A．2 B．4 C． D． 20．（23-24九年级上·四川达州·期中）如图，把一张长方形纸片沿折叠后与的交点为，、分别在、的位置上，若，则 ． 21．（23-24九年级上·吉林长春·期中）在长方形纸片中，，，如图所示，折叠纸片，使点A落在边上的处，折痕为，当点在边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动，若限定点P、Q分别在、边上移动，则面积的最大值为 ． 22．（23-24九年级上·河北承德·期中）实验探究：如图所示，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段，．请你观察如图，猜想等于 ． 矩形的最值问题 23．（23-24九年级上·山东淄博·期中）如图，在矩形中，，以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转矩形，旋转角为，得到矩形，点的对应点分别为，设点P为的中点，连结，在矩形旋转的过程中，面积的最大值 和最小值 ． 24．（23-24九年级上·江苏南通·期中）如图，在矩形中，，，点，分别是边，上的动点，且，过点作直线的垂线，垂足为，则线段长的最大值为 ． 25．（23-24九年级上·四川广安·期中）如图，在中，，，，点是斜边上的一个动点，于点，于点，连接，则线段的最小值为 ． 26．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）如图，在矩形中，，，P是边上一个动点，过点P作，垂足为G，连接，取中点E，连接，则线段的最小值为 ． 27．（23-24九年级上·甘肃武威·期中）如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点M是的中点，点N是的中点，连接，若，求线段的最大值． 正方形的旋转问题 28．（23-24九年级上·河北保定·期中）如图，正方形的边长为4，E在上，，将线段绕点A旋转，使点E落在直线上的点F处，连接，则的长为 ．    29．（23-24九年级上·福建漳州·期中）如图，点是正方形的边上一点，，，逆时针旋转后能够与重合．    (1)旋转中心是点_____．旋转角的度数为_____． (2)请你判断的形状，并说明理由． 30．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转，得到．延长交于点G，连接．    (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求． 正方形的折叠问题 31．（23-24九年级上·山东临沂·期中）如图，先将正方形纸片对折，折痕为，再把点折叠到上，折痕为，点在上的对应点为，则下列结论中：（1）；（2）；（3）是等边三角形；（4），正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 32．（23-24九年级上·山东泰安·期中）四边形是一张正方形纸片，将其对折，使对折的两部分完全重合，得到折痕，展开后再沿折叠，使点A正好落在上．下列说法： ①   ②  ③是等边三角形  ④ 正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 33．（23-24九年级上·上海青浦·期中）矩形纸片，，，如果点E在边上，将纸片沿折叠，使点C落在点F处，连接，当是直角三角形时，那么的长为 ． 34．（23-24九年级上·河南安阳·期中）如图，在正方形纸片中，是边上一点，连接，折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，得到折痕，点在上． (1)试判断与的数量关系并证明你的结论； (2)若，，则的长为________． 正方形的最值问题 35．（23-24九年级上·江苏南通·期中）如图，已知正方形的边长为2，点Q为边的中点，点P在正方形的外部，且满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 36．（23-24九年级上·辽宁抚顺·期中）如图，已知，线段长为，两端分别在上滑动，以为边在的右侧作正方形，连接，则的最大值为（    ）    A． B．6 C． D．8 37．（23-24九年级上·福建龙岩·期中）如图所示，在边长为2的正方形中，点E是边上的一点，连接，在右侧作，且，连接，则的最小值是（    ）    A．1 B．2 C． D． 38．（23-24九年级上·江苏常州·期中）如图，在边长为4的正方形中，E、F分别是上的动点，M、N分别是的中点，则长的最大值是 ．    39．（23-24九年级上·河北廊坊·期中）如图，是边长为的正方形内一点，为边上一点，连接、、，则的最小值是 ． 40．（20223-24·天津河西·期中）如图，正方形的边长为，分别为边上的动点，且，则的最小值为 1．（23-24九年级上·山东烟台·期中）如图，在菱形纸片中，，折叠该纸片，使点C落在直线（P为中点）上的点处，得到经过点 D 的折痕，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，点D、E分别是边的中点，将绕点E旋转得，连接，添加下列条件后能判定四边形是正方形的是（　　） A． B． C．且 D．且 3．（23-24九年级上·重庆·期中）如图，把一张矩形纸片折叠，点与点重合，折痕为，再将沿折叠，点恰好落在上的点处．若厘米，则的长为 厘米． 4．（23-24九年级上·河北沧州·期中）如图，等腰直角三角形中，，．长度为3的线段固定不动，将绕顶点A旋转．在旋转过程中， （1）点B与点C的最短距离为 ； （2）点B到边的距离的最大值为 ． 