3.2 基本不等式（六大题型）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（苏教版2019必修第一册）

3.2 基本不等式 课程标准 学习目标 1、理解基本不等式的内容及证明. 2、熟练掌握基本不等式及变形的应用. 3、会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 4、能够运用基本不等式解决生活中的应用问题. 1、数学建模：能够运用基本不等式解决生活中的应用问题. 2、逻辑推理：熟练掌握基本不等式及变形的应用. 3、数学运算：会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 4、直观想象：运用图像解释基本不等式. 知识点01 基本不等式 1、对公式及的理解． （1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”． 2、由公式和可以引申出常用的常用结论 ①（同号）； ②（异号）； ③或 知识点诠释： 可以变形为：，可以变形为：． 【即学即练1】（2023·全国·高一专题练习）不等式中，等号成立的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由基本不等式可知，当且仅当， 即时等号成立， 故选：. 知识点02 基本不等式的证明 方法一：几何面积法 如图，在正方形中有四个全等的直角三角形． 设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为．这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为．由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：．当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有． 得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”） 特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得： 如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）． 通常我们把上式写作：如果，，，（当且仅当时取等号“=”） 方法二：代数法 ∵， 当时，； 当时，． 所以，（当且仅当时取等号“=”）． 知识点诠释： 特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得： 如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）． 通常我们把上式写作： 如果，，，（当且仅当时取等号“=”）． 【即学即练2】（2023·全国·高一专题练习）已知，，，求证：. 【解析】∵，，， ∴， 当且仅当，即时，等号成立， 同理：，， 当且仅当，时，等号成立， 以上三式相加得：， 当且当且仅当时，等号成立， 所以. 知识点03 基本不等式的几何意义 如图，是圆的直径，点是上的一点，，，过点作交圆于点D，连接、． 易证，那么，即． 这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立． 知识点诠释： 1、在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数．因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 2、如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项． 【即学即练3】（2023·全国·高一专题练习）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图知：， 在中，， 所以，即， 故选：C 知识点04 用基本不等式求最大（小）值 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等． ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数； ② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值． 知识点诠释： 1、两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数． 2、两个不等式：与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解． 3、基本不等式的功能在于“和积互化”．若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值． 4、利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件： ①各项都是正数； ②和（或积）为定值； ③各项能取得相等的值． 5、基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行： ①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； ②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； ③在定义域内，求出函数的最大或最小值； ④写出正确答案． 【即学即练4】（2023·陕西西安·高一校考期中）已知，且满足，求的最小值是 . 【答案】18 【解析】， 当且仅当，即， 联立，得， 所以的最小值是. 故答案为： 题型一：对基本不等式的理解及简单应用 【典例1-1】（2024·高一·河南·阶段练习）不等式中，等号成立的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由基本不等式可知，当且仅当， 即时等号成立， 故选：. 【典例1-2】（2024·高一·福建宁德·阶段练习）《几何原本》卷2的几何代数法（几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明；如图所示图形，点、在圆上，点在直径上，且，，于点，设，，该图形完成的无字证明.则图中表示，的调和平均数、平方平均数的线段分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】由图形可知：，， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 因为， 所以， 则，即， 所以图中表示，的调和平均数、平方平均数的线段分别是，， 故选：C 【方法技巧与总结】 应用基本不等式时的三个关注点 （1）一正数：指式子中的a，b均为正数． （2）二定值：只有ab为定值时才能应用基本不等式，因此有时需要构造定值． （3）三相等：即“=”必须成立，求出的定值才是要求的最值． 【变式1-1】（多选题）（2024·高三·全国·专题练习）下列推导过程，正确的为（    ） A．因为a，b为正实数，所以≥2＝2 B．因为x∈R，所以1 C．因为a＜0，所以+a≥2＝4 D．因为，所以 【答案】AD 【解析】对于A.因为a，b为正实数，所以，所以≥2＝2.故A正确； 对于B.当x=0，有1.故B错误； 对于C.当a=-1时，左边+a=-5，右边2=4，所以+a≥2＝4不成立，故C错误. 对于D. 因为，， 所以.故D正确. 故选：AD. 【变式1-2】（2024·高二·宁夏·期中）下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是（    ） 已知，求的最小值；解答过程：； 求函数的最小值；解答过程：可化得； 设，求的最小值；解答过程：， 当且仅当即时等号成立，把代入得最小值为4． