第二章一元二次函数、方程和不等式单元检测卷-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

【第二章 一元二次函数、方程和不等式】（19题型） 章末检测卷 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟 一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1.（23-24高一上·山东临沂·阶段练习）若，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2.（23-24高三上·辽宁·开学考试）已知，，且，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 3.（23-24高一上·山东济宁·阶段练习）如图在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．我们教材中利用该图作为一个说法的一个几何解释，这个说法正确的是（  ） A．如果,那么 B．如果,那么 C．对任意正实数和，有， 当且仅当时等号成立 D．对任意正实数和，有,当且仅当时等号成立 4.（23-24高一上·山东临沂·阶段练习）不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5.（23-24高一上·山东淄博·阶段练习）某种杂志原以每本元的价格销售，可以售出万本.根据市场调查，杂志的单价每提高元，销售量就减少本.设每本杂志的定价为元，要使得提价后的销售总收入不低于万元，则应满足（    ） A． B． C． D． 6.（23-24高一上·河南安阳·阶段练习）已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 7．（23-24高一上·山东·阶段练习）对于任意实数，，，，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 8.（23-24高一上·山东青岛·阶段练习）已知，且，则的最小值为（    ） A．9 B．10 C．11 D． 二．多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9.（23-24高一上·山东·阶段练习）已知，．则（    ） A． B． C．的最大值为24 D． 10.（23-24高一上·山东济宁·阶段练习）已知，且满足，则（ ） A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D． 11.（23-24高一上·山东青岛·期中）已知关于x的不等式，则（   ） A．若，该不等式的解集为 B．若，该不等式的解集为 C．若，该不等式的解集为或 D．若，该不等式的解集为R 三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12.（23-24高一上·山东聊城·期中）若关于x的不等式的解集是，则的值为 ． 13.（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为 ． 14.（23-24高一上·山东烟台·阶段练习）如图，在半径为4（单位：）的半圆形（为圆心）铁皮上截取一块矩形材料，其顶点，在直径上，顶点，在圆周上，则矩形面积的最大值为 （单位：）.    四．解答题（共5小题，满分77分） 15.（23-24高一上·山东潍坊·期中）解关于的一元二次不等式： 16.（23-24高一上·山东青岛·阶段练习）阅读材料： （1）若，且，则有 （2）若，则有． 请依据以上材料解答问题： 已知a，b，c是三角形的三边，求证：． 17.（23-24高三上·重庆·阶段练习）为了提高某商品的销售额，采取了“量大价优”“广告促销”等方法，提高其下某商品的销售额．市场调查发现，这种商品供不应求，生产出来都能销售完．且此商品的月销售量（万件）与广告促销费用（万元）满足：，该产品的单价与销售量之间的关系定为：万元，已知生产一万件该产品的成本为8万元，设该产品的利润为万元． (1)求与的函数关系式（利润=销售额-成本-广告促销费用） (2)当广告促销费用定为多少万元的时候，该产品的利润最大？最大利润为多少万元？． 18.（22-23高一上·山东菏泽·期中）已知二次函数． (1)若的解集为或，解关于x的不等式； (2)若不等式对恒成立，求的最大值． 19.（23-24高一上·山东淄博·阶段练习）对于二次函数，若存在，使得成立，则称为二次函数的不动点. (1)求二次函数的不动点； (2)若二次函数有两个不相等的不动点，且，求的取值范围以及的最小值； (3)若对任意实数，二次函数恒有不动点，求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【第二章 一元二次函数、方程和不等式】（19题型） 章末检测卷 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟 一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1.（23-24高一上·山东临沂·阶段练习）若，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据的取值情况判断各个选项的对错即可得到答案. 【详解】选项A，若，则结论错误，故选项A错误； 选项B，根据糖水不等式可知，，故选项B错误； 选项C，当时，，故选项C错误； 选项D，可知，，故选项D正确. 