3.5 三角形的内切圆（分层作业）数学青岛版九年级上册

3.5三角形的内切圆 题型一 三角形内心的有关应用 1．某旅游景区内有一块三角形绿地，现要在绿地内建一个休息点，使它到，，三边的距离相等，下列作法正确的是（    ） A．   B．   C． D．   【答案】D 【分析】本题考查作图-基本作图，角 ∴点O是的内心，即点O是角平分线的交点， 平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，读懂图象信息． 根据三角形内心的性质判断即可． 【详解】解：∵点O到三边的距离相等， 故选：D． 2．要在一个三角形铁皮上截下一个面积最大的圆，此圆圆心应在三角形（    ） A．三边高线的交点 B．三个角的平分线的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三边中线的交点 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的内切圆与内心，掌握三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点是解题的关键．根据题意得到圆形薄板的圆心应是三角形的内心，根据内心的性质解答即可． 【详解】解：要在一个三角形铁皮上截下一个面积最大的圆， 则作三角形的内切圆，即作三角形的三个内角角平分线的交点， 故选：B． 3．如图，O是△ABC的内心，∠BOC＝100°，则∠A＝ °． 【答案】 【分析】根据点O是的内心，即角平分线的交点，在 中，可求出的度数．根据角平分线可求出的度数，则可求的度数． 【详解】在中, ， ， ∵点O是的内心， ， 在中， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角形内角和及角平分线的定义，知道内心是角平分线的交点是解题的关键． 4．已知在正方形网格中的位置如图所示，A，B，C，P四点均在格点上，则点P叫做的（    ）    A．垂心（三边高线的交点） B．重心（三边中线的交点） C．外心（三边垂直平分线的交点） D．内心（三内角平分线的交点） 【答案】B 【分析】本题考查了对三角形“四心”的判断，找到格点即可求解． 【详解】解：如图所示：    ∵是的中线， ∴点P叫做的重心 故选：B 5．点是的外心，也是的内心．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角定理，三角形内角和定理，三角形内心的定义，连接，由圆周角定理得到，则，再由内心的定义得到，则，据此由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，O是的外心， ∴， ∴， ∵O是的内心， ∴分别平分， ∴ ∴， ∴． 故选：B． 6．如图，点I是的内心．若，，则的度数是 °．    【答案】 【分析】根据三角形内心的性质求出和的度数，再由三角形的内角和求出的度数，即可得出结论． 【详解】∵点I是的内心，，， ∴， ∴， ∴， 故答案是 【点睛】本题主要考查了三角形的内心的性质和三角形的内角和，正确掌握三角形的内心是三条角平分线的交点是解题的关键． 7．如图，已知，平分交于点D，请利用尺规作的内切圆．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了内切圆的作图，先作出的平分线，交于点O，过点O作的垂线，垂足为E，以点O为圆心为半径作圆即可． 【详解】解：即为所求作的圆，如图所示． 8．如图，是的内切圆，切点分别为、、，，，求的度数      【答案】 【分析】连接，．由三角形内角和定理可求得，由切线的性质可知：，，从而得到，故可求得由圆周角定理可求得． 【详解】解：如图所示；连接，．    ，， ． 是圆的切线， ． 同理． ． ． ． 【点睛】本题主要考查的是切线的性质、三角形、四边形的内角和、圆周角定理，求得的度数是解题的关键． 9．如图，点是的内心，的延长线与的外接圆交于点，与交于点，延长，相交于点，的平分线交于点． (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据三角形内心的性质得，再利用圆内接四边形的性质得，则，从而得到，则可判断； （2）根据三角形内心的性质得，然后证明得到． 【详解】（1）证明：∵点是的内心， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵点是的内心， ∴， ∵， 即， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心、三角形的外心、圆周角定理、圆内接四边形等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．注意数形结合思想的应用． 题型二 三角形的周长、面积与内切圆半径的关系 10．如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，则的周长为（　　） A．18 B．16 C．14 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的内切圆，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，，，根据，于是得到的周长． 