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【解析】对：基本不等式适用于两个正数，当，均为负值， 此时， 当且仅当，即时等号成立，故的用法有误，故错误； 对：， 当且仅当，即时取等号， 但，则等号取不到，故的用法有误； 对：，，， 当且仅当，即时取等号，故的用法有误； 故使用正确的个数是0个， 故选：. 【变式1-3】（2024·高一·全国·课后作业）下面四个推导过程正确的有（    ） A．若a，b为正实数，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【解析】A中，∵a，b为正实数，∴，则， 当且仅当时等号成立，故A正确； B中，∵，当时，， 当且仅当，即时等号成立，故B不正确； C中，由，得，则， 因为，所以， 当且仅当，即时等号成立，故C不正确； D中，对任意的，都有，即， 当且仅当时等号成立，所以D不正确． 故选：A 【变式1-4】（2024·高一·江苏南京·阶段练习）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．下图是我国古代数学家赵爽创作的弦图，弦图由四个全等的直角三角形与一个小正方形（边长可以为0）拼成的一个大正方形．若直角三角形的直角边长分别为和，则该图形可以完成的无字证明为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为直角三角形的直角边长分别为和，所以大正方形的面积为 由图可知大正方形的面积大于等于4个直角三角形的面积和， 所以（） 故选：B 题型二：利用基本不等式比较大小 【典例2-1】设，为正数，则，，，的大小关系是 ． 【答案】 【解析】∵， ∴， ∴， 即， ∴， 当且仅当时等号成立， ∵， 当且仅当时等号成立， 又，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立 故答案为： 【典例2-2】（2024·高一·上海·课后作业）若、、、、、是正实数，且，，则有 ．（比较大小） 【答案】≤ 【解析】．当且仅当时等号成立， 故, 故答案为： 【方法技巧与总结】 利用基本不等式比较大小 在利用基本不等式比较大小时，应创设应用基本不等式的使用条件，合理地拆项、配凑或变形．在拆项、配凑或变形的过程中，首先要考虑基本不等式使用的条件，其次要明确基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或者将“积式”转化为“和式”的放缩功能． 【变式2-1】（多选题）（2024·高一·广东深圳·期中）若，且，则下列不等式中，恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】对于A，，不等式成立，A正确； 对于B，由于，且，当时，，而，不等式不成立，B错误； 对于C，由于，且，当时，，而，不等式不成立，C错误； 对于D，由，且，得，则，当且仅当时取等号，D正确. 故选：AD 【变式2-2】（多选题）（2024·高一·湖南长沙·阶段练习）小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b（），其全程的平均时速为v，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】设甲乙两地相距， 则平均速度， 故A错误，B正确； 又∵， ∴， 根据基本不等式及其取等号的条件可得： ， ∴， 即， 故C正确，D错误； 故选：BC． 【变式2-3】（2024·高一·上海·课堂例题）若，，则、、、中最大的一个是 ． 【答案】 【解析】，，由基本不等式得；； 又因为，， 所以， 故， 所以最大的一个是 故答案为： 【变式2-4】（2024·高一·江苏·专题练习）比较大小： 2(填“”“”“”或“”)． 【答案】 【解析】因为，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以. 故答案为：. 【变式2-5】（2024·高一·全国·课后作业）若，，，则，，2ab，中最大的一个是 ． 【答案】/ 【解析】，，，则，，， 综上所述：最大的一个是. 故答案为： 题型三：利用基本不等式证明不等式 【典例3-1】已知a、b是正数，求证：． 【解析】因为a、b是正数， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以. 【典例3-2】（2024·高一·江苏南京·期中）（1）设a，b，c，d为实数，求证：； （2）已知，求证：． 【解析】（1）因为 ， 当且仅当时，等号成立， 所以， 所以； （2）因为，当且仅当，即时取等号， 所以，当且仅当，即时取等号， 因为， 综上． 【方法技巧与总结】 利用基本不等式证明不等式时应注意的问题 （1）注意基本不等式成立的条件； （2）多次使用基本不等式，要注意等号能否成立； （3）对不能直接使用基本不等式证明的可重新组合，形成基本不等式模型，再使用． 【变式3-1】（2024·高一·上海·期中）已知a、b、c、，证明下列不等式，并指出等号成立的条件： (1)； (2)． 【解析】（1）因为， ， ， 所以成立； 当且仅当时，等号成立； （2）， ． 所以． 当且仅当时，等号成立． 【变式3-2】（2024·高一·上海·课后作业）（1）已知、都是正数，求证：； （2）已知，，，求证：． 【解析】证明：（1）∵、都是正数， ∴，，， ∴， 当且仅当时，等号成立． （2）∵，，， ∴，，， ∴， 故，当且仅当， 即时等号成立． 【变式3-3】（2024·高一·云南曲靖·期末）已知，，且，证明： (1)； (2)． 【解析】（1）， 因为，，，则，当且仅当时等号成立， 所以； （2） ， 由（1）有，有，，有，， 有，当且仅当时等号成立， 所以． 【变式3-4】（2024·青海·一模）已知正数满足．求证： (1)； (2)． 【解析】（1）证明：因为正数满足， 由，当且仅当时，等号成立， 可得， 即，所以，当且仅当时，等号成立. （2）证明：由 ， 当且仅当，即，等号成立. 所以. 题型四：利用基本不等式求最值 命题方向1：直接法求最值 【典例4-1】（2024·高一·河南郑州·阶段练习）已知， 且， 则的最大值为 ． 【答案】144 【解析】因为，由基本不等式得， 故，当且仅当时，等号成立． 故的最大值为 故答案为：144 【典例4-2】已知，，且，则xy的最大值为 ． 【答案】8 【解析】因为，，且， 可得，当且仅当，即，时，等号成立， 所以xy的最大值为8． 故答案为：8. 【变式4-1】（2024·高一·云南楚雄·期末）若实数满足，则的最大值为 ． 【答案】20 【解析】根据题意可得，得，当且仅当或时，等号成立，故的最大值为20． 故答案为： 【变式4-2】（2024·高二·浙江宁波·期末）已知正实数x，y满足，则xy的最大值为 ． 【答案】/0.5 【解析】正实数x，y满足，所以，解得. 当且仅当，即时取等号，所以的最大值为． 故答案为：． 【变式4-3】（2024·高一·河北保定·开学考试）若正数满足，则的最大值为 ． 【答案】10 【解析】因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，故的最大值为10． 故答案为：10 【变式4-4】（2024·高一·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知，的最小值为 . 【答案】1 【解析】，当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：1 命题方向2：常规凑配法求最值 【典例5-1】（2024·高一·上海·课前预习）设、满足，且、都是正数，则的最大值为 ． 【答案】25 【解析】由于、都是正数，故，当且仅当时等号成立， 故的最大值为25， 故答案为：25 【典例5-2】（2024·高一·上海·随堂练习）已知，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】， 当且仅当， 即时等号成立， 故答案为：． 