5．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，在菱形中，，，将向右平移得到（点在线段上），连接， （1）若四边形是矩形，则 ； （2）的最小值为 ． 6．（23-24九年级上·陕西西安·期中）如图，在边长为4的正方形中，点E为对角线上的动点，以为边向外作正方形，点H是的中点，连接，则的最小值为 ． 7．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）如图，已知在中，P为边上一个动点，连接，，分别交于点、，垂足为M，点N为的中点，若四边形的面积为18，则的最大值为 ． 8．（23-24九年级上·天津和平·期中）如图，在边长为6的正方形中，为的中点，为上的一个动点．则的最小值为 ． 9．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图， 矩形中， E是的中点，将沿折叠后得到，延长交于点F， 若，，求的长    10．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在矩形中，，，点E为的中点，将沿直线折叠，点B落在点处． (1)线段，； (2)判断与的位置关系为 ，并给出证明过程； (3)若，求的面积． 11．（23-24九年级上·宁夏石嘴山·期中）实验与探究： 如图，用四根木条钉成矩形框，把边固定在地面上，向右推动矩形框，矩形框的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）． (1)通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段由旋转得到，所以．同理，我们还可以得到_____________．由旋转可得，则我们可推理论证得到、的位置关系是_____________； (2)进一步观察，我们还会发现，请证明这一结论； (3)已知，若恰好是的角平分线，求与之间的距离． 12．（23-24九年级上·贵州黔东南·期中）（探索发现）如图，四边形是正方形，M，N分别在上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法，如图，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到，连接． (1)线段之间的数量关系是 ． (2)根据（1）的结论，写出证明过程； (3)如图，如果正方形的边长是4，求的周长． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 特殊四边形的旋转、折叠及最值问题 菱形的旋转问题 1．（23-24九年级上·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边长为2，点B在x轴的正半轴上，且，将菱形OABC绕原点O逆时针方向旋转60°，得到四边形（点与点C重合），则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图所示，延长交轴于点，    ∵四边形是菱形，点在轴的正半轴上，平分，， ∴， ∵将菱形绕原点逆时针方向旋转， ∴，则， ∴ ∴， 在中， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．（23-24九年级上·四川南充·期中）如图，菱形的对角线、交于点O，，，将绕着点C旋转得到，连接，则的长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】C 【详解】∵四边形是菱形， ，，， ，， ，， 绕着点C旋转得到， ，，， ， ． 故选：C． 3．（23-24九年级上·河南信阳·期中）将菱形按如图所示的方式放置，绕原点将菱形顺时针旋转，每次旋转，点的对应点依次为、、、…，若，，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，连接交于点， ， 四边形为菱形，， ，， ，， ， 绕原点将菱形顺时针旋转，每次旋转，点的对应点依次为、、、…， ，，，，…， 每旋转次回到起点， ， 的坐标为与相同为， 故选：D． 4．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，四边形是菱形，，点为平面内一点，连接，将线段绕点A逆时针方向旋转得到线段，连接，连接． 点在直线上，，则线段的长为 ． 【答案】5或3/3或5 【详解】解：①如图：当点E在菱形内部时，连接， ∵四边形是菱形，， ∴是等边三角形， ∴， ∵将线段绕点A逆时针方向旋转得到线段， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图：当点E在菱形外部时，连接， 同理可证：，， ∴， ∴． 故答案为：5或3． 菱形的折叠问题 5．（23-24九年级上·辽宁锦州·期中）如图，将锐角三角形纸片沿折叠，使点B落在边上的点处，然后沿折叠，使点A落在点D处，折出折痕，沿剪开，则将部分展开后得到的图形为（　　） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．无法确定 【答案】A 【详解】解：如图，根据折叠可得， 故展开得到菱形． 故选：A． 6．（2024·浙江·期中）如图，点E为菱形中边上一点，连结，，将菱形沿折叠，点A的对应点F恰好落在边上，则的度数为 ． 【答案】/72度 【详解】解：将菱形沿折叠，点的对应点，， ， ， ， ， ，， ， ． 故答案为：． 7．