【详解】解：∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F， ∴，，， ∵， ∴， ∴的周长， 故选：A． 11．如图，是的内切圆，点D，E是切点，，，则 ． 【答案】110° 【分析】先根据三角形的内角和定理求得∠B，再由切线的性质得∠BDO＝∠BEO＝90°，从而得出∠DOE． 【详解】解：∵∠A＝50°，∠C＝60°， ∴∠B＝180°−50°−60°＝70°， ∵E，D是切点， ∴∠BDO＝∠BEO＝90°， ∴∠DOE＝360°−90°−90°−70°＝110°． 故答案为：110°． 【点睛】此题考查了三角形的内切圆和切线的性质，三角形内角和，四边形内角和，是基础知识要熟练掌握． 12．如图，已知O是的内心，连接，，．若内切圆的半径为2，的周长为12，求的面积． 【答案】12 【分析】设切点为D，E，F，连接，，，将三角形面积表示为，结合周长可得结果． 【详解】解：设切点为D，E，F，连接，，， ∴， ∵的周长为12， ∴， ∴的面积为： ． 【点睛】本题考查了三角形的面积，内切圆的性质，解题的关键是将面积用三个三角形的和表示． 13．如图，中，，，，则的内切圆半径为（　　） A．2 B．4 C．1.5 D．2.5 【答案】A 【分析】此题重点考查三角形内切圆的定义、切线的性质定理、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法．设与、、分别相切于点、、，连接，则，由勾股定理求得，连接、、，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设与、、分别相切于点、、，连接，则， ，，， ， 连接、、， ，，， ，，，， ， 解得， 故选：A． 14．如图，中，，点O是内心，若，的周长为16，则的面积为（    ） A． B． C．16 D．32 【答案】B 【分析】本题主要考查了内心的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，如图所示，过点O作于E，连接，由内心的定义和性质可得点O到的距离相等且都等于，且，则，根据三角形周长公式得到，再由推出，据此可得答案． 【详解】解；如图所示，过点O作于E，连接， ∵点O是内心， ∴点O到的距离相等且都等于，且， ∴， ∵的周长为16， ∴ ∵， ∴ ， 故选B． 15．如图，的内切圆与斜边相切于点D，，，则的面积为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由切线长定理得出，，，根据勾股定理，得．整理得，再由三角形面积公式即可得出答案． 【详解】解：设， 根据切线长定理，得，，， 根据勾股定理，得， 整理，得， ∴， 则的面积为， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆、切线长定理、勾股定理以及三角形面积公式等知识；熟练掌握切线长定理和勾股定理是解题的关键． 16．如图，在中，，，，且的三边都与相切，则的半径为 ．    【答案】 【分析】本题考查的是三角形的内切圆与内心，与的三边的切点分别为D、E、F，连接、、，，，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式求出，掌握内切圆与内心和勾股定理是解题的关键． 【详解】解：设与的三边的切点分别为D、E、F，连接、、，，，    ∴，，，， 由勾股定理得，， ∴， 即， 解得，即的半径为， 故答案为：． 17．如图，中，，，与的三边分别相切于点D，E，F，若的半径为2，求的周长． 【答案】30 【分析】本题考查的是三角形的内切圆与内心，根据题意作出辅助线，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 设，由切线长定理得，根据题意可得四边形为正方形，则，，在直角三角形中，利用勾股定理求出x，然后求其周长． 【详解】解：连接，，设． 由切线长定理，得． 与的三边分别切于点D，E，F， ，， ∵ ∴四边形为正方形． 的半径为2，， ，． 在中，， 即， 解得， ，， 的周长为． 18．如图，在中，，⊙是的内切圆，半径为，切点为、、，连接，，． (1)若，，则     ； (2)若的周长为，面积为，则，，之间有什么数量关系，并说明理由． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据等面积法即可得出结论； （2）根据，结合，即可得到，，之间数量关系． 【详解】（1）连接、、， ∵ ∴ 在中， ∵，， ∴ 又∵， 代入①得： （2）∵， 代入①得， ∴，，之间数量关系为 【点睛】本题考查了用等面积法求三角形的内切圆半径，三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角等，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 题型三 内切圆与外切圆综合 19．如图，在中， I是的内心，O是的外心，则（　　） A．125° B．140° C．130° D．150° 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了三角形的外接圆和圆周角定理．