3.4 直线与圆的位置关系（第3课时）（教学课件）数学青岛版九年级上册

3.4 直线与圆的位置关系 第3课时 青岛版九年级上册第3章——对圆的进一步认识 学习目标： 1.理解和掌握切线长定理； 2.初步学会用切线长定理进行计算与证明． 重点： 理解和掌握切线长定理． 难点： 初步学会用切线长定理进行计算与证明． 直线和圆有唯一一个公共点，叫做直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点。 切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 切线的概念 切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径。 一、课堂导入 同学们玩过空竹和悠悠球吗？在空竹和悠悠球的旋转的那一瞬间，你能从中抽象出什么样数学图形？ 思考： 过平面内一点P做⊙O的切线，有几种情况？分别可以做几条？ ❶点P在⊙O内 ❷点P在⊙O上 0条 1条 ❸点P在⊙O外 二、探究新知 过圆外一点可以引圆的几条切线呢？如何用尺规作图画出来呢？ O . A B P 两条 O A B P 如何用圆规和直尺作出这两条切线呢？ . 思考：已画出切线PA,PB，A,B为切点，则∠OAP=90°, 连接OP，可知A,B 除了在⊙O上，还在怎样的圆上? 做一做 O · P A B O 直径所对的圆周角是直角. 如图 ， 将三角尺的一条直角边过⊙O 外一点 P 及圆上的点 A， 另一条直角边过圆心 O， 然后作直线 PA， 则 PA 是⊙O 的切线. 用同样的方法可作出切线 PB. 你能说出 PA 和 PB 是⊙O 的切线的理由吗？ O . A B P O . A B P 解析：根据切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，可得： PA 即为⊙O的切线 OA为⊙O半径 PA ⊥ OA于A PB 即为⊙O的切线 OB为⊙O半径 PB ⊥ OA于A P 1.切线长的定义： 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫作切线长． A O ①切线是直线，不能度量. ②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． 2.切线长与切线的区别在哪里？ 切线长的定义 在透明纸上画出图 ， 设 PA， PB 是⊙O 的两条切线， A， B 是切点， 沿直线 OP将图形对折， 你发现了什么？ O . A B P PA、PB有怎样的数量关系？ PO与∠APB又有怎样的关系？ O . A B P 猜测：过圆外一点所作的圆的两条切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. PA=PB PO平分∠APB， 即∠APO= ∠BPO 该如何证明呢？ ∴ ∠PAO =∠PBO = 90°， 即△PAO和△PBO均为直角三角形. 证明：过圆外一点所作的圆的两条切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 下面我们来证明这个猜测是真的. 解：如图，连接OA，OB. ∵ PA，PB是⊙O的切线， ∴ Rt△PAO≌Rt△PBO. 又∵ OA=OB，OP=OP， ∴ PA=PB， ∠APO=∠BPO. 切线长定理 过圆外一点所画的圆的两条切线长相等。 几何语言： ∵PA、PB是⊙O的两条切线 ∴PA=PB. O . A B P 为证明线段相等、角相等，弧相等，垂直关系提供了新的方法。 1.PA、PB是☉O的两条切线，A、B为切点，直线OP交☉O于点D、E，交AB于C. （1）写出图中所有的垂直关系； OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP. （3）写出图中所有的全等三角形； △AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP. （4）写出图中所有的等腰三角形. △ABP △AOB （2）写出图中与∠OAC相等的角； ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC. B P O A C E D 定理拓展 B P O A 2.PA、PB是☉O的两条切线，A,B是切点，OA=3. （1）若AP=4,则OP= ; （2）若∠BPA=60 °,则OP= . 5 6 定理应用 C△PEF = PE + EF + PF 例：如图.已知PA、PB、EF分别与⊙O相切于A、B、C三点，PA=12cm,求△PEF的周长. = PE+CE+CF+ PF 分析：PA = PB CE = AE CF = BF PA PB = PE+AE+BF+ PF = + 24cm 解：∵PA,PB,EF是⊙O的切线 ∴PA=PB=12cm,CE=AE,CF=BF ∴C△PEF =PE + EF + PF =PE+CE+CF+PF =PE+AE+BF+BF =PA+PB =24cm 如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和⊙O分别相切于点L、M、N、P，求证： AD+BC=AB+CD。 证明：由切线长定理得: AL=AP，LB=MB，NC=MC，DN=DP ∴AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP 即AB+CD=AD+BC D L M N A B C O P 变式应用： 方法归纳 切线长问题辅助线添加方法 连接圆心和圆外一点. 连接两切点； 分别连接圆心和切点； . P B A O 1、如图，已知半圆O与四边形ABCD的边AD，AB，BC相切，切点分别为D，E，C. 设半圆O的半径为2，AB为5，四边形ABCD的周长是 . 解 ∵ AD、AE 分别与⊙O 相切， ∴ AD=AE. 同理，BE=BC. ∴ 四边形 ABCD 的周长 =AD+AE+EB+BC+DC =2AB+DC =2×5+2×2 =14. 三、课堂练习 2.如图，已知PA，PB 是⊙O的两条切线， 点A， B 为切点， 若OP=4，PA=2， ∠AOB的度数是 .   ∵ PA、PB 是⊙O 的切线， ∴ ∠APO=∠BPO，OA⊥AP，OB⊥BP. ∴ ∠AOP=∠BOP. 在 Rt△OAP 中，cos∠APO== ∴ ∠APO=30°. ∴ ∠AOP=60°. ∴ ∠AOB=2∠AOP=120°. 解 3. PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，直线OP交⊙O于点D，E，交AB于点C.如果PA=4cm，PD=2cm，求半径OA的长. 【解析】设OA=xcm； 在Rt△OAP中，OA=xcm，OP=OD+PD=（x+2）cm，PA=4cm, 由勾股定理，得 PA2+OA2=OP2， 即42+x2=(x+2)2, 整理，得x=3. 所以，半径OA的长为3cm. 4.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点为A、B,∠P= 50 °， 点C是⊙O上异于A、B的点，则∠ACB= . 65 °或115 ° B P O A 5.如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB＝8cm，则此光盘的直径是________cm. 分析：连接OE，OA，OB，根据切线长定理和切线性质可得∠OBA＝90°，∠OAE＝∠OAB＝∠EAC，求∠EAC即可求出∠OAB和∠BOA，进而求出OA，再根据勾股定理求出OB即可。 E C E C 解：如图，连接OE，OA，OB. ∵AE，AB都是⊙O的切线，切点分别是E，B， ∴∠OBA＝90°，∠OAE＝∠OAB＝ ∠BAE. ∵∠EAC＝60°，∴∠BAE＝120°， ∴∠OAB＝120°=60° ∴∠BOA＝30°,OA=16cm 由勾股定理的得OB=cm，即半径为cm， 则直径为16cm 一、切线长的概念 经过圆外一点作圆的切线， 这点和切点之间的线段的长， 叫作这点到圆的切线长。 二、切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 O . A B P 几何语言： ∵PA、PB是⊙O的两条切线 ，∴PA=PB，∠APO= ∠BPO. 四、知识总结 1.必做作业： ①课本P100拓展与延伸10.11 ②预习下一课时; 2.选做作业： P100探索与创新15 五、课后作业 感谢观看 $$