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，在菱形中，，点在上（不与、重合），将沿直线折叠得到，连结和，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由折叠得： 又四边形ABCD是菱形， ， 故选：B． 8．（23-24九年级上·湖北黄石·期中）如图，折叠菱形纸片，使得的对应边过点B，为折痕．若，当时，的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，延长、交于点G， 四边形是菱形，， ， 由折叠得， 又， ， ， ， 设，，则， ， 中， ， 由，得， 解得（负值舍去）， ， 故选D． 9．（23-24九年级上·广东江门·期中）如图，已知菱形的边长为6，且，点分别在边上，将菱形沿折叠，使点B正好落在边上的点G处．若，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图，设与交于点，交于点． ∵ 四边形是菱形，， ∴， ∴是等边三角形． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是菱形的高， 即为等边三角形的高， ∴ ． 菱形的最值问题 10．（23-24九年级上·山东威海·期中）如图，点是菱形对角线上一动点，，，点，分别是边，的中点，则周长的最小值是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，作点关于的对称点，连接交于，此时有最小值，最小值为的长． 菱形关于对称，是边上的中点， 是的中点， 又是边上的中点， ，， 四边形是平行四边形， ， ，即的最小值为， 连结，过点作，垂足为点， ， 在中，， ， 的周长最小值是． 故选：D． 11．（23-24九年级上·福建厦门·期中）已知，在菱形中，点E为上一动点，点F是上一动点，连接．若，是等边三角形，若，则面积的最大值是 ． 【答案】 【详解】解：∵在菱形中，， ∴，， ∴和都是等边三角形，由“垂线段最短”可知：当等边三角形的边与垂直时，边最短， 此时，，，． ∴， 又， 同理三角形的高为， 的面积， 则此时的面积就会最大． ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ． 故答案为：． 12．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，在菱形中，E，F分别是边上的动点，连接分别为的中点，连接．若，，则的最小值为 【答案】 【详解】解：连接，如图， ∵四边形是菱形， ， ∵分别为的中点， ∴是的中位线， ， 当时，则最小，得到最小值， ， ∴是等腰直角三角形， ，即， ， ， 故答案为：． 13．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，菱形的周长为8，，E为的中点，M为上任意一点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：连接交于，连接，，   四边形是菱形， 线段、互相垂直平分， 、关于对称，则， ， 即就是的最小值． ，， 是等边三角形， ， ． 在中，， ， 的最小值为． 故选：B． 14．（23-24九年级上·吉林长春·期中）将两张长为，宽为的长方形纸条按如图所示的形式交叉叠放，其中重叠部分是四边形． (1)求证：四边形为菱形； (2)在纸条转动的过程中，菱形面积的最大值为______（两张纸条不完全重合）． 【答案】(1)详见解析 (2) 【详解】（1）证明：分别过作于，于，如图1， ， 由题意可得，，，， 四边形是平行四边形， ， 在与中， ， ， ， 是菱形； （2）解：∵是菱形， ， ， 当越大时，菱形的面积越大， 旋转如图位置时，如图2，此时取最大值， 设，则， 在中，， ， ， ， 故答案为：． 矩形的旋转问题 15．（23-24九年级上·山东日照·期中）如图，矩形的顶点A、B分别在轴，轴上，，将矩形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 如图，过点作轴于点，连接， ， ， 四边形是矩形 ， ， ， ， ， ， 矩形绕点顺时针旋转，每次旋转， 则第1次旋转结束时，点的坐标为； 则第2次旋转结束时，点的坐标为； 则第3次旋转结束时，点的坐标为； 则第4次旋转结束时，点的坐标为； … 发现规律：旋转4次一个循环， ， 则第2024次旋转结束时，点的坐标为． 故选：C． 16．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）如图，把矩形绕点按逆时针方向旋转得到矩形，使点落在对角线上，连接，． (1)若，则°； (2)求证：． 【答案】(1)50 (2)见解析 【详解】（1）解：矩形和矩形， ， ， ， ， ， 故答案为：50； （2）证明：连接， 由旋转的性质可知，，，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ； 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，平行线的判定，等边对等角，熟练掌握旋转和矩形的性质是解题关键． 17．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如图，在中，，，．将绕点C按顺时针方向旋转后得，直线、相交于点F．取的中点G，连接，则长的最大值为 cm． 