3.1 不等式的基本性质（六大题型）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（苏教版2019必修第一册）

3．1 不等式的基本性质 课程标准 学习目标 1、通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量不等关系．掌握不等式的性质； 2、会用不等式的性质证明简单的不等式． 3、培养学生观察、类比、辨析、运用的综合思维能力，体会化归与转化、类比等数学思想，提高学生数学运算和逻辑推理能力. 1、逻辑推理：运用不等式的性质证明不等式； 2、数学运算：运用不等式的性质求解证明不等式； 3、直观想象：在几何图形中发现不等式； 4、数学建模：能够在实际问题中构建不等关系，解决问题． 知识点01 符号法则与比较大小 实数的符号： 任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立． 两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质： ①两个同号实数相加，和的符号不变 符号语言：； ②两个同号实数相乘，积是正数 符号语言：； ③两个异号实数相乘，积是负数 符号语言： ④任何实数的平方为非负数，0的平方为0 符号语言：，． 比较两个实数大小的法则： 对任意两个实数、 ①； ②； ③． 对于任意实数、，，，三种关系有且只有一种成立． 知识点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系．它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据． 【即学即练1】若，，则、、从小到大的排列为 ． 知识点02 不等式的性质 不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分 基本性质有： （1）对称性： （2）传递性： （3）可加性：（c∈R） （4）可乘性：a>b， 运算性质有： （1）可加法则： （2）可乘法则： 知识点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据． 【即学即练2】已知，则下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 知识点03 比较两代数式大小的方法 作差法： 任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小． ①； ②； ③． 作商法： 任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小． ①； ②； ③． 中间量法： 若且，则（实质是不等式的传递性）．一般选择0或1为中间量． 【即学即练3】设a、b为实数，比较与的值的大小. 题型一：用不等式（组）表示不等关系 【典例1-1】（2024·高一·全国·随堂练习）某高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120km/h，同一车道上的车间距d不得小于10m，用不等式表示为（   ） A．且 B．或 C．且 D．或 【典例1-2】（2024·高一·广东深圳·阶段练习）公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A型货车载重量30吨，型货车载重量24吨，设派出A型货车辆，型货车辆，则运输方案应满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 将不等关系表示成不等式（组）的思路 （1）读懂题意，找准不等式所联系的量． （2）用适当的不等号连接． （3）多个不等关系用不等式组表示． 【变式1-1】（2024·高一·新疆·期中）某校新生加入乒乓球协会的学生人数多于加入篮球协会的学生人数，加入篮球协会的学生人数多于加入足球协会的学生人数，加入足球协会学生人数的3倍多于加入乒乓球协会和加入篮球协会的学生人数之和，若该校新生每人只能加入其中一个协会，则该校新生中加入这三个协会的总人数至少为（    ） A．9 B．12 C．15 D．18 【变式1-2】（2024·高一·贵州遵义·阶段练习）持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线-共，其中靠近灭火前线的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为，设需摩托车运送的路段平均速度为，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x应该满足的不等式为（    ）． A． B． C． D． 【变式1-3】（2024·高三·全国·专题练习）王老师是高三的班主任，为了更好地督促班上的学生完成作业，王老师特地组建了一个学习小组的钉钉群，群的成员由学生、家长、老师共同组成．已知该钉钉群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数．则该钉钉群人数的最小值为（    ） A．18 B．20 C．22 D．28 题型二：作差法比较两数（式）的大小 【典例2-1】（2024·高一·上海·课堂例题）已知，求证：. 