故选：D 2.（23-24高三上·辽宁·开学考试）已知，，且，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式，即可乘积的最大值. 【详解】，解得，当且仅当时等号成立， 即，时，等号成立，所以的最大值为. 故选：C 3.（23-24高一上·山东济宁·阶段练习）如图在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．我们教材中利用该图作为一个说法的一个几何解释，这个说法正确的是（  ） A．如果,那么 B．如果,那么 C．对任意正实数和，有， 当且仅当时等号成立 D．对任意正实数和，有,当且仅当时等号成立 【答案】C 【分析】观察图形,设直角三角形的长直角边为,短直角边为,由4个三角形的面积和与大正方形的面积的大小关系,得到,并判明何时取等即可 【详解】通过观察,可以发现这个图中的四个直角三角形是全等的,设直角三角形的长直角边为,短直角边为,如图,整个大正方形的面积大于等于4个小三角形的面积和,即,即.当时,中间空白的正方形消失,即整个大正形与4个小三角形重合.其他选项通过该图无法证明, 故选C 【点睛】本题考查均值定理的几何法证明,考查数形结合,属于基础题 4.（23-24高一上·山东临沂·阶段练习）不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和两种情况讨论即可. 【详解】当时，恒成立， 当时，则，解得， 综上所述，. 故选：C. 5.（23-24高一上·山东淄博·阶段练习）某种杂志原以每本元的价格销售，可以售出万本.根据市场调查，杂志的单价每提高元，销售量就减少本.设每本杂志的定价为元，要使得提价后的销售总收入不低于万元，则应满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设提价后杂志的定价设为元，则提价后的销售量为：万本，根据销售的总收入不低于万元，列出不等式求解即可. 【详解】设提价后杂志的定价设为元，则提价后的销售量为：万本， 因为销售的总收入不低于万元， 列不等式为：， 即，即， 故选：A. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关利用不等式解决实际问题，解题思路如下： （1）在解题的过程中，读懂题意； （2）设提价后杂志的定价设为元，则提价后的销售量为：万本； （3）利用销售收入等于销售价格乘以销售量，根据题意，列出不等式求解即可. 6.（23-24高一上·河南安阳·阶段练习）已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】C 【分析】先利用题给条件求得三者正负号和三者间的关系，进而否定选项A和选项B，求得不等式的解集判断选项C；求得不等式的解集判断选项D. 【详解】关于的不等式的解集为 则且关于的方程的根为，， 则，解之得， 由，可得选项 A判断错误； ，故选项 B判断错误； 不等式可化为，解之得，故选项 C判断正确； 不等式可化为，即， 解之得或，故选项 D判断错误. 故选：C 7．（23-24高一上·山东·阶段练习）对于任意实数，，，，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【分析】由不等式的性质可判断B；特值法可判断ACD. 【详解】对于A，取，满足，但，故A错误； 对于B，因为，所以．又因为，所以，故B正确； 对于C，若，，取，但，故C错误； 对于D，若，，取，， ，故D错误. 故选：B. 8.（23-24高一上·山东青岛·阶段练习）已知，且，则的最小值为（    ） A．9 B．10 C．11 D． 【答案】A 【分析】利用“乘1法”将问题转化为求的最小值，然后展开利用基本不等式求解． 【详解】，，又，且， ， 当且仅当，解得，时等号成立， 故的最小值为9． 故选：A． 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 二．多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9.（23-24高一上·山东·阶段练习）已知，．则（    ） A． B． C．的最大值为24 D． 【答案】AD 【分析】根据不等式的性质逐一判断即可. 【详解】对于A，因为，， 所以， 即，即，故A正确； 对于B，由，可得， 又，则， 即，即，故B错误； 设， 则，解得，， 因为，，所以，D正确； 若的最大值为24，又，， 则，，此时，C错误． 故选：AD. 10.（23-24高一上·山东济宁·阶段练习）已知，且满足，则（ ） A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D． 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式与不等式的性质即可得解. 【详解】对于D，因为，， 所以，解得，则，故D正确； 对于A，， 当且仅当，即时，等号成立，故A正确； 对于B，因为， 当且仅当时，等号成立，所以有最大值，故B错误； 对于C，因为， 当且仅当时，等号成立，故C正确. 故选：ACD. 11.（23-24高一上·山东青岛·期中）已知关于x的不等式，则（   ） A．若，该不等式的解集为 B．若，该不等式的解集为 C．若，该不等式的解集为或 D．若，该不等式的解集为R 【答案】BD 【分析】对于选项A，当时，该不等式为一元一次不等式，直接求解可判断选项A错误；对于选项B、C、D，该不等式为一元二次不等式，借助二次函数、一元二次方程和一元二次不等式之间的关系可以求解判断. 