【答案】9 【详解】解：取的中点H，连接、，如图： ∵是由绕C点旋转得到， ∴，，， 设，则 在四边形中， 在中，，，， 在中，， ∵是中位线， 而， ∴当F、H、G在一条直线上时，最大，最大值为， 故答案为：9． 18．（23-24九年级上·广西河池·期中）如图，将矩形绕点A按逆时针方向旋转，得到矩形，E点正好落在边上，连接，且交于P． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）∵将矩形绕点A按逆时针方向旋转，得到矩形， ∴，，， ∴， ∴ （2）如图，过点E作于点M，过点G作交的延长线于点N，则， ∵四边形是矩形 ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ 矩形的折叠问题 19．（23-24九年级上·山东临沂·期中）如图的矩形中，有一点在上，，今以为折线将点往右折，点落在处，如图所示，若，，则点到的距离是（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过点作，于、， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 由折叠得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，即点到的距离是． 故选：B 20．（23-24九年级上·四川达州·期中）如图，把一张长方形纸片沿折叠后与的交点为，、分别在、的位置上，若，则 ． 【答案】 【详解】解：四边形为长方形，， ， ，， 由翻折的性质得：， 又， ， ， ， ． 故答案为：． 21．（23-24九年级上·吉林长春·期中）在长方形纸片中，，，如图所示，折叠纸片，使点A落在边上的处，折痕为，当点在边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动，若限定点P、Q分别在、边上移动，则面积的最大值为 ． 【答案】6 【详解】解：∵长方形纸片中，，， ①当Q与D重合时，如图，由折叠得： ∴在中，， ②当与B重合时，如图， 由折叠得：， ∴ 综上，，即的最大值为4， ∵， ∴当取最大值4时，面积最大，为． 故答案为：6 22．（23-24九年级上·河北承德·期中）实验探究：如图所示，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段，．请你观察如图，猜想等于 ． 【答案】/30度 【详解】解：如图，连接， 由题意得，直线是的垂直平分线， ，由折叠可知，， ， 是等边三角形， ， ． 故答案为：． 矩形的最值问题 23．（23-24九年级上·山东淄博·期中）如图，在矩形中，，以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转矩形，旋转角为，得到矩形，点的对应点分别为，设点P为的中点，连结，在矩形旋转的过程中，面积的最大值 和最小值 ． 【答案】 【详解】解：连接，作于， ， 当与共线，且时，面积最大， 由题意：， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积最大值为， 共线，面积最小为0， 故答案为：；． 24．（23-24九年级上·江苏南通·期中）如图，在矩形中，，，点，分别是边，上的动点，且，过点作直线的垂线，垂足为，则线段长的最大值为 ． 【答案】/ 【详解】解：四边形是矩形， ，，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 线段长的最大值为． 故答案为：． 25．（23-24九年级上·四川广安·期中）如图，在中，，，，点是斜边上的一个动点，于点，于点，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当时，的值最小， 此时，的面积， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 26．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）如图，在矩形中，，，P是边上一个动点，过点P作，垂足为G，连接，取中点E，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：延长，使得，连接，，如图， ∵，， ∴， ∴平分， ∵， ∴， ∴， ∴点在定直线上， ∵是的中点， ∴， ∴当最小时，有最小值， 当时，最小， 此时， ∴的最小值为， 故答案为：． 27．（23-24九年级上·甘肃武威·期中）如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点M是的中点，点N是的中点，连接，若，求线段的最大值． 【答案】9 【详解】解：如图所示，连接， 在中，，， ∴， ∵点M是的中点， ∴， 由旋转的性质可得，， ∵点N是的中点， ∴， ∵， ∴当在线段上时，有最大值，最大值为9． 正方形的旋转问题 28．（23-24九年级上·河北保定·期中）如图，正方形的边长为4，E在上，，将线段绕点A旋转，使点E落在直线上的点F处，连接，则的长为 ．    【答案】或 【详解】解：如图，   当点F落在边上时， 四边形为正方形， ，， ， ， 线段绕点A旋转，使点E落在直线上的点F处， ， ， ， ， ， ， 当点F落在的延长线上的点时， 同理可证， ， ， ． 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 29．（23-24九年级上·福建漳州·期中）如图，点是正方形的边上一点，，，逆时针旋转后能够与重合．    (1)旋转中心是点_____．