先利用三角形内心的性质得到，则可计算出，然后利用圆周角定理得到∠BOC的度数． 【详解】解：过点I分别作，如图 ∵点I是的内心，且结合切线性质 ∴ ∵ ∴， 即 ∴， ∵点O是的外心， ∴． 故选：B． 20．如图，，，，若、分别是的内心和外心，则的长为 ． 【答案】 【分析】作于点D，作于点F，连接和，可得平分，且垂直平分，及和，点A、点P、点Q、和点共线，进一步求得、和，由，得，利用勾股定理求得即可求得答案． 【详解】解：作于点D，作于点F，连接和，如图， 则， ∵， ∴平分，且垂直平分， ∵， ∴， ∴， ∵、分别是的内心和外心， ∴点P、点Q、线段都在线段上， 则，，， 在中，，得，解得， 在和中 ∴， ∴， 则， ∵， ∴，解得， 则． 故答案为∶． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的“三线合一”、勾股定理、三角形的内心、三角形的外心和全等三角形的判定和性质，结合性质作出所需要的辅助线是解题的关键． 21．如图，点O，I分别是锐角的外心、内心，若，则的度数为 ． 【答案】/24度 【分析】连接，先计算出，再利用外心性质和等腰三角形的性质得到，则，利用圆周角定理得到，接着计算出，再根据三角形内心即可解决问题． 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴， ∵O点为的外心， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵I为的内心， ∴平分， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，圆周角定理，解决本题的关键是掌握内心与外心定义． 22．已知的内心为O，． (1)如果的外心也为O，求证：为等边三角形，并尺规作线段； (2)延长交边于E，求证：=． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查尺规作图——作角平分线，角平分线的性质，三角形的内心与外心，垂径定理等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）根据三角形的内心点为角平分线的交点，根据尺规作图作角平分线的方法作平分，平分，，，，进而证明，即可证明，得为等边三角形； （2）由题意可知平分，作，，得，设边上的高为，根据，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵的内心为O， ∴点为角平分线的交点， 如图，作平分，平分，，，， 则， ∵， ∴， ∴，同理，，， ∵的外心也为O， 由垂径定理可知，，，， ∴，则， ∴为等边三角形， 即为所求； （2）证明：∵的内心为O， ∴点为角平分线的交点， ∴平分， 作，， ∴， 设边上的高为， 则， ∴， ∴． 23．下面就是欧拉发现的一个定理：在中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其中外心和内心，则．若的外接圆的半径为，内切圆的半径为，则的外心与内心之间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考三角形的内心与外心，理解题意是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可知，， ∴的外心与内心之间的距离， 故答案为：． 24．如图，已知点O是的外心，点I是的内心，连接，．若，则 ． 【答案】35 【分析】本题考查了三角形的内心，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆周角定理，连接，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得，进而由圆周角定理得，再根据内心的定义可得，据此即可求解，掌握内心的定义是解题的关键． 【详解】连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点是的内心， ∴， 故答案为：35． 25．如图，已知中，． (1)尺规作图：作的内切圆（保留作图痕迹，请标明字母） (2)若中，求内切圆的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作的角平分线交于点，过点作于点，以为圆心，的长为半径作圆，则即为所求； （2）勾股定理求得，设的半径为，根据等面积法求得，进而即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， （2）∵中， ∴, 设的半径为， 则， 解得：， ∴内切圆的面积为． 【点睛】本题考查了作三角形的内切圆，三角形内心的定义，掌握三角形内心的定义是解题的关键． 26．如图，在中，，是的内切圆，M，N，K是切点，连接，．交于E，D两点．点F是上的一点，连接，，则的度数是 ． 【答案】/62.5度 【分析】本题主要考查了圆周角定理，三角形内心的性质，三角形内角和定理，先根据三角形内心的性质得，，进而求出，即可求出，然后根据圆周角定理得出答案． 【详解】∵是的内切圆， ∴，是的角平分线， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 27．