【典例2-2】（2024·高一·上海·课堂例题）原有酒精溶液a（单位：g），其中含有酒精b（单位：g），其酒精浓度为.为增加酒精浓度，在原溶液中加入酒精x（单位：g），新溶液的浓度变为.根据这一事实，可提炼出如下关于不等式的命题：若，，则.试加以证明. 【方法技巧与总结】 作差法比较大小的步骤 【变式2-1】设x是实数，比较与的值的大小. 【变式2-2】已知是实数， (1)求证：，并指出等号成立的条件； (2)求证：如果，那么. 题型三：利用不等式的性质判断命题真假 【典例3-1】（2024·高一·安徽淮北·期中）已知a，b为非零实数，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】（2024·高一·江苏徐州·阶段练习）下列说法正确的是（    ）. A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【方法技巧与总结】 运用不等式的性质判断真假的技巧 （1）首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质． （2）解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算． 【变式3-1】（2024·高一·全国·课后作业）若，则下面有六个结论：①，②，③，④，⑤，⑥中，正确结论的序号是 ． 【变式3-2】（2024·高一·广东梅州·开学考试）若、、，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2024·高一·山东临沂·阶段练习）若，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式3-4】（2024·高三·广西·学业考试）若实数a，b满足，则（    ） A． B． C． D． 题型四：利用不等式的性质证明不等式 【典例4-1】已知a、b为任意给定的正数，求证：，并指出等号成立的条件． 【典例4-2】（1）已知，，求证：； （2）已知，，求证：． 【方法技巧与总结】 对利用不等式的性质证明不等式的说明 （1）不等式的性质是证明不等式的基础，对任意两个实数a，b有；；．这是比较两个实数大小的依据，也是证明不等式的基础． （2）利用不等式的性质证明不等式，关键要对性质正确理解和运用，要弄清楚每一条性质的条件和结论，注意条件的加强和减弱、条件和结论之间的相互联系． （3）比较法是证明不等式的基本方法之一，是实数大小比较和实数运算性质的直接应用． 【变式4-1】已知，．求证：． 【变式4-2】（2024·高一·全国·专题练习），，，，设，证明：. 【变式4-3】（2024·高一·福建泉州·阶段练习）（1）已知，设，，比较与的大小； （2）证明：已知，且，求证：. 【变式4-4】（2024·高一·安徽·阶段练习）（1），其中x，y均为正实数，比较a，b的大小； （2）证明：已知，且，求证： 【变式4-5】（2024·高一·上海·专题练习）（1）已知，求证：； （2）已知，求证： （3）已知，求证： 题型五：利用不等式的性质比较大小 【典例5-1】（2024·高一·青海玉树·期末）已知，则 ．（填“＞”“＜”或“＝”） 【典例5-2】（2024·高二·陕西榆林·期中）设，，则，的大小关系为 . 【方法技巧与总结】 注意点： ①记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用； ②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则 【变式5-1】（2024·高一·辽宁沈阳·期中）若，，，则，的大小关系是 . 【变式5-2】（2024·高一·上海·课前预习）已知，有以下说法： ①若，则；②若，则；③若，则， 其中正确的是 ． 【变式5-3】（2024·高一·上海黄浦·阶段练习）已知，有四个推理：①；②；③；④，其中正确的序号是 ． 【变式5-4】已知a，，则下列选项中能使成立的是 ，能使成立的是 （填上正确的序号）． ①    ②    ③   ④ 在下列空格上填适当的不等号： （1）若，则 ； （2）若，，则 1； ． 题型六：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围 【典例6-1】（多选题）（2024·河南洛阳·模拟预测）设实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【典例6-2】（多选题）（2024·高一·四川绵阳·阶段练习）已知，则的取值可以为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【方法技巧与总结】 利用不等式的性质求取值范围的策略 建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围．如已知，要求的范围，不能分别求出的范围，再求的范围，应把已知的“”“”视为整体，即，所以需分别求出的范围，两范围相加可得的范围．“范围”必须对应某个字母变量或代数式，一旦变化出其他的范围问题，则不能再间接得出，必须“直来直去”，即直接找到要求的量与已知的量间的数量关系，然后去求．注意同向（异向）不等式的两边可以相加（相减），这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围． 