【变式5-1】（2024·高二·安徽六安·期末）已知，则的最大值为 ． 【答案】2 【解析】由，得，当且仅当时取等号， 即，解得， 所以的最大值为2. 故答案为：2 【变式5-2】（2024·河北秦皇岛·三模）设，则的最大值为 . 【答案】2 【解析】设，则，， 当且仅当，时，等号成立， 故. 令，解得，， 所以，当，时，等号成立. 故答案为：2. 【变式5-3】（2024·高一·福建福州·阶段练习）已知实数，则函数的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【解析】实数， ， 当且仅当，即时等号成立， 函数的最小值为6. 故选：B. 【变式5-4】（2024·高一·湖北·阶段练习）已知，且，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．14 D．16 【答案】A 【解析】因为，所以.因为，所以，所以，即， 当且仅当时，等号成立，故的最小值是6. 故选：A 【变式5-5】（2024·高二·浙江绍兴·期中）若 ，则有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 【答案】A 【解析】因，则， 于是得，当且仅当，即时取“=”， 所以当时，有最大值. 故选：A 命题方向3：消参法求最值 【典例6-1】（2024·新疆·高一校联考期末）设，则的最小值为（    ） A． B． C． D．6 【答案】A 【解析】由题意，所以，所以 ， 当且仅当，即时等号成立． 故选：A 【典例6-2】（2024·全国·高一专题练习）已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】因为，所以， 所以， 当且仅当时，等号成立. 故选：. 【变式6-1】（2024·全国·高一专题练习）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 由，得， 所以， 当且仅当时，等号成立. 故的最小值为. 故选：D 【变式6-2】（2024·高一·全国·课后作业）若正实数满足，则的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【解析】由为正实数，且，得， 则， 当且仅当，即时，取最小值9. 故选：C. 命题方向4：换元求最值 【典例7-1】（2024·全国·高一专题练习）设x，y是正实数，且，则的最大值是 . 【答案】 【解析】令，则， 可得，即， 且， ∵， 当且仅当，即时，等号成立， 可得， ∴， 即的最大值是. 故答案为：. 【典例7-2】（2024·全国·高一专题练习）已知正数、满足，则的最小值为 . 【答案】 【解析】正数、满足，则 则， 又时，，则， 则的最小值为. 故答案为： 【变式7-1】（2024·浙江·高二校联考阶段练习）若实数，满足，则的最小值为 ． 【答案】/ 【解析】因，则， 即， 令，则， 所以，， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故的最小值为. 故答案为： 命题方向5：“1”的代换求最值 【典例8-1】（2024·高一·福建南平·期中）已知，，，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【解析】因为，可得， 且，，可知， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为1. 故选：B. 【典例8-2】（2024·高一·重庆沙坪坝·期中）已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【解析】因为，为正实数，且，所以, 当且仅当时取等号. 故选：C 【变式8-1】（2024·高二·河北张家口·期末）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，则， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D. 【变式8-2】（2024·高一·全国·课后作业）已知，且，则的最小值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】B 【解析】因为,且, 所以, 当且仅当,即时取等号，因此的最小值为6． 故选：B. 【变式8-3】（2024·高二·安徽·阶段练习）若正实数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，，，， ， 当且仅当，即，时等号成立， . 故选：A. 【变式8-4】（2024·高一·陕西榆林·阶段练习）若正数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【解析】由正数，满足， 得， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为． 故选：B 【变式8-5】（2024·河南信阳·模拟预测），则的最小值为（    ） A． B． C． D．6 【答案】C 【解析】，则，且, 整理得到， 所以，当且仅当，即时取等号. 即的最小值为. 故选：C. 【变式8-6】（2024·高一·重庆沙坪坝·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，因为，故， 则，当且仅当，也即取得等号， 故的最小值为. 故选：D. 命题方向6：△法 【典例9-1】（2024·湖南衡阳·衡阳市八中校考模拟预测）已知实数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则， 方程可化为， 整理得，则满足， 解得，所以，即， 所以的最大值为. 故选：B. 【典例9-2】（2024·全国·高三专题练习）已知，满足则的最小值是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，设，代入方程得：， 所以，即的最小值为：. 故选：D. 命题方向7：条件等式求最值 【典例10-1】（2024·高一·山东济宁·阶段练习）设正实数x，y，z满足，则当取得最大值时，的值为 ． 【答案】3 【解析】∵， ∴， ∵x，y，z均为正实数， ∴ 当且仅当，即，此时时取“=”， 故此时. 故答案为：3． 【典例10-2】（2024·全国·高一专题练习）已知正数x，y满足，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】，仅当时等号成立． 所以目标式最大值为. 故答案为： 【变式10-1】（2024·全国·高一专题练习）已知，，，则的最大值为 ． 【答案】/ 【解析】由已知，，， 则， 而，当且仅当时等号成立， 故的最大值为. 故答案为： . 【变式10-2】（2024·全国·高一专题练习）若，且，则的最大值为 . 【答案】/ 【解析】由，且可得， 则， 当且仅当，结合，即时取等号， 即的最大值为， 故答案为： 【方法技巧与总结】 利用基本不等式求代数式的最值 （1）利用基本不等式求代数式的最值，要通过恒等变形以及配凑，使“和”或“积”为定值，从而求得代数式的最大值或最小值． （2）若是求和式的最小值，通常化（或利用）积为定值；若是求积的最大值，通常化（或利用）和为定值，解答技巧都是恰当变形、合理拆分项或配凑因式． 题型五：利用基本不等式求解恒成立问题 【典例11-1】（2024·高一·江苏徐州·阶段练习）若对任意，恒成立，则a的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由于，则令，． 则原问题转化为任意，恒成立，即恒成立， 即恒成立. 由于，当且仅当，即取最值. 故，. 由于恒成立，，故a的最小值为. 故选：C. 【典例11-2】（2024·高一·山东济宁·阶段练习）设，若恒成立，则k的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【解析】由于，则得到（当且仅当，即时，取等号）； 所以 又由恒成立，故，则k的最大值为8. 