图，是△ABC的外接圆，点I是△ABC内心，连接AI并延长交⊙O于点D，若AB＝9，BC＝14，CA＝13，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作BM∥AD交CA延长线于点M，连接BI，可得∠ABM=∠BAD，∠CAD=∠M，再由点I是△ABC内心，可得∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠IBC，从而得到∠M=∠ABM=∠BAD=∠CAD，AB=AM=9，∠CBD=∠BAD，进而得到BD=ID，再证得△MBC∽△ABD，可得，即可求解． 【详解】：如图，作BM∥AD交CA延长线于点M，连接BI， ∴∠ABM=∠BAD，∠CAD=∠M， ∵点I是△ABC内心， ∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠IBC， ∴∠M=∠ABM=∠BAD=∠CAD， ∴AB=AM=9， ∴MC=AM+AC=22， ∵∠CBD=∠CAD， ∴∠CBD=∠BAD， ∵∠BAD+∠ABI=∠BID，∠IBC+∠BAD=∠IBD， ∴∠IBD=∠BID， ∴BD=ID， ∵∠D=∠C， ∴△MBC∽△ABD， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴． 故选：C 【点睛】本题主要考查了三角形的内切圆和外接圆的综合，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，作出适当辅助线是解题的关键． 28．已知是等边三角形，点O是的内心，E，F分别是和边上的点，且，连接，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，平分交于点D，连接，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，当点E，F分别位于和的延长线上时，请探究线段，和D之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）三角形内心得，则，且，即可证明； （2）由（1）可知，则和．结合角平分的性质证得，有，结合即可； （3）由等边三角形的内心的，则和．即可证明，有和．结合角平分线得，有，结合即可证明． 【详解】（1）证明：是等边三角形，点O是的内心， ， ，． ， ， ，即． 在和中， ． （2）证明：由（1）可知， ，． 平分， ． 在和中， ， ． ， ． （3）解：． 理由：是等边三角形，点O是的内心， ， ，，． ， ， ，即． 在和中， ， ，． 平分， ． 在和中， ， ． ， ． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、三角形的内心、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质和角平分线的性质，解题的关键是熟悉三角形的内心和全等的性质． 29．如图，是的直径，内接于，点I为的内心，连接并延长交O于点D，E是上任意一点，连接，，，． (1)若，求的度数； (2)找出图中所有与相等的线段，并证明； (3)若，，求的周长． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)30 【分析】（1）利用圆周角定理得到，再根据三角形的内角和定理求，然后利用圆内接四边形的对角互补求解即可； （2）连接，由三角形的内心性质得到内心，，，然后利用圆周角定理得到，，利用三角形的外角性质证得，然后利用等角对等边可得结论； （3）过I分别作，，，垂足分别为Q、F、P，根据内切圆的性质和和切线长定理得到，，，利用解直角三角形求得， ，进而可求解． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴，又， ∴， ∵四边形是内接四边形， ∴， ∴； （2）解：， 证明：连接， ∵点I为的内心， ∴，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （3）解：过I分别作，，，垂足分别为Q、F、P， ∵点I为的内心，即为的内切圆的圆心． ∴Q、F、P分别为该内切圆与三边的切点， ∴，，， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴的周长为 ． 【点睛】本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质、三角形的内角和定理、三角形的内心性质、三角形的外角性质、等腰三角形的判定、切线长定理以及解直角三角形，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 30．如图，I是的内心，的延长线交的外接圆于点D． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接、，求证：点D是的外心． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据三角形内心的定义得，再由圆周角与弧之间的关系即可得证； （2）连接，证出即可得证； （3）连接，，，证出即可得证． 