【变式6-1】（2024·高三·江苏南通·阶段练习）若变量x，y满足约束条件，，则的最小值为（    ） A．-7 B．-6 C．-5 D．-4 【变式6-2】（2024·高一·河南郑州·阶段练习）已知， 则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（多选题）（2024·高一·河南省直辖县级单位·阶段练习）设为实数，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-4】（多选题）（2024·高一·河北·阶段练习）已知，则以下命题正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-5】（多选题）（2024·高一·吉林延边·阶段练习）已知实数x，y满足，，则（ ） A． B． C． D． 【变式6-6】（2024·高三·福建宁德·开学考试）已知，则的取值范围是 . 1．（2024·高一·广东佛山·阶段练习）设，为实数，命题甲：，命题乙：，则命题甲是命题乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2024·高一·贵州·阶段练习）下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 3．（2024·高一·湖北随州·阶段练习）若，则下列不等式中一定成立的是（ ） A． B． C． D． 4．（2024·高三·山东潍坊·期末）若则下列不等式中一定成立的是（　　） A． B． C． D． 5．（2024·高一·上海·课后作业）若，则下列结论中正确的是（    ） A．不等式和均不能成立 B．不等式和均不能成立 C．不等式和均不能成立 D．不等式和均不能成立 6．（2024·湖南衡阳·模拟预测）新高考改革后，生物，化学，政治，地理采取赋分制度：原始分排名前的同学赋分分．若原始分的最大值为，最小值为，令为满足， 的一次函数．对于原始分为的学生，将的值四舍五入得到该学生的赋分.已知小赵原始分，赋分；小叶原始分，赋分；小林原始分，他的赋分是（   ） A． B． C． D．或 7．（2024·高三·全国·专题练习）记表示这3个数中最大的数．已知，，都是正实数，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·高一·湖北恩施·期末）某商场计划做一次活动刺激消费，计划对某商品降价两次，方案甲：第一次降价，第二次降价.方案乙：第一次降价.第二次降价.方案丙：两次均降价，其中.那么两次降价后价格最高的方案为（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．无法判断 9．（多选题）（2024·高一·全国·单元测试）下列命题叙述正确的是（    ） A．，当时， B．，当时， C．，当时， D．，当时， 10．（多选题）（2024·高一·江苏南京·阶段练习）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．则下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若且，则 11．（多选题）（2024·高一·江苏南通·期末）若，，则（ ） A． B． C． D． 12．（多选题）（2024·高一·四川成都·期中）下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 13．（2024·高一·上海·随堂练习）下面四个条件中，使成立的充分而非必要的条件是 （填写序号）． ①    ②   ③    ④ 14．（2024·高三·全国·专题练习）已知，，求的取值范围为 . 15．（2024·高一·上海·期中）已知，则的取值范围是 ． 16．（2024·高一·全国·课后作业）已知x，y为实数，满足，，则的最大值是 ，此时 . 17．（2024·高一·河南驻马店·开学考试）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好． (1)若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为，其中窗户面积为20平方米，该公寓采光效果是否合格？ (2)若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光是变好了还是变坏了？请说明理由． 18．（2024·高一·上海·随堂练习）某网店的最新iPad商品计划分两次降价促销，有三种方案： A：第一次降价百分率为m，第二次降价百分率为n． B：第一次降价百分率为n，第二次降价百分率为m． C：第一次降价百分率为，第二次降价百分率为． 其中． (1)经过两次降价后，请把三种方案的降价幅度从大到小排列； (2)证明你的结论． 19．（2024·高一·上海·期中）对于四个正数、、、，如果，那么称是的“下位序对”， (1)对于、、、，试求的“下位序对”； (2)设、、、均为正数，且是的“下位序对”，试判断，，之间的大小关系． 20．（2024·高一·辽宁·阶段练习）根据要求完成下列问题： (1)若、、. ①求证：； ②求证：； ③在②中的不等式中，能否找到一个代数式，满足所求式？