故选：D． 【方法技巧与总结】 利用基本不等式求解恒成立问题，通常通过分离参数转化为利用基本不等式求最值 【变式11-1】（2024·高一·重庆·期末）当，且满足时，有恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为即且， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 因为不等式恒成立，所以， 即，解得，故的取值范围为. 故选：A 【变式11-2】（2024·高一·浙江丽水·阶段练习）已知不等式对满足的所有正实数都成立，则正实数的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【解析】因为 ，当且仅当时，等号成立， 所以， 因为，为正实数且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，即， 因为对满足的所有正实数，都成立， 所以，即，整理得， 解得或，由为正数得， 所以正数的最小值为. 故选：B. 【变式11-3】（2024·高二·湖南·期中）已知实数，且满足，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．9 B．12 C．16 D．25 【答案】D 【解析】， 当且仅当，即，时，等号成立. 因不等式恒成立，只需， 因此，故实数的最大值为25. 故选：D 【变式11-4】（2024·高一·湖北武汉·阶段练习）若对任意实数，，不等式恒成立，则实数a的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对任意实数，，不等式恒成立， 则对于任意实数，恒成立， 则只需求的最大值即可，， 设，则， 再设，则 ， 当且仅当，即时取得“＝”． 所以，即实数a的最小值为． 故选：D． 【变式11-5】（2024·高一·山东泰安·阶段练习）设，且不等式恒成立，则正实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知，则， 当且仅当，即，等号成立； 由题意可得，解得. 故选：C. 题型六：基本不等式在实际问题中的应用 【典例12-1】（2024·高一·河北石家庄·阶段练习）如图，公园想建一块面积为144平方米的矩形草地，一边靠墙，另外三边用铁丝网围住，现有44米长的铁丝网可供使用（铁丝网可以剩余），若利用x米墙，求最少需要多少米铁丝网． 【解析】由题意，知矩形草地长米，则宽为米， ∴矩形草地周长为， ∵且， ∴解得：， 由基本不等式知， 当且仅当，即米时等号成立， 则米. ∴最少需要米铁丝网. 【典例12-2】（2024·高一·上海徐汇·期中）某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4800，深度为3m．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？ 【解析】设池底的一边长为，则另一边长为，总造价为元， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当水池设计成底面边长为40m的正方形时，总造价最低，最低为198400元． 【方法技巧与总结】 利用基本不等式解决实际问题的步骤 解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识（函数及不等式性质等）解决问题．用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行： （1）先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数． （2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题． （3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值． （4）正确写出答案． 【变式12-1】（2024·高一·全国·随堂练习）某工厂拟造一座平面图（如图）为长方形且面积为的三级污水处理池．由于地形限制，该处理池的长、宽都不能超过16 m，且高度一定．如果四周池壁的造价为400元/，中间两道隔墙的造价为248元/，池底造价为80元/，那么如何设计该处理池的长和宽，才能使总造价最低？（池壁的厚度忽略不计）      【解析】设处理池的长和宽分别为，，高为，总造价为，则，， ， 当且仅当，又，即，时取到等号， 故长为m，宽为m时总造价最低． 【变式12-2】（2024·高一·江苏扬州·阶段练习）已知、、、为正实数，利用平均不等式证明（1）（2）并指出等号成立条件，然后解（3）中的实际问题． (1)请根据基本不等式，证明：； (2)请利用（1）的结论，证明：； (3)如图，将边长为米的正方形硬纸板，在它的四个角各减去一个小正方形后，折成一个无盖纸盒．如果要使制作的盒子容积最大，那么剪去的小正方形的边长应为多少米? 【解析】（1）证明：因为，，当且仅当，时等号成立, 所以当且仅当，时等号成立. 所以，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立. （2）由于，当且仅当时等号成立， 令, 得， 即，故. 所以，当且仅当时等号成立. （3）做成的长方体的底面是一个边长为的正方形，高为. 所以. 由（2）中已证的不等式，可知， 当且仅当时等号成立，当且仅当时等号成立. 所以，因此， 综上所述，当米，长方体盒子的容积取到最大值立方米. 【变式12-3】（2024·高一·安徽淮北·期中）某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x元，朱古力蜂果蛋糕单位为y元，现有两种购买方案： 方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b个，花费记为; 方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a个，花费记为． （其中） (1)试问哪种购买方案花费更少？请说明理由； (2)若a，b，x，y同时满足关系，求这两种购买方案花费的差值S最小值（注：差值花费较大值-花费较小值）． 【解析】（1）方案一的总费用为（元）； 方案二的总费用为（元）， 由， 因为，可得，所以， 即，所以，所以采用方案二，花费更少. （2）由（1）可知， 令，则， 所以，当时，即时，等号成立， 又因为，可得， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以差的最小值为，当且仅当时，等号成立， 所以两种方案花费的差值最小为24元. 【变式12-4】（2024·高一·贵州·阶段练习）某工厂生产某种产品，其生产的总成本（万元）年产量（吨）之间的函数关系可近似的表示为已知此工厂的年产量最小为吨，最大为吨． (1)年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低？并求出最低平均成本； (2)若每吨产品的平均出厂价为万元，且产品全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润？并求出最大利润． 【解析】（1）由题意可得，， 因为， 当且仅当时，即时等号成立，符合题意. 所以当年产量为吨时，平均成本最低为万元． （2）设利润为，则， 又， 当时，． 所以当年产量为吨时，最大利润为万元． 【变式12-5】（2024·高一·浙江宁波·自主招生）对于任意正实数 ， 仅当 时，等号成立． 结论： ． 若 为定值，仅当 时， 有最小值 ． 根据上述内容，回答下列问题： (1)初步探究： 若 ，仅当 ___时，有 最小值___； (2)变式探究： 对于函数 ，当 取何值时，函数 的值最小？ 最小值是多少？ (3)拓展应用：疫情期间、为了解决疑似人员的临隔离问题． 