旋转角的度数为_____． (2)请你判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)，； (2)等腰直角三角形，理由见解析． 【详解】（1）∵四边形是正方形， ∴， 根据题意可得：旋转中心是点，旋转角， 故答案为：，； （2）的形状是等腰直角三角形，理由： 根据旋转的性质可得：， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． 30．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转，得到．延长交于点G，连接．    (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求． 【答案】(1)正方形，理由见解析 (2) 【详解】（1）四边形是正方形，理由如下：      ∵将点B按顺时针方向旋转， ，， ， ， ， ， 四边形是矩形， 又， 四边形是正方形； （2）如图，过点D作于H，    ∵四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 又，， ， ，， ， ， ， 在中，． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理．熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 正方形的折叠问题 31．（23-24九年级上·山东临沂·期中）如图，先将正方形纸片对折，折痕为，再把点折叠到上，折痕为，点在上的对应点为，则下列结论中：（1）；（2）；（3）是等边三角形；（4），正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：四边形是正方形， ， 先将正方形纸片对折，折痕为， ，， ， 由折叠的性质得，， ，故（1）正确； ， 的等边三角形，故（3）正确； ， ， ， ，故（2）错误； 连接， 则， ， ，故（4）错误； 故选：B 32．（23-24九年级上·山东泰安·期中）四边形是一张正方形纸片，将其对折，使对折的两部分完全重合，得到折痕，展开后再沿折叠，使点A正好落在上．下列说法： ①   ②  ③是等边三角形  ④ 正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕， ，， 沿折叠，使点落在上的点处， ，， ， 在中，， ∴， ；故②正确 在中 ∵, ∴, ∴故①不正确 ∵ ∴, ∴ ∴是等边三角形，故③正确； ∴ 而 ∴ 故④正确 故选：C 33．（23-24九年级上·上海青浦·期中）矩形纸片，，，如果点E在边上，将纸片沿折叠，使点C落在点F处，连接，当是直角三角形时，那么的长为 ． 【答案】3或6 【详解】解：如图，当时，而， ∴三点共线， ∵矩形纸片，，， ∴，，， 由对折可得：， ∴，， 设，则， ∴， 解得：，即， 当，则四边形，四边形为矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 综上：当是直角三角形时，那么的长为或； 故答案为：或 【点睛】本题考查了矩形与翻折问题，涉及了勾股定理，正方形的判定与性质，掌握翻折的性质是解题关键． 34．（23-24九年级上·河南安阳·期中）如图，在正方形纸片中，是边上一点，连接，折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，得到折痕，点在上． (1)试判断与的数量关系并证明你的结论； (2)若，，则的长为________． 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【详解】（1）解：，证明如下： 根据折叠性质得：、关于对称， 即，且平分， ， ， 正方形中，，， ， ， 在和中， ， ， ． （2）解：平分， ， 中，， ， ，，， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是折叠性质、正方形性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理，解题关键是善于利用折叠性质得出垂直且平分． 正方形的最值问题 35．（23-24九年级上·江苏南通·期中）如图，已知正方形的边长为2，点Q为边的中点，点P在正方形的外部，且满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接，交于点，连接， 四边形是正方形，， ，，， ， ， 点，点，点，点四点共圆， ∴ 点，点，点三点共线时，有最大值， 点为边的中点，， ， 的最大值为， 故选：D． 36．（23-24九年级上·辽宁抚顺·期中）如图，已知，线段长为，两端分别在上滑动，以为边在的右侧作正方形，连接，则的最大值为（    ）    A． B．6 C． D．8 【答案】A 【详解】解：如图所示，在线段上取中点，连接，    ∵四边形是正方形，，点是中点， ∴，，， ∴在中，， ∵，点是中点， ∴在中，， 在中， ∵， ∴当点三点共线时，有最大值， ∴， 故选：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，三角形三边关系确定线段的最大值的方法，掌握正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，线段最大值的计算方法是解题的关键． 37．