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由. (2)设，求证：成立的充要条件是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3．1 不等式的基本性质 课程标准 学习目标 1、通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量不等关系．掌握不等式的性质； 2、会用不等式的性质证明简单的不等式． 3、培养学生观察、类比、辨析、运用的综合思维能力，体会化归与转化、类比等数学思想，提高学生数学运算和逻辑推理能力. 1、逻辑推理：运用不等式的性质证明不等式； 2、数学运算：运用不等式的性质求解证明不等式； 3、直观想象：在几何图形中发现不等式； 4、数学建模：能够在实际问题中构建不等关系，解决问题． 知识点01 符号法则与比较大小 实数的符号： 任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立． 两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质： ①两个同号实数相加，和的符号不变 符号语言：； ②两个同号实数相乘，积是正数 符号语言：； ③两个异号实数相乘，积是负数 符号语言： ④任何实数的平方为非负数，0的平方为0 符号语言：，． 比较两个实数大小的法则： 对任意两个实数、 ①； ②； ③． 对于任意实数、，，，三种关系有且只有一种成立． 知识点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系．它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据． 【即学即练1】若，，则、、从小到大的排列为 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 又因为，所以， 所以. 故答案为：. 知识点02 不等式的性质 不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分 基本性质有： （1）对称性： （2）传递性： （3）可加性：（c∈R） （4）可乘性：a>b， 运算性质有： （1）可加法则： （2）可乘法则： 知识点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据． 【即学即练2】已知，则下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】选项A，因为，则，所以，故A正确； 选项B，当时，由，则，故B错误； 选项C，若，则，所以，故C错误； 选项D，若，则，故，故D错误. 故选：A. 知识点03 比较两代数式大小的方法 作差法： 任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小． ①； ②； ③． 作商法： 任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小． ①； ②； ③． 中间量法： 若且，则（实质是不等式的传递性）．一般选择0或1为中间量． 【即学即练3】设a、b为实数，比较与的值的大小. 【解析】由， 又a、b为实数，，，则， 所以. 题型一：用不等式（组）表示不等关系 【典例1-1】（2024·高一·全国·随堂练习）某高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120km/h，同一车道上的车间距d不得小于10m，用不等式表示为（   ） A．且 B．或 C．且 D．或 【答案】A 【解析】由速度v的最大值为120km/h，故， 由车间距d不得小于10m，故， 即有且. 故选：A. 【典例1-2】（2024·高一·广东深圳·阶段练习）公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A型货车载重量30吨，型货车载重量24吨，设派出A型货车辆，型货车辆，则运输方案应满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知可得，， 所以有. 故选：B. 【方法技巧与总结】 将不等关系表示成不等式（组）的思路 （1）读懂题意，找准不等式所联系的量． （2）用适当的不等号连接． （3）多个不等关系用不等式组表示． 【变式1-1】（2024·高一·新疆·期中）某校新生加入乒乓球协会的学生人数多于加入篮球协会的学生人数，加入篮球协会的学生人数多于加入足球协会的学生人数，加入足球协会学生人数的3倍多于加入乒乓球协会和加入篮球协会的学生人数之和，若该校新生每人只能加入其中一个协会，则该校新生中加入这三个协会的总人数至少为（    ） A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】C 【解析】依题意，设加入乒乓球协会、篮球协会、足球协会的学生人数分别为a，b，c， 则，又， 若，则，不满足； 若，则，不满足； 若，则，不满足； 若，则，满足； 则，，，则. 故选：C. 