高速公路榆测站入口处， 检测人员利用检测站的一面墙 (墙的长度不限)， 用 63 米长的钢丝网围成了 9 间相同的长方形隔离房， 如图． 设每间离房的面积为 (米 )． 问： 每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积 最大？ 最大面积是多少？ 【解析】（1）,当且仅当时取得最小值. （2）, 当且仅当时，. （3）设每间隔离房的长、宽分别为, 由题意可知, 当且仅当时，. 1．（2024·高一·河北保定·期末）已知为正实数且，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【解析】因为为正实数且， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故选：D. 2．（2024·高一·全国·课后作业）若，则有（    ） A．最小值0 B．最大值2 C．最大值 D．不能确定 【答案】C 【解析】由基本不等式，得， 当且仅当，即时等号成立， 故有最大值，故C正确，BD错误； 令，解得或， 又，所以取不到函数值0，故A错误. 故选：C. 3．（2024·高三·陕西榆林·阶段练习）已知，，且，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【解析】因为， 所以， 所以，所以， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故选：C. 4．（2024·高一·山西朔州·阶段练习）已知，，满足，则下列结论正确的是（    ） A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最大值 【答案】A 【解析】因为，，所以，所以由得， 解得，，当且仅当时等号成立， 所以有最小值，排除CD； 因为，，所以，所以，解得， 当且仅当时等号成立，所以有最小值，故A正确，B错误； 故选：A. 5．（2024·高三·江西·开学考试）已知为正实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，则， 由于， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为， 故选：C 6．（2024·高一·上海·随堂练习）已知实数．满足且，则下列不等式关系一定正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为且， 所以，， 对于A ，因为，，所以，故A错误； 对于B，， 因为，， 所以， 又因为， 所以， 即，故B错误； 对于C，因为， 所以， 所以，当且仅当时等号成立， 所以，故C正确； 对于D，因为， 所以， 又因为， 所以，故D错误. 故选：C. 7．（2024·高一·吉林延边·阶段练习）已知，，且．若恒成立，则实数的最大值是（ ） A．4 B．8 C．3 D．6 【答案】A 【解析】由，则 ， 当且仅当，即，时，等号成立. 故选：A. 8．（2024·高二·福建南平·期末）以max M表示数集M中最大的数．若，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C．3 D．2 【答案】D 【解析】设，则.显然． ，当且仅当取得等号. ，当且仅当取得等号. 两式相乘，即，则. 此时，前面都要成立，则，，则. 的最小值为2,当且仅当取得最小值. 故选：D. 9．（多选题）（2024·高一·安徽淮北·期中）已知正数x，y满足，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】由，得， 对于A，，当且仅当时取等号，解得，A错误； 对于B，， 当且仅当，即，B错误； 对于C，， 当且仅当，即时取等号，C正确； 对于D，由选项A知，，， 当且仅当，即时取等号，D正确． 故选：CD 10．（多选题）（2024·高一·江苏南通·开学考试）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】对于A，因为，，且， 所以，即，当且仅当时等号成立，故A错误； 对于B，根据A可知，，当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，，当且仅当时等号成立，故C正确． 对于D，要证明，只需要证明，由于，则只需要证明，只需证明， 由于，当且仅当时等号成立，此时，故等号不能取到，故，即，故D正确. 故选：BCD 11．（多选题）（2024·高一·江苏南通·阶段练习）若a， b均为正数，且满足，则（    ） A．ab的最大值为2 B．的最小值为4 C．的最小值是4 D．的最小值为 【答案】ACD 【解析】对于 A：，b均为正数，且满足， ，解得，当且仅当时取等号， 所以ab的最大值为2，故A正确； 对于B，，，则，当且仅当时取等号， ，当时等式不成立，则等号取不到， 则的最小值不是4，故B不正确； 对于C：，b均为正数，且满足， ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是4，故C正确； 对于D：，b均为正数，且满足，则， 又，解得， 则， 当且仅当时取等号，所以的最小值为，故D正确． 故选：ACD. 12．（2024·高一·陕西西安·开学考试）已知正实数，满足，则的最小值为 . 【答案】 【解析】由已知，所以， 所以， 当且仅当时等号成立， 又，所以时取最小值． 故答案为： 13．（2024·高一·广东梅州·开学考试）已知，且，则的最小值是 ． 【答案】 【解析】因为，，且，可得， 所以(当且仅当时，等号成立)； 所以的最小值为； 故答案为： 14．（2024·高一·浙江宁波·专题练习）已知正实数 满足 ，则 的最小值为 . 【答案】 【解析】正实数且得， 所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 的最小值为. 故答案为： 15．（2024·高一·辽宁·阶段练习）已知实数、满足：. (1)求和的最大值； (2)求的最小值和最大值. 【解析】（1）∵，∴， ∵，∴，∴， 当且仅当、或、时等号成立，∴的最大值为， ∵，∴， ∵， ∴，∴， ∴，当且仅当、时等号成立，∴的最大值为； （2）∵，∴， ∵，∴，即， 当且仅当、或、时等号成立，∴的最小值为， 又，∴，即， 当且仅当、或、时等号成立， ∴的最大值为. 16．（2024·高一·山东聊城·阶段练习）（1）已知，，求的取值范围． （2）已知，且，求使不等式恒成立的实数的取值范围． 【解析】（1）因为，所以． 又，所以，即． （2）由， 则． 当且仅当即时取到最小值16． 若恒成立，则． 17．（2024·高一·江苏·开学考试）（1）设集合或，. ①若，求实数的取值范围； ②若，求实数的取值范围. （2）已知，，，且，求证：. 【解析】（1）①由题意，得或， 又，，则， 可得或. 解得或， 则实数的取值范围是或． ②由，得． 当时，，即，满足． 当时，或 解得或． 则实数的取值范围是或． （2）因为，，，且， 所以 ，当且仅当时取等号. 18．（2024·高一·江苏·开学考试）（1）求函数的最大值； （2）求函数的最小值； （3）若，且，求的最小值. 【解析】（1）由，得， 因此， 当且仅当，即时取等号，所以原函数的最大值为. （2）由，得， 因此， 当且仅当，即时取等号，所以原函数的最小值为9. （3）因为，且， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时，，所以的最小值为. 19．（2024·高一·河南郑州·阶段练习）已知， 且． (1)证明: ． (2)若， 求的最小值． 【解析】（1），① ② ③ ①+②+③得， 即， 当且仅当时，等号成立． （2）由，得，即， 所以 由，得，得，即， 所以 ． 所以的最小值为， 当且仅当，即时，等号成立． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2 基本不等式 课程标准 学习目标 1、理解基本不等式的内容及证明. 