3.5 三角形的内切圆-【优+学案】2024-2025学年九年级上册数学课时通(青岛版)

3.5三角形的内切圆（答案P25) 通基础 5.(2023·泰安肥城月考)等边三角形的外接圆 与内切圆的半径之比是 知识点1三角形的内切圆的相关概念及作图 6.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6, 1.关于三角形的内心：①到三条边的距离相等； BC=8.则△ABC的内切圆半径r= ②到三个顶点的距离相等；③是三条边垂直平 分线的交点；④是三条内角平分线的交点.其 中正确的说法是( ) A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 7.如图所示，点O是△ABC的内心，AO的延长 2.如图所示，O是△ABC的内心，过点O作EF∥ 线交△ABC的外接圆于点D,连接CD. AB,与AC,BC分别交于点E,F,则( 求证：OD=CD A.EF>AE+BF B.EF<AE+BF C.EF=AE+BF 0 D.EF≤AE+BF 3.新情境某公园有一块由三条小路围成的三 角形绿地（如图所示）.现准备在其中建一个尽 可能大的圆亭供人们休息，试作出表示这个圆 亭范围的圆 知识点2三角形的内切圆的相关计算 4.如图所示，△ABC的内切圆⊙I与BC,CA, 帽固混淆三角形内心与外心的概念 AB分别相切于点D,E,F,若⊙I的半径为r, ∠A=a,则(BF+CE-BC)的值和∠FDE的 8.(2023·菏泽单县三模)如图所示，点I是 大小分别为() △ABC的内心，若∠AIB=125°，则∠C等于 ( A.2r,90°-a B.0,90°-a A.65° B.70° C.2r,90°-g D.0,90°-a C.75 D.80° 一九年级上饰数学的 86 通能力 14.如图所示，△ABC的内切圆⊙O与BC,CA, AB分别相切于点D,E,F 9.如图所示，点I为△ABC的内切圆的圆心，连 (1)若∠ABC=50°，∠ACB=75°，求∠BOC 接BI并延长交△ABC的外接圆于点D,连接 的度数 AD,AI,若BD=7,AD=5,则BI的长 (2)若AB=13,BC=11,AC=10,求AF 为() 的长 A.1 B.2 C.2.5 D.3.5 第9题图 第10题图 10.如图所示，⊙O的直径AB为10cm,弦BC 为8cm,∠ACB的平分线交⊙O于点D, △ADB的内切圆半径是( ) A号 B.5(2-1) 通素养》999999 n号 15.如图所示，Rt△ABC的两直角边AC长为4， C.5(2+1) BC长为3，它的内切圆为⊙O,⊙O与边AB, 11.如图所示，在矩形ABCD中， BC,AC分别相切于点D,E,F,延长CO交 AB=4,BC=3,连接AC, 0 斜边AB于点G. ⊙P和⊙Q分别是△ABC和 (1)求⊙O的半径长. △ADC的内切圆，则PQ的长是( (2)求线段DG的长. A. B.5 c. D.2√2 12.(2023·湖北中考)如图所示，在△ABC中， ∠ACB=70°，△ABC的内切圆⊙O与AB, BC分别相切于点D,E,连接DE,AO的延 长线交DE于点F,则∠AFD= 第12题图 第13题图 13.如图所示，⊙O是△ABC的内切圆，切点分 别为D,E,F,∠A=80°，点P为⊙O上任意 一点（不与E,F重合），则 ∠EPF= 87 优学案课时通(答案不唯一) .△DCO是等腰三角形， (2)连接OC,如图所示. ..OD=CD. PC,PD分别切⊙O于点C,D, ∴.PC=PD,∠CPO=∠DPA, .CD⊥AB CD-12.:.DE-CE-2CD-6. :tan∠CPO=2,在Rt△EPC中，PE=12, D 8.B9.B 由勾股定理，得CP=6√5. 10.B解析：，AB是⊙O的直径，∴.∠ACB=90°， ,PC切⊙O于点C, ∠ADB=90°.AB=10cm,BC=8cm,∴.AC= ∴.∠OCP=90°. √AB-BC=6(cm).,∠ACB的平分线交⊙O 1 在Rt△OPC中，，tan∠CPO= 于点D,∠ACD=∠BCD,.AD=BD. 2 :∠ADB=90°，∴.AD2+BD2=AB2,.AD2+ % AD2=102,六.AD=5√2cm,.AD=BD= 5√2cm,∴.△ABD是等腰直角三角形.设△ABD .0C=35,.P0=√OC+CP=15. 内切圆的圆心为I,内切圆分别与AD,BD,AB切 于点E,G,F,半径为rcm,得正方形DGIE, ..AE=AF=BG=BF=AD-DE=(52-r)cm, ∴.5√2-r+5√2-r=10,解得r=5(W2-1)cm, ∴.△ADB的内切圆半径是5（√2-1）cm. 12.解：(1)证明：AB∥CD, .∠ABC+∠DCB=180° ,AB,BC,CD分别与⊙O相切于点E,F,G, ∴.BO平分∠ABC,CO平分∠DCB. ·∠OBC=1 ∠ABC,∠0CB= 2∠DCB, ∴∠OBC+∠0CB=(∠ABc+∠DCB)= 1 D 11.B 180°=90°..∠BOC=90°.∴.B0⊥CO. 12.35°解析：如图所示，连接OD,OE,OB,OB交 (2)连接OF,则OF⊥BC. ED于点G.:∠ACB=70°，∴.∠CAB+ .