【变式1-2】（2024·高一·贵州遵义·阶段练习）持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线-共，其中靠近灭火前线的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为，设需摩托车运送的路段平均速度为，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x应该满足的不等式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1小时，即， 故选：D． 【变式1-3】（2024·高三·全国·专题练习）王老师是高三的班主任，为了更好地督促班上的学生完成作业，王老师特地组建了一个学习小组的钉钉群，群的成员由学生、家长、老师共同组成．已知该钉钉群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数．则该钉钉群人数的最小值为（    ） A．18 B．20 C．22 D．28 【答案】C 【解析】依题意，设教师、家长、女生、男生人数分别为，且， 于是，则， 又，解得，因此，此时， 所以当时，，即该钉钉群人数的最小值为22. 故选：C 题型二：作差法比较两数（式）的大小 【典例2-1】（2024·高一·上海·课堂例题）已知，求证：. 【解析】， 因为，所以，又，所以， 所以. 【典例2-2】（2024·高一·上海·课堂例题）原有酒精溶液a（单位：g），其中含有酒精b（单位：g），其酒精浓度为.为增加酒精浓度，在原溶液中加入酒精x（单位：g），新溶液的浓度变为.根据这一事实，可提炼出如下关于不等式的命题：若，，则.试加以证明. 【解析】因为，，所以，所以； 又， 因为，，所以，， 所以，即 综上，. 【方法技巧与总结】 作差法比较大小的步骤 【变式2-1】设x是实数，比较与的值的大小. 【解析】，， 因为，所以， 即. 【变式2-2】已知是实数， (1)求证：，并指出等号成立的条件； (2)求证：如果，那么. 【解析】（1）因为， 当且仅当，即时，等号成立； （2）因为，则，又（等号不成立）， 所以，故. 题型三：利用不等式的性质判断命题真假 【典例3-1】（2024·高一·安徽淮北·期中）已知a，b为非零实数，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对A，当时，不等式不成立，所以A不正确； 对B，当时，满足，但，所以B不正确； 对C，因为，因为，且，可得，所以，所以C正确； 对D，举例，则，则，所以D不正确. 故选：C. 【典例3-2】（2024·高一·江苏徐州·阶段练习）下列说法正确的是（    ）. A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【解析】对于A，若，不一定有，如当时，故A错误； 对于B，因为，所以， 又因为，所以，故B错误； 对于C，若，，则不一定成立， 如当，时，，此时，故C错误； 对于D， ， 因为，，所以， 所以，故，故D正确. 故选：D. 【方法技巧与总结】 运用不等式的性质判断真假的技巧 （1）首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质． （2）解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算． 【变式3-1】（2024·高一·全国·课后作业）若，则下面有六个结论：①，②，③，④，⑤，⑥中，正确结论的序号是 ． 【答案】①④⑥ 【解析】因为，则，所以，即，故①正确； 由，不等式两边同时乘时，，对于，两边同乘，可得，故，即，则②错误； 因为，所以，则，所以，即，则③错误； 由，不等式边同时乘，得，故④正确； 由，因为，所以，又因为，所以，即，故⑤错误； 由可得，，故⑥正确； 因此，正确结论的序号是①④⑥. 故答案为：①④⑥. 【变式3-2】（2024·高一·广东梅州·开学考试）若、、，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，B，取，，则，，故A，B错误； 对于C，因为，，所以，故C正确； 对于D，取，则，故D错误； 故选：C 【变式3-3】（2024·高一·山东临沂·阶段练习）若，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解析】选项A，若，则结论错误，故选项A错误； 选项B，根据糖水不等式可知，，故选项B错误； 选项C，当时，，故选项C错误； 选项D，可知，，故选项D正确. 故选：D 【变式3-4】（2024·高三·广西·学业考试）若实数a，b满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，故A正确，B错误； 因为，所以，故C错误； 因为，所以，故D错误. 故选：A. 题型四：利用不等式的性质证明不等式 【典例4-1】已知a、b为任意给定的正数，求证：，并指出等号成立的条件． 【解析】由题意可知：， 因为，则，且，当且仅当时，等号成立， 所以，即， 等号成立的条件为. 【典例4-2】（1）已知，，求证：； （2）已知，，求证：． 【解析】证明：（1）因为，所以． 又．所以，所以． 又因为， 所以． （2）因为，要证，只需证明， 展开得， 即， 因为成立， 所以成立． 【方法技巧与总结】 对利用不等式的性质证明不等式的说明 （1）不等式的性质是证明不等式的基础，对任意两个实数a，b有；；．