2、熟练掌握基本不等式及变形的应用. 3、会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 4、能够运用基本不等式解决生活中的应用问题. 1、数学建模：能够运用基本不等式解决生活中的应用问题. 2、逻辑推理：熟练掌握基本不等式及变形的应用. 3、数学运算：会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 4、直观想象：运用图像解释基本不等式. 知识点01 基本不等式 1、对公式及的理解． （1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”． 2、由公式和可以引申出常用的常用结论 ①（同号）； ②（异号）； ③或 知识点诠释： 可以变形为：，可以变形为：． 【即学即练1】（2023·全国·高一专题练习）不等式中，等号成立的条件是（    ） A． B． C． D． 知识点02 基本不等式的证明 方法一：几何面积法 如图，在正方形中有四个全等的直角三角形． 设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为．这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为．由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：．当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有． 得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”） 特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得： 如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）． 通常我们把上式写作：如果，，，（当且仅当时取等号“=”） 方法二：代数法 ∵， 当时，； 当时，． 所以，（当且仅当时取等号“=”）． 知识点诠释： 特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得： 如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）． 通常我们把上式写作： 如果，，，（当且仅当时取等号“=”）． 【即学即练2】（2023·全国·高一专题练习）已知，，，求证：. 知识点03 基本不等式的几何意义 如图，是圆的直径，点是上的一点，，，过点作交圆于点D，连接、． 易证，那么，即． 这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立． 知识点诠释： 1、在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数．因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 2、如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项． 【即学即练3】（2023·全国·高一专题练习）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（    ）． A． B． C． D． 知识点04 用基本不等式求最大（小）值 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等． ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数； ② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值． 知识点诠释： 1、两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数． 2、两个不等式：与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解． 3、基本不等式的功能在于“和积互化”．若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值． 4、利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件： ①各项都是正数； ②和（或积）为定值； ③各项能取得相等的值． 5、基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行： ①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； ②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； ③在定义域内，求出函数的最大或最小值； ④写出正确答案． 【即学即练4】（2023·陕西西安·高一校考期中）已知，且满足，求的最小值是 . 题型一：对基本不等式的理解及简单应用 【典例1-1】（2024·高一·河南·阶段练习）不等式中，等号成立的条件是（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2024·高一·福建宁德·阶段练习）《几何原本》卷2的几何代数法（几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明；如图所示图形，点、在圆上，点在直径上，且，，于点，设，，该图形完成的无字证明.则图中表示，的调和平均数、平方平均数的线段分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【方法技巧与总结】 应用基本不等式时的三个关注点 （1）一正数：指式子中的a，b均为正数． （2）二定值：只有ab为定值时才能应用基本不等式，因此有时需要构造定值． （3）三相等：即“=”必须成立，求出的定值才是要求的最值． 【变式1-1】（多选题）（2024·高三·全国·专题练习）下列推导过程，正确的为（    ） A．因为a，b为正实数，所以≥2＝2 B．因为x∈R，所以1 C．因为a＜0，所以+a≥2＝4 D．因为，所以 【变式1-2】（2024·高二·宁夏·期中）下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是（    ） 已知，求的最小值；解答过程：； 求函数的最小值；解答过程：可化得； 设，求的最小值；解答过程：， 当且仅当即时等号成立，把代入得最小值为4． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式1-3】（2024·高一·全国·课后作业）下面四个推导过程正确的有（    ） A．若a，b为正实数，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1-4】（2024·高一·江苏南京·阶段练习）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．下图是我国古代数学家赵爽创作的弦图，弦图由四个全等的直角三角形与一个小正方形（边长可以为0）拼成的一个大正方形．若直角三角形的直角边长分别为和，则该图形可以完成的无字证明为（    ）． A． B． C． D． 题型二：利用基本不等式比较大小 【典例2-1】设，为正数，则，，，的大小关系是 ． 【典例2-2】（2024·高一·上海·课后作业）若、、、、、是正实数，且，，则有 ．（比较大小） 【方法技巧与总结】 利用基本不等式比较大小 在利用基本不等式比较大小时，应创设应用基本不等式的使用条件，合理地拆项、配凑或变形．在拆项、配凑或变形的过程中，首先要考虑基本不等式使用的条件，其次要明确基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或者将“积式”转化为“和式”的放缩功能． 