（23-24九年级上·福建龙岩·期中）如图所示，在边长为2的正方形中，点E是边上的一点，连接，在右侧作，且，连接，则的最小值是（    ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】解：连接，在上截取，连接，过点作，    ∵边长为2的正方形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在射线上运动， ∴当时，即点与重合时，最小， ∵， ∴； 故选C． 38．（23-24九年级上·江苏常州·期中）如图，在边长为4的正方形中，E、F分别是上的动点，M、N分别是的中点，则长的最大值是 ．    【答案】 【详解】解：连接，如图所示：    ∵M、N分别是的中点 ∴ ∵E是上的动点， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴长的最大值是：． 故答案为：． 39．（23-24九年级上·河北廊坊·期中）如图，是边长为的正方形内一点，为边上一点，连接、、，则的最小值是 ． 【答案】cm 【详解】解：如图，将绕点逆时针旋转得到， ，，， 是等边三角形，是等边三角形， ， 作于，交于． ， ，， ， 当点，，，四点共线且垂直时，有最小值为， ， ， 的最小值(cm)． 故答案为：cm． 40．（20223-24·天津河西·期中）如图，正方形的边长为，分别为边上的动点，且，则的最小值为 【答案】 【详解】解：连接， ∵且四边形为正方形， ∴，即，， 在和中， ∴， ∴； ∴， 以为对称轴，作点关于的对应点连接，与交点即为点， ∵点和点关于对称， ∴， ， 由勾股定理可得：， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形的全等，最短路径问题，勾股定理．熟练地掌握正方形的性质得出判定三角形全等的条件，将最短路径问题转化为“将军饮马”类型的问题是解题的关键． 1．（23-24九年级上·山东烟台·期中）如图，在菱形纸片中，，折叠该纸片，使点C落在直线（P为中点）上的点处，得到经过点 D 的折痕，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接，记、的交点为，    ∵菱形，， ∴，，， ∴是等边三角形， ∵P为中点， ∴，， 由折叠的性质可知，，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理，翻折的性质等知识．熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理，翻折的性质是解题的关键． 2．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，点D、E分别是边的中点，将绕点E旋转得，连接，添加下列条件后能判定四边形是正方形的是（　　） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【详解】解：∵点、分别是边、的中点， ， ∵将绕点旋转得， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 添加时， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴添加即可使得矩形是正方形， ∵当且时， ∴C正确， 故选：C． 3．（23-24九年级上·重庆·期中）如图，把一张矩形纸片折叠，点与点重合，折痕为，再将沿折叠，点恰好落在上的点处．若厘米，则的长为 厘米． 【答案】 【详解】解：四边形是矩形 ，， 把一张矩形纸片折叠，点与点重合， ， 将沿折叠，点恰好落在上的点处， ，，， ，且 ， ， ， ， ， ，， ，且 是等边三角形 ． 故答案为：． 4．（23-24九年级上·河北沧州·期中）如图，等腰直角三角形中，，．长度为3的线段固定不动，将绕顶点A旋转．在旋转过程中， （1）点B与点C的最短距离为 ； （2）点B到边的距离的最大值为 ． 【答案】 3 【详解】解：（1）如图，连接， ∵， ∴当点C在的延长线上时，点B与点C的距离最短，最短距离为：． 故答案为：3； （2）如图，作于点E，连接． ∵， ∴当点B，A，E共线时，点B到边的距离最大， ∵， ∴， ∴， ∴最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形三条边的关系，勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 5．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，在菱形中，，，将向右平移得到（点在线段上），连接， （1）若四边形是矩形，则 ； （2）的最小值为 ． 【答案】 4 12 【详解】解：（1）连接交于点，如图所示：   在菱形中，，， ，， ， 在中，，则， 将向右平移得到（点在线段上）， ， 若四边形是矩形，则， ， 在中，，则， ，即 故答案为：； （2）连接，延长到，使，如图所示：   将向右平移得到（点在线段上）， ，， ∴是平行四边形， ， 在菱形中，由菱形对称性得到， ， ，则当三点共线时，有最小值为， ， ， 是等边三角形， ，， 由于是的一个外角， ， ， 在中，，，则， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查特殊平行四边形背景下求线段长，涉及菱形的性质、矩形的性质、平移的性质、等边三角形的判定与性质、含直角三角形的三边关系等知识，熟练掌握特殊平行四边形性质是解决问题的关键． 6．