这是比较两个实数大小的依据，也是证明不等式的基础． （2）利用不等式的性质证明不等式，关键要对性质正确理解和运用，要弄清楚每一条性质的条件和结论，注意条件的加强和减弱、条件和结论之间的相互联系． （3）比较法是证明不等式的基本方法之一，是实数大小比较和实数运算性质的直接应用． 【变式4-1】已知，．求证：． 【解析】因为，所以， 因为，所以， 即， 即 【变式4-2】（2024·高一·全国·专题练习），，，，设，证明：. 【解析】因为，故，，，. 故有 ； 由于 ， 故，同理还有 ， 所以. 这就证明了. 【变式4-3】（2024·高一·福建泉州·阶段练习）（1）已知，设，，比较与的大小； （2）证明：已知，且，求证：. 【解析】（1）， 则； （2）因为，且，则， 则，则，则， 则， 则，又 则. 命题得证. 【变式4-4】（2024·高一·安徽·阶段练习）（1），其中x，y均为正实数，比较a，b的大小； （2）证明：已知，且，求证： 【解析】（1）因为， 作差得 ， 因为，，所以，， 所以，即； （2）因为，且，，， 所以， 所以 所以， 所以， 所以， 故. 【变式4-5】（2024·高一·上海·专题练习）（1）已知，求证：； （2）已知，求证： （3）已知，求证： 【解析】（1）因为，可得，所以， 又因为，可得. （2）因为，所以， 又因为，所以，可得， 因为，根据不等式的性质，可得，即以. （3）因为，要证，只需证明， 展开得，即，即， 又因为，所以. 题型五：利用不等式的性质比较大小 【典例5-1】（2024·高一·青海玉树·期末）已知，则 ．（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】 【解析】，因为，所以，，所以，， 又因为，， 所以. 故答案为：. 【典例5-2】（2024·高二·陕西榆林·期中）设，，则，的大小关系为 . 【答案】 【解析】由结合不等式的性质得出答案. ，则 ，即 故答案为： 【方法技巧与总结】 注意点： ①记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用； ②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则 【变式5-1】（2024·高一·辽宁沈阳·期中）若，，，则，的大小关系是 . 【答案】 【解析】由,有，， 则，故, 故答案为：. 【变式5-2】（2024·高一·上海·课前预习）已知，有以下说法： ①若，则；②若，则；③若，则， 其中正确的是 ． 【答案】① 【解析】对于①，若，则；①正确， 对于②,若，当时，则，故②错误， 对于③,若，当时，则，故③错误， 故答案为：① 【变式5-3】（2024·高一·上海黄浦·阶段练习）已知，有四个推理：①；②；③；④，其中正确的序号是 ． 【答案】③ 【解析】对于①，当时，显然不等式不成立，故①错误； 对于②，当时，满足，不满足，故②错误； 对于③，由，则，即，故③正确； 对于④，由得同号，故当时，等价于，故，故④错误. 故答案为：③ 【变式5-4】已知a，，则下列选项中能使成立的是 ，能使成立的是 （填上正确的序号）． ①    ②    ③   ④ 【答案】 ①④ ②④ 【解析】①得， ④得， 故能使成立的是①④； ，则， 由②故，由④， 故，故能使成立的是②④． 故答案为：①④，②④. 在下列空格上填适当的不等号： （1）若，则 ； （2）若，，则 1； ． 【答案】 > > < 【解析】（1）由于，故，即， （2）由于，则，又，， 故答案为：>，>，< 题型六：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围 【典例6-1】（多选题）（2024·河南洛阳·模拟预测）设实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】，两式相乘得，所以，A正确； 由题得，又，两式相乘得，所以，B错误； 因为，所以两式相乘得，C正确； 因为，所以两式相乘得，D错误． 故选：AC 【典例6-2】（多选题）（2024·高一·四川绵阳·阶段练习）已知，则的取值可以为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】ABC 【解析】设， 则，解得， ， ， ， 即， 故选：ABC. 【方法技巧与总结】 利用不等式的性质求取值范围的策略 建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围．如已知，要求的范围，不能分别求出的范围，再求的范围，应把已知的“”“”视为整体，即，所以需分别求出的范围，两范围相加可得的范围．“范围”必须对应某个字母变量或代数式，一旦变化出其他的范围问题，则不能再间接得出，必须“直来直去”，即直接找到要求的量与已知的量间的数量关系，然后去求．注意同向（异向）不等式的两边可以相加（相减），这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围． 【变式6-1】（2024·高三·江苏南通·阶段练习）若变量x，y满足约束条件，，则的最小值为（    ） A．-7 B．-6 C．-5 D．-4 【答案】B 【解析】设，故且， 所以，故， 由于，，所以，， 故最小值为，此时， 故选：B. 【变式6-2】（2024·高一·河南郑州·阶段练习）已知， 则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得，所以． 