【变式2-1】（多选题）（2024·高一·广东深圳·期中）若，且，则下列不等式中，恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（多选题）（2024·高一·湖南长沙·阶段练习）小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b（），其全程的平均时速为v，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2024·高一·上海·课堂例题）若，，则、、、中最大的一个是 ． 【变式2-4】（2024·高一·江苏·专题练习）比较大小： 2(填“”“”“”或“”)． 【变式2-5】（2024·高一·全国·课后作业）若，，，则，，2ab，中最大的一个是 ． 题型三：利用基本不等式证明不等式 【典例3-1】已知a、b是正数，求证：． 【典例3-2】（2024·高一·江苏南京·期中）（1）设a，b，c，d为实数，求证：； （2）已知，求证：． 【方法技巧与总结】 利用基本不等式证明不等式时应注意的问题 （1）注意基本不等式成立的条件； （2）多次使用基本不等式，要注意等号能否成立； （3）对不能直接使用基本不等式证明的可重新组合，形成基本不等式模型，再使用． 【变式3-1】（2024·高一·上海·期中）已知a、b、c、，证明下列不等式，并指出等号成立的条件： (1)； (2)． 【变式3-2】（2024·高一·上海·课后作业）（1）已知、都是正数，求证：； （2）已知，，，求证：． 【变式3-3】（2024·高一·云南曲靖·期末）已知，，且，证明： (1)； (2)． 【变式3-4】（2024·青海·一模）已知正数满足．求证： (1)； (2)． 题型四：利用基本不等式求最值 命题方向1：直接法求最值 【典例4-1】（2024·高一·河南郑州·阶段练习）已知， 且， 则的最大值为 ． 【典例4-2】已知，，且，则xy的最大值为 ． 【变式4-1】（2024·高一·云南楚雄·期末）若实数满足，则的最大值为 ． 【变式4-2】（2024·高二·浙江宁波·期末）已知正实数x，y满足，则xy的最大值为 ． 【变式4-3】（2024·高一·河北保定·开学考试）若正数满足，则的最大值为 ． 【变式4-4】（2024·高一·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知，的最小值为 . 命题方向2：常规凑配法求最值 【典例5-1】（2024·高一·上海·课前预习）设、满足，且、都是正数，则的最大值为 ． 【典例5-2】（2024·高一·上海·随堂练习）已知，则的最大值为 ． 【变式5-1】（2024·高二·安徽六安·期末）已知，则的最大值为 ． 【变式5-2】（2024·河北秦皇岛·三模）设，则的最大值为 . 【变式5-3】（2024·高一·福建福州·阶段练习）已知实数，则函数的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式5-4】（2024·高一·湖北·阶段练习）已知，且，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．14 D．16 【变式5-5】（2024·高二·浙江绍兴·期中）若 ，则有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 命题方向3：消参法求最值 【典例6-1】（2024·新疆·高一校联考期末）设，则的最小值为（    ） A． B． C． D．6 【典例6-2】（2024·全国·高一专题练习）已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【变式6-1】（2024·全国·高一专题练习）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2024·高一·全国·课后作业）若正实数满足，则的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 命题方向4：换元求最值 【典例7-1】（2024·全国·高一专题练习）设x，y是正实数，且，则的最大值是 . 【典例7-2】（2024·全国·高一专题练习）已知正数、满足，则的最小值为 . 【变式7-1】（2024·浙江·高二校联考阶段练习）若实数，满足，则的最小值为 ． 命题方向5：“1”的代换求最值 【典例8-1】（2024·高一·福建南平·期中）已知，，，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【典例8-2】（2024·高一·重庆沙坪坝·期中）已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【变式8-1】（2024·高二·河北张家口·期末）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2024·高一·全国·课后作业）已知，且，则的最小值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【变式8-3】（2024·高二·安徽·阶段练习）若正实数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式8-4】（2024·高一·陕西榆林·阶段练习）若正数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【变式8-5】（2024·河南信阳·模拟预测），则的最小值为（    ） A． B． C． D．6 【变式8-6】（2024·高一·重庆沙坪坝·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 命题方向6：△法 【典例9-1】（2024·湖南衡阳·衡阳市八中校考模拟预测）已知实数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【典例9-2】（2024·全国·高三专题练习）已知，满足则的最小值是（       ） A． B． C． D． 命题方向7：条件等式求最值 【典例10-1】（2024·高一·山东济宁·阶段练习）设正实数x，y，z满足，则当取得最大值时，的值为 ． 【典例10-2】（2024·全国·高一专题练习）已知正数x，y满足，则的最大值为 ． 【变式10-1】（2024·全国·高一专题练习）已知，，，则的最大值为 ． 【变式10-2】（2024·全国·高一专题练习）若，且，则的最大值为 . 【方法技巧与总结】 利用基本不等式求代数式的最值 （1）利用基本不等式求代数式的最值，要通过恒等变形以及配凑，使“和”或“积”为定值，从而求得代数式的最大值或最小值． （2）若是求和式的最小值，通常化（或利用）积为定值；若是求积的最大值，通常化（或利用）和为定值，解答技巧都是恰当变形、合理拆分项或配凑因式． 题型五：利用基本不等式求解恒成立问题 【典例11-1】（2024·高一·江苏徐州·阶段练习）若对任意，恒成立，则a的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【典例11-2】（2024·高一·山东济宁·阶段练习）设，若恒成立，则k的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【方法技巧与总结】 利用基本不等式求解恒成立问题，通常通过分离参数转化为利用基本不等式求最值 【变式11-1】（2024·高一·重庆·期末）当，且满足时，有恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（2024·高一·浙江丽水·阶段练习）已知不等式对满足的所有正实数都成立，则正实数的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【变式11-3】（2024·高二·湖南·期中）已知实数，且满足，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．