（23-24九年级上·陕西西安·期中）如图，在边长为4的正方形中，点E为对角线上的动点，以为边向外作正方形，点H是的中点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：连接，如下图所示：    ∵正方形和正方形中， ， ， ， 在和中 ， ， ，， 当E点位于C点时，G点位于处， 当E点位于A点时，G点位于C处， 故E点在上运动时，G点在上运动， 故由点到直线的距离垂线段最短可知： 过H点作时，此时最小， 又H是的中点， 又， ， 故答案为：． 7．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）如图，已知在中，P为边上一个动点，连接，，分别交于点、，垂足为M，点N为的中点，若四边形的面积为18，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：∵中， ∴， ∴为直角三角形，且， ∵N为的中点， ∴， ∵四边形的面积为18，， ∴， 即， 当取最小值时，有最大值， 故当时，值最小，最小值为， 此时． 故答案为：． 8．（23-24九年级上·天津和平·期中）如图，在边长为6的正方形中，为的中点，为上的一个动点．则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：延长到使，连接，， 四边形是边长为6的正方形，为的中点， 是的垂直平分线，， ， ， 的最小值为， 在中， ，， 由勾股定理，得， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称最短路线问题，正方形的性质，两点之间线段最短，勾股定理，能将两条线段长的最小值用一条线段的长表示是解题的关键． 9．（23-24九年级上·福建福州·期中）如图， 矩形中， E是的中点，将沿折叠后得到，延长交于点F， 若，，求的长    【答案】 【详解】解：连接，如图所示：   四边形是矩形， ，， 由折叠的性质可知：，， 是的中点， ∴， ∵， ∴， ， ∵，， ∴， 由折叠的性质得：， ， ． 10．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在矩形中，，，点E为的中点，将沿直线折叠，点B落在点处． (1)线段，； (2)判断与的位置关系为 ，并给出证明过程； (3)若，求的面积． 【答案】(1)6；10 (2)．证明见解析 (3) 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴， ∵点E为的中点， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， 故答案为：6；10． （2）解：与的位置关系是：．证明如下： 过点E作于点H， 由折叠的性质得：， ∵点E为的中点， ∴ ∴， ∴为等腰三角形， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：由（2）可知：，， 又， ∵为等腰三角形， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∴． 【点睛】此题主要考查了图形的折叠变换及性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等，解答此题的关键是熟练掌握图象的折叠变换及性质，理解等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线重合（三线合一）． 11．（23-24九年级上·宁夏石嘴山·期中）实验与探究： 如图，用四根木条钉成矩形框，把边固定在地面上，向右推动矩形框，矩形框的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）． (1)通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段由旋转得到，所以．同理，我们还可以得到_____________．由旋转可得，则我们可推理论证得到、的位置关系是_____________； (2)进一步观察，我们还会发现，请证明这一结论； (3)已知，若恰好是的角平分线，求与之间的距离． 【答案】(1)， (2)证明见解析； (3)与之间的距离为． 【详解】（1）解：线段由旋转得到， ， 矩形框， ， ， ， （2）解：由（1）可知，，，， 矩形框， ，， ， 又， 四边形是平行四边形， ， ； （3）解：如图，过点作于点， 矩形框， ，， ， 恰好是的角平分线， ， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， 即与之间的距离为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键． 12．（23-24九年级上·贵州黔东南·期中）（探索发现）如图，四边形是正方形，M，N分别在上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法，如图，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到，连接． (1)线段之间的数量关系是 ． (2)根据（1）的结论，写出证明过程； (3)如图，如果正方形的边长是4，求的周长． 【答案】(1)； (2)证明过程见详解； (3)8． 【详解】（1）解：． 理由如下：由旋转，可知： ， ∴点E、B、C共线， ， ． 在和中， ， ． ， ， ； （2）证明：由旋转，可知： ， ∴点E、B、C共线， ， ． 在和中， ， ． ， ， ； （3）解：由（1）得，； ， ∵正方形的边长为4， ； ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$