故选：B. 【变式6-3】（多选题）（2024·高一·河南省直辖县级单位·阶段练习）设为实数，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】因为，所以，故错误，正确. ，所以，故C正确. ，所以，故D错误. 故选：BC. 【变式6-4】（多选题）（2024·高一·河北·阶段练习）已知，则以下命题正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】对于A：,故A错误. 对于B：,故B正确. 对于C：,故C错误. 对于D;,故D正确. 故选：BD. 【变式6-5】（多选题）（2024·高一·吉林延边·阶段练习）已知实数x，y满足，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】因为，，则，，故A、C正确； 由题，故，B错误； ，则，故，D正确； 故选：ACD. 【变式6-6】（2024·高三·福建宁德·开学考试）已知，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】设， 所以，解得， 所以， 又，所以， 又 所以上述两不等式相加可得， 即， 所以的取值范围是， 故答案为：. 1．（2024·高一·广东佛山·阶段练习）设，为实数，命题甲：，命题乙：，则命题甲是命题乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】因为，推不出， 而， 所以命题甲是命题乙的必要不充分条件， 故选：B 2．（2024·高一·贵州·阶段练习）下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【解析】选项A：当时，，故A错误； 选项B：因，，所以，得，故B正确； 选项C：当时，满足，，但，故C错误； 选项D：当时，满足，，但，故D错误， 故选：B 3．（2024·高一·湖北随州·阶段练习）若，则下列不等式中一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，，因为，故，即，故A错； 对于B，不确定符号，取则，故B错误； 对于C， ，因为， 故，即，故C正确； 对于D，，因为， 故，即，故D错误． 故选：C 4．（2024·高三·山东潍坊·期末）若则下列不等式中一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，取，则，选项A错误； 对于B，由于函数在上单调递增， 又，则，选项B正确； 对于C，取，则，选项C错误； 对于D，取，则，选项D错误． 故选：B． 5．（2024·高一·上海·课后作业）若，则下列结论中正确的是（    ） A．不等式和均不能成立 B．不等式和均不能成立 C．不等式和均不能成立 D．不等式和均不能成立 【答案】B 【解析】对于A，因为，所以，所以，即成立， 因为，所以，，所以，所以， 所以不成立，所以A错误， 对于B，由选项A可知不成立， 因为，所以，，所以，， 所以，所以，所以不成立，所以B正确， 对于CD，因为，所以， 所以，所以， 所以成立，所以CD错误， 故选：B 6．（2024·湖南衡阳·模拟预测）新高考改革后，生物，化学，政治，地理采取赋分制度：原始分排名前的同学赋分分．若原始分的最大值为，最小值为，令为满足， 的一次函数．对于原始分为的学生，将的值四舍五入得到该学生的赋分.已知小赵原始分，赋分；小叶原始分，赋分；小林原始分，他的赋分是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解析】设，，， ， ∴，. ∴赋分是或. 故选：D. 7．（2024·高三·全国·专题练习）记表示这3个数中最大的数．已知，，都是正实数，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，，所以， 所以，即，当且仅当时取等号，所以的最小值为． 故选：A 8．（2024·高一·湖北恩施·期末）某商场计划做一次活动刺激消费，计划对某商品降价两次，方案甲：第一次降价，第二次降价.方案乙：第一次降价.第二次降价.方案丙：两次均降价，其中.那么两次降价后价格最高的方案为（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．无法判断 【答案】C 【解析】不妨设商品原价格为， 则方案甲两次降价后的价格为：； 方案乙两次降价后的价格为：； 方案丙两次降价后的价格为：. 所以，方案甲和方案乙两次降价后的价格相同； 又（因为，故不能取“”） 所以，方案丙两次降价后的价格最高. 故选：C 9．（多选题）（2024·高一·全国·单元测试）下列命题叙述正确的是（    ） A．，当时， B．，当时， C．，当时， D．，当时， 【答案】CD 【解析】对于A，取，满足，且， 此时，，故A错误； 对于B，取，满足， 此时，则，故B错误； 对于C，因为，当时，， 所以，则，故C正确； 对于D，存在，，满足，故D正确. 故选：CD. 10．（多选题）（2024·高一·江苏南京·阶段练习）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．