【详解】（1）证明：点I是的内心， 平分， ， ， ， ． （2）证明：如图，连接， 点I是的内心， 平分，平分， ， 又， ， ，， ， ． （3）证明：如图，连接，，， ， ． ， ∴点D是的外心． 【点睛】本题考查了三角形内心和外心的定义，圆的基本性质中圆周角与弧之间的关系等，理解定义，掌握圆的基本性质，根据题意作出辅助线是解题的关键. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！31 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.5 三角形的内切圆 题型一 三角形内心的有关应用 1．某旅游景区内有一块三角形绿地，现要在绿地内建一个休息点，使它到，，三边的距离相等，下列作法正确的是（    ） A．   B． C． D．   2．要在一个三角形铁皮上截下一个面积最大的圆，此圆圆心应在三角形（    ） A．三边高线的交点 B．三个角的平分线的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三边中线的交点 3．如图，O是△ABC的内心，∠BOC＝100°，则∠A＝ °． 4．已知在正方形网格中的位置如图所示，A，B，C，P四点均在格点上，则点P叫做的（    ）    A．垂心（三边高线的交点） B．重心（三边中线的交点） C．外心（三边垂直平分线的交点） D．内心（三内角平分线的交点） 5．点是的外心，也是的内心．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．如图，点I是的内心．若，，则的度数是 °．    7．如图，已知，平分交于点D，请利用尺规作的内切圆．（保留作图痕迹，不写作法） 8．如图，是的内切圆，切点分别为、、，，，求的度数      9．如图，点是的内心，的延长线与的外接圆交于点，与交于点，延长，相交于点，的平分线交于点． (1)求证：． (2)求证：． 题型二 三角形的周长、面积与内切圆半径的关系 10．如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，则的周长为（　　） A．18 B．16 C．14 D．12 11．如图，是的内切圆，点D，E是切点，，，则 ． 12．如图，已知O是的内心，连接，，．若内切圆的半径为2，的周长为12，求的面积． 13．如图，中，，，，则的内切圆半径为（　　） A．2 B．4 C．1.5 D．2.5 14．如图，中，，点O是内心，若，的周长为16，则的面积为（    ） A． B． C．16 D．32 15．如图，的内切圆与斜边相切于点D，，，则的面积为（    ） A．8 B． C． D． 16．如图，在中，，，，且的三边都与相切，则的半径为 ．    17．如图，中，，，与的三边分别相切于点D，E，F，若的半径为2，求的周长． 18．如图，在中，，⊙是的内切圆，半径为，切点为、、，连接，，． (1)若，，则     ； (2)若的周长为，面积为，则，，之间有什么数量关系，并说明理由． 题型三 内切圆与外切圆综合 19．如图，在中， I是的内心，O是的外心，则（　　） A．125° B．140° C．130° D．150° 20．如图，，，，若、分别是的内心和外心，则的长为 ． 21．如图，点O，I分别是锐角的外心、内心，若，则的度数为 ． 22．已知的内心为O，． (1)如果的外心也为O，求证：为等边三角形，并尺规作线段； (2)延长交边于E，求证：=． 23．下面就是欧拉发现的一个定理：在中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其中外心和内心，则．若的外接圆的半径为，内切圆的半径为，则的外心与内心之间的距离为 ． 24．如图，已知点O是的外心，点I是的内心，连接，．若，则 ． 25．如图，已知中，． (1)尺规作图：作的内切圆（保留作图痕迹，请标明字母） (2)若中，求内切圆的面积． 26．如图，在中，，是的内切圆，M，N，K是切点，连接，．交于E，D两点．点F是上的一点，连接，，则的度数是 ． 27．图，是△ABC的外接圆，点I是△ABC内心，连接AI并延长交⊙O于点D，若AB＝9，BC＝14，CA＝13，则的值是（    ） A． B． C． D． 28．已知是等边三角形，点O是的内心，E，F分别是和边上的点，且，连接，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，平分交于点D，连接，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，当点E，F分别位于和的延长线上时，请探究线段，和D之间的数量关系，并说明理由． 29．如图，是的直径，内接于，点I为的内心，连接并延长交O于点D，E是上任意一点，连接，，，． (1)若，求的度数； (2)找出图中所有与相等的线段，并证明； (3)若，，求的周长． 30．如图，I是的内心，的延长线交的外接圆于点D． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接、，求证：点D是的外心． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$