∠OBF=∠OBC,∠OFB=∠BOC=90°， ∠CBA=110° :点O为△ABC的内切圆的圆心，.∠OAB十 :Rt△BOFRt△BCO,BO-BC BF BO ∠OBA=55°，.∴.∠AOB=125°.，OE=OD, ,在Rt△BOC中，BO=6cm,CO=8cm, BD=BE,∴.OB垂直平分DE,.∠OGE=90°， .BC=√6+8=10(cm). ∴.∠AFD=∠AOB-∠OGF=125°-90°=35°. ÷E-8BF=86em ,AB,BC,CD分别与⊙O相切， ∴.BE=BF=3.6cm,CG=CF ,CF=BC-BF=10-3.6=6.4(cm), .'.CG=CF=6.4cm. 13.50°或130° 3.5三角形的内切圆 14.解：(1)：△ABC的内切圆⊙O与BC,CA,AB分 1.B2.C 别相切于点D,E,F, 3.解：如图所示，⊙O即为所作 ∠DB0=号∠ABC,∠DC0=∠ACB, ∠DB0+∠DC0=号∠ABC+∠ACB= (ZABC+∠ACB)-62.5 .在△BOC中，∠BOC=180°-（∠DBO+ 4.D5.216.2 ∠DC0)=180°-62.5°=117.5° 7.证明：如图所示，连接OC. (2),⊙O是△ABC的内切圆， ,点O是△ABC的内心， ..AE=AF,BD=BF,CD=CE. .∠CAD=∠BAD,∠OCA=∠OCB 设AE=x,BD=y,CD=x. ,∠BAD=∠BCD, 又AB=13,BC=11,AC=10, ∴.∠COD=∠CAD+∠OCA=∠BAD+∠OCB, x十y=13, x=6, ∠DCO=∠BCD+∠OCB, .x十z=10,解得y=7,∴AF=6. '.∠COD=∠DCO, y+z=11, z=4. 25 15.解：(1)如图所示，连接OA,OD,OE,OF.设⊙O OC是⊙O的半径，∴.CD是⊙O的切线. 的半径为r. 由切线长定理，得AD=AF,BD=BE,CE=CF. 又∠ACB=90°， .四边形OECF为正方形，.CE=CF=r 在Rt△ABC中，AC=4,BC=3, 由勾股定理，得AB=5. (2)E是BC的中点，且OA=OB, .AD+BD=AF+BE=AB, ∴.OE是△ABC的中位线，AC=2OE. .(4-r)十(3-r)=5,.r=1, ,OE=6cm,∴.AC=12cm. .⊙0的半径长为1. AB是⊙O的直径，'∠ACB=90°=∠ADC. (2)如图所示，延长AC到点H,使CH=BC=3, 又∠DAC=∠CAB,∴.△DACO△CAB, 连接BH :∠ACB=90°，∴∠CHB=45 1220AD=36 记福即侣贵 5 cm. 又，CG是∠ACB的平分线， 3.解：(1)证明：连接DO,如图所示. ∴.∠ACG=45°.∴∠ACG=∠CHB.∴.CG∥HB. AC为⊙O的直径，∴.∠ADC=90°， ∴.△ACG△AHB. ..∠BDC=180°-90°=90° 4 E为BC的中点，DE=CE=BE, “AB AH AC+BC=7: .∠EDC=∠ECD. 解得AG=×5-9 又，OD=OC,..∠ODC=∠OCD, 而∠OCD+∠DCE=∠ACB=90°， 又AD=AF=AC-FC=3, ∴.∠EDC+∠ODC=90°， DG=AD-AG=3-9-号 即∠EDO=90°，∴.DE⊥OD, .DE与⊙O相切. H (2)由(1)得，∠CDB=90° 专题三证明直线与圆相切的方法 :CE=EBDE=号BC 1.解：(1)证明：连接OA,如图所示，则OF=OA, ∴.∠OAF=∠OFA. DE=5 :AG=GD,∴.OF⊥AD,.∠AGF=90 BC=5. ,四边形ABCD是菱形，.AB=AD,AC⊥BD, ∴BD=√BC2-CD=√5-3=4. ∠BAE=∠DAE, ∠BCA=∠BDC=90°，∠B=∠B, '.∠OAB=∠OAF+∠BAE=∠OFA+∠DAE=90°. ∴.△BCA∽△BDC, ,OA是⊙O的半径，且AB⊥OA, ,ACBC.AC=5 .AB是⊙O的切线， 0BD3=AC时 OA 5 、(2)QA=安，AD=2AG,…2AG=8 ⊙0直径的长为识 8 4.解：(1)证明：连接OC,如图所示。 :点C是AE的中点，∠ABC=∠DBC. 设AG=4m,则OA=5m,∴.OF=OA=5m. OC=OB,..∠ABC=∠OCB, ∠AG0=90°， ∴.∠DBC=∠OCB,.OC∥DB. ∴.0G=√OA-AG=√(5m)-(4m)2=3m, PD⊥BD,.PD⊥CO .FG=OF-OG=5m-3m=2m. 又，OC为⊙O的半径，∴.PC为⊙O的切线 :∠AED=∠AGF=90°， ,∠ADB=∠AFG=90°-∠DAE, AG_4n=2, .tan∠ADB=tan∠AFG=FG-2m ,.tan∠ADB的值为2. (2)连接AE,如图所示，设OB=OC=r. ,PC=22BO=22r, .0P=r2+(2√2r)2=3r. :PB=10,3+r=10,即r=号，则P0= 2 2.解：(1)证明：连接OC,如图所示， OC∥DB,∴.△PCO∽△PDB, ,AC平分∠BAD,∴.∠DAC=∠CAO. 515 .OA=OC,∴.∠CAO=∠OCA, 品路品品D-品 22 .∠DAC=∠OCA,∴.ADOC. 3 ,'AD⊥DC,∴.CO⊥DC. ,AB是⊙O的直径，∴AE⊥BD, 26