则下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若且，则 【答案】BCD 【解析】对A：若，则，故A错误； 对B：由，则，，即，故B正确； 对C：由，则，又，则，故C正确； 对D：由，则，因为，则，故，故D正确. 故选：BCD. 11．（多选题）（2024·高一·江苏南通·期末）若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】对A：取，，，，则，，故A错误； 对B：由，，则，则有，故B正确； 对C：由，，则，且等价于， 等价于，等价于，即C正确； 对D：由，，则， ，即等价于， 由，即等价于，等价于，即，故D正确. 故选：BCD. 12．（多选题）（2024·高一·四川成都·期中）下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】CD 【解析】对于A项：因为：，，所以得：， 又因为：，所以得：，故A项错误； 对于B项：令，，所以得：，但，故B项错误； 对于C项：由，得：，所以得：，故C项正确； 对于D项：由，，得：， 所以得：，故D项正确； 故选：CD. 13．（2024·高一·上海·随堂练习）下面四个条件中，使成立的充分而非必要的条件是 （填写序号）． ①    ②   ③    ④ 【答案】② 【解析】对于①，取，则，但，不是充分条件，故①错误； 对于②，当时，因为，所以成立； 反之，由“”不能推出“”， 所以“”是“”成立的充分而不必要的条件，故②正确； 对于③，取，满足“”，但“”不成立， 故“”不是“”的充分条件，故③错误； 对于④，根据立方的意义，当“”成立时，必定有“”成立， 反之，当“”成立时，也有“”成立， 故“”是“”的充分必要条件，④不正确. 故答案为：②. 14．（2024·高三·全国·专题练习）已知，，求的取值范围为 . 【答案】 【解析】设， 则，解得， 所以， 因为，， 所以，， 所以． 则的取值范围为． 故答案为：. 15．（2024·高一·上海·期中）已知，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】可令， 即，解得， 所以， 又，所以， 即，可得； 所以的取值范围是. 故答案为： 16．（2024·高一·全国·课后作业）已知x，y为实数，满足，，则的最大值是 ，此时 . 【答案】 32 3 【解析】∵，∴.∵， ∴.由不等式的性质，得， 即，故的最大值为32，此时，即，∴. 故答案为：32；3. 17．（2024·高一·河南驻马店·开学考试）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好． (1)若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为，其中窗户面积为20平方米，该公寓采光效果是否合格？ (2)若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光是变好了还是变坏了？请说明理由． 【解析】（1）这所公寓的窗户面积为20平方米，则地板面积为190平方米， 由题意可得：， 所以这所公寓的采光效果合格． （2）设窗户面积为平方米，地板面积为平方米，窗户和地板同时增加平方米， 则， 由题意可知，， 所以，即． 所以公寓的采光效果变好了． 18．（2024·高一·上海·随堂练习）某网店的最新iPad商品计划分两次降价促销，有三种方案： A：第一次降价百分率为m，第二次降价百分率为n． B：第一次降价百分率为n，第二次降价百分率为m． C：第一次降价百分率为，第二次降价百分率为． 其中． (1)经过两次降价后，请把三种方案的降价幅度从大到小排列； (2)证明你的结论． 【解析】（1）不妨令，可计算得到， 故两次降价后，三种方案的降价幅度从大到小排列为：； （2）设原先的价格为a， 则方案A经过两次降价后，价格变为； 方案B经过两次降价后，价格变为； 方案C经过两次降价后，价格变为， 显然方案A、B的降价幅度相同， 因为 ， 因为，所以， 可得， 即， 所以 19．（2024·高一·上海·期中）对于四个正数、、、，如果，那么称是的“下位序对”， (1)对于、、、，试求的“下位序对”； (2)设、、、均为正数，且是的“下位序对”，试判断，，之间的大小关系． 【解析】（1）由，可得的下位序对为； （2）因为是的“下位序对”， 所以， 因为、、、均为正数， 故， 所以， 同理，即， 综上所述：． 20．（2024·高一·辽宁·阶段练习）根据要求完成下列问题： (1)若、、. ①求证：； ②求证：； ③在②中的不等式中，能否找到一个代数式，满足所求式？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由. (2)设，求证：成立的充要条件是. 【解析】（1）①∵，且、， ∴，∴； ②∵，∴， 又，∴， ∴， ∴， ∵、， ∴，由（1）知， ∴， ∴； ③∵，， ∴或（只要写出其中一个即可）； （2）①充分性：如果，则有和两种情况， 当时，当时，则、，等式成立， 当时，则、，等式成立， 当时，等式成立， 当时，即、或、， 当、时，、，等式成立， 当、时，、，等式成立， ∴当时，等式成立， ∴当时，成立， ②必要性：若且，则， 即，则，故， 综上所述，是等式成立的充要条件. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$