9 B．12 C．16 D．25 【变式11-4】（2024·高一·湖北武汉·阶段练习）若对任意实数，，不等式恒成立，则实数a的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【变式11-5】（2024·高一·山东泰安·阶段练习）设，且不等式恒成立，则正实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型六：基本不等式在实际问题中的应用 【典例12-1】（2024·高一·河北石家庄·阶段练习）如图，公园想建一块面积为144平方米的矩形草地，一边靠墙，另外三边用铁丝网围住，现有44米长的铁丝网可供使用（铁丝网可以剩余），若利用x米墙，求最少需要多少米铁丝网． 【典例12-2】（2024·高一·上海徐汇·期中）某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4800，深度为3m．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？ 【方法技巧与总结】 利用基本不等式解决实际问题的步骤 解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识（函数及不等式性质等）解决问题．用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行： （1）先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数． （2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题． （3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值． （4）正确写出答案． 【变式12-1】（2024·高一·全国·随堂练习）某工厂拟造一座平面图（如图）为长方形且面积为的三级污水处理池．由于地形限制，该处理池的长、宽都不能超过16 m，且高度一定．如果四周池壁的造价为400元/，中间两道隔墙的造价为248元/，池底造价为80元/，那么如何设计该处理池的长和宽，才能使总造价最低？（池壁的厚度忽略不计）      【变式12-2】（2024·高一·江苏扬州·阶段练习）已知、、、为正实数，利用平均不等式证明（1）（2）并指出等号成立条件，然后解（3）中的实际问题． (1)请根据基本不等式，证明：； (2)请利用（1）的结论，证明：； (3)如图，将边长为米的正方形硬纸板，在它的四个角各减去一个小正方形后，折成一个无盖纸盒．如果要使制作的盒子容积最大，那么剪去的小正方形的边长应为多少米? 【变式12-3】（2024·高一·安徽淮北·期中）某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x元，朱古力蜂果蛋糕单位为y元，现有两种购买方案： 方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b个，花费记为; 方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a个，花费记为． （其中） (1)试问哪种购买方案花费更少？请说明理由； (2)若a，b，x，y同时满足关系，求这两种购买方案花费的差值S最小值（注：差值花费较大值-花费较小值）． 【变式12-4】（2024·高一·贵州·阶段练习）某工厂生产某种产品，其生产的总成本（万元）年产量（吨）之间的函数关系可近似的表示为已知此工厂的年产量最小为吨，最大为吨． (1)年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低？并求出最低平均成本； (2)若每吨产品的平均出厂价为万元，且产品全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润？并求出最大利润． 【变式12-5】（2024·高一·浙江宁波·自主招生）对于任意正实数 ， 仅当 时，等号成立． 结论： ． 若 为定值，仅当 时， 有最小值 ． 根据上述内容，回答下列问题： (1)初步探究： 若 ，仅当 ___时，有 最小值___； (2)变式探究： 对于函数 ，当 取何值时，函数 的值最小？ 最小值是多少？ (3)拓展应用：疫情期间、为了解决疑似人员的临隔离问题． 高速公路榆测站入口处， 检测人员利用检测站的一面墙 (墙的长度不限)， 用 63 米长的钢丝网围成了 9 间相同的长方形隔离房， 如图． 设每间离房的面积为 (米 )． 问： 每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积 最大？ 最大面积是多少？ 1．（2024·高一·河北保定·期末）已知为正实数且，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 2．（2024·高一·全国·课后作业）若，则有（    ） A．最小值0 B．最大值2 C．最大值 D．不能确定 3．（2024·高三·陕西榆林·阶段练习）已知，，且，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 4．（2024·高一·山西朔州·阶段练习）已知，，满足，则下列结论正确的是（    ） A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最大值 5．（2024·高三·江西·开学考试）已知为正实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·高一·上海·随堂练习）已知实数．满足且，则下列不等式关系一定正确的是（    ）． A． B． C． D． 7．（2024·高一·吉林延边·阶段练习）已知，，且．若恒成立，则实数的最大值是（ ） A．4 B．8 C．3 D．6 8．（2024·高二·福建南平·期末）以max M表示数集M中最大的数．若，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C．3 D．2 9．（多选题）（2024·高一·安徽淮北·期中）已知正数x，y满足，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）（2024·高一·江苏南通·开学考试）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 11．（多选题）（2024·高一·江苏南通·阶段练习）若a， b均为正数，且满足，则（    ） A．ab的最大值为2 B．的最小值为4 C．的最小值是4 D．的最小值为 12．（2024·高一·陕西西安·开学考试）已知正实数，满足，则的最小值为 . 13．（2024·高一·广东梅州·开学考试）已知，且，则的最小值是 ． 14．（2024·高一·浙江宁波·专题练习）已知正实数 满足 ，则 的最小值为 . 15．（2024·高一·辽宁·阶段练习）已知实数、满足：. (1)求和的最大值； (2)求的最小值和最大值. 16．（2024·高一·山东聊城·阶段练习）（1）已知，，求的取值范围． （2）已知，且，求使不等式恒成立的实数的取值范围． 17．（2024·高一·江苏·开学考试）（1）设集合或，. ①若，求实数的取值范围； ②若，求实数的取值范围. （2）已知，，，且，求证：. 18．（2024·高一·江苏·开学考试）（1）求函数的最大值； （2）求函数的最小值； （3）若，且，求的最小值. 19．（2024·高一·河南郑州·阶段练习）已知， 且． (1)证明: ． (2)若， 求的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$