【详解】对于选项A，当时，不等式为，解得， 所以不等式的解集为，故选项A错误； 对于选项B，当时，有， 方程的两个不相等实数根分别为，，且， 所以不等式的解集为，故选项B正确； 对于选项C，当时，有， 方程的两个不相等实数根分别为，，且， 所以不等式的解集为或，故选项C错误； 对于选项D，当时，有，所以不等式的解集为R，故选项D正确. 故选：BD. 三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12.（23-24高一上·山东聊城·期中）若关于x的不等式的解集是，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意，转化为，且和是的两根，列出方程组，求得的值，即可求解. 【详解】由的解集是， 可得，且和是的两根， 则且，即且， 解得，所以． 故答案为：. 13.（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为 ． 【答案】12 【分析】算得，直接由基本不等式即可求解. 【详解】依题意， 所以 当且仅当，时等号成立． 故答案为：12． 14.（23-24高一上·山东烟台·阶段练习）如图，在半径为4（单位：）的半圆形（为圆心）铁皮上截取一块矩形材料，其顶点，在直径上，顶点，在圆周上，则矩形面积的最大值为 （单位：）.    【答案】 【分析】连接OC，设，建立面积函数，利用基本不等式求解即可. 【详解】如图：    连接OC，设，则， ，所以矩形的面积为， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以矩形面积的最大值为 . 故答案为：. 四．解答题（共5小题，满分77分） 15.（23-24高一上·山东潍坊·期中）解关于的一元二次不等式： 【答案】答案见解析 【分析】含参讨论一元二次不等式的解集即可. 【详解】原不等式可化为， 若，则； 若，则或； 若，则或； 综上所述，时，不等式解集为，时，不等式解集为{或}， 时，不等式解集为{或}. 16.（23-24高一上·山东青岛·阶段练习）阅读材料： （1）若，且，则有 （2）若，则有． 请依据以上材料解答问题： 已知a，b，c是三角形的三边，求证：． 【答案】证明见解析. 【分析】利用三角形两边的和大于第三边，结合给定材料推理作答. 【详解】因为a，b，c是三角形的三边，则，由材料（1）知，， 同理，，由材料（2）得： ， 所以原不等式成立. 17.（23-24高三上·重庆·阶段练习）为了提高某商品的销售额，采取了“量大价优”“广告促销”等方法，提高其下某商品的销售额．市场调查发现，这种商品供不应求，生产出来都能销售完．且此商品的月销售量（万件）与广告促销费用（万元）满足：，该产品的单价与销售量之间的关系定为：万元，已知生产一万件该产品的成本为8万元，设该产品的利润为万元． (1)求与的函数关系式（利润=销售额-成本-广告促销费用） (2)当广告促销费用定为多少万元的时候，该产品的利润最大？最大利润为多少万元？． 【答案】(1) (2)当广告促销费用定为2.5万元的时候，该产品利润最大，为15.5万元 【分析】（1）根据已知条件及关系式即可求解； （2）由（1）的结论及基本不等式即可求解. 【详解】（1）由题意可知. （2）， 当且仅当时取等， 所以当广告促销费用定为2.5万元的时候，该产品利润最大，为15.5万元 18.（22-23高一上·山东菏泽·期中）已知二次函数． (1)若的解集为或，解关于x的不等式； (2)若不等式对恒成立，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，且方程的解为，利用韦达定理求得，再根据分式不等式的解法即可得解； （2）恒成立，即恒成立，则，求得的关系，再结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为的解集为或， 所以，且方程的解为， 则，， ∴，， 由，得，即， 得，即，解得， 所以不等式的解集为； （2）因为恒成立，即恒成立， 所以， 得， 所以， 所以， 令， 因为， 所以，从而， 所以， 令 当时，； 当时，，当且仅当即时，取等号， 所以， 综上所述的最大值为. 19.（23-24高一上·山东淄博·阶段练习）对于二次函数，若存在，使得成立，则称为二次函数的不动点. (1)求二次函数的不动点； (2)若二次函数有两个不相等的不动点，且，求的取值范围以及的最小值； (3)若对任意实数，二次函数恒有不动点，求的取值范围. 【答案】(1)和 (2)； (3) 【分析】（1）由不动点定义建立方程，求解即可； （2）由函数有两个不相等的不动点，转化为方程，再由二次方程根的分布解得的范围，再将式子化简变形整理为的形式，韦达定理代入，变形转化为，最后根据基本不等式求最值； （3）对任意实数，二次函数恒有不动点，转化为方程恒有解，即对任意实数，其判别式大于等于零恒成立，得到关于的不等式，求解即可. 【详解】（1）由题意知：， 即，解得， 所以不动点为和3. （2）依题意，有两个不相等的正实数根， 即方程有两个不相等的正实数根， ， 则，解得， 所以 ， 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为8. （3）由于函数恒有不动点， 由， 得， 即方程恒有解. 所以，即， 又因为是任意实数， 所以关于的二次方程的判别式， 即，解得， 所以的取值范围是 学科网（北京）股份有限公司 $$