第3章 不等式（单元测试）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（苏教版2019必修第一册）

第3章 不等式综合能力测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 2．下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若,，则 3．已知且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D．8 4．已知，是方程的两个根，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 5．某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件元出售，可卖出件，则当利润最大时，每件商品的定价为（    ） A．105元 B．110元 C．115元 D．120元 6．设，若恒成立，则k的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 7．已知，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 8．已知，为集合中的最小元素，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题是真命题的为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若且，则 10．已知关于的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 11．设正实数m，n满足，则（　） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为1 D．的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若，，则、、从小到大的排列为 ． 13．已知实数满足，且，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 14．已知，且，则的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 16．（15分） 已知不等式的解是或． (1)用字母a表示出b，c； (2)求不等式的解 17．（15分） 某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为750的矩形花园.图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹､郁金香､月季（其中区域的形状､大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为. (1)用含有的代数式表示，并写出的取值范围； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？ 18．（17分） 若实数满足，则称比远离. (1)若2比远离1，求x的取值范围； (2)设，其中，判断：与哪一个更远离？并说明理由. (3)若，试问：与哪一个更远离？并说明理由. 19．（17分） 高一的珍珍阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题.对于非空数集A，B，定义且，将称为“A与B的笛卡尔积” (1)若，，求和； (2)试证明：“”是“”的充要条件； (3)若集合是有限集，将集合的元素个数记为.已知，且存在实数满足对任意恒成立.求的取值范围，并指明当取到最值时和满足的关系式及应满足的条件. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 不等式综合能力测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【解析】，解得， 故不等式的解集为. 故选：A 2．下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若,，则 【答案】D 【解析】对于A，若，当时，则，故A错误； 对于B，若，满足，但，故B错误； 对于C，因，，由，可得，故C错误； 对于D，由，得，因，则，故D正确． 故选：D． 3．已知且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D．8 【答案】D 【解析】且，则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，的最小值为8. 故选：D 4．已知，是方程的两个根，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【解析】因为，是方程的两个根，显然， 则，， 所以. 故选：D 5．某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件元出售，可卖出件，则当利润最大时，每件商品的定价为（    ） A．105元 B．110元 C．115元 D．120元 【答案】C 【解析】由题意可知利润， 当且仅当，即时等号成立， 故选：C 6．设，若恒成立，则k的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【解析】由于，则得到（当且仅当，即时，取等号）； 所以 又由恒成立，故，则k的最大值为8. 故选：D． 7．已知，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【解析】由得，， 则， 因为，当且仅当即时取等号. 因为，当且仅当即时取等号. 当且仅当即时取等号. 所以的最小值为. 故选：D 8．已知，为集合中的最小元素，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解析】设为，，中最小的数， 由可得，并有得到关系：， 即，得， 由， 所以， 故，故，，中最小的数的最大值为3. 故选：． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题是真命题的为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若且，则 【答案】BCD 【解析】对于A项，取，，，， 则，，所以，故A选项错误； 对于B选项，若，有，则，B选项正确； 对于C选项，若，则，则， 又因为，由不等式的性质可得，所以C选项正确； 对于D选项，若且，则，所以，，D选项正确． 故选：BCD． 10．已知关于的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】由题意可得， ， 即， 即有，即，， 故A正确、D错误； 令，其根为，， 结合二次函数性质可得， ，即，故B正确、C错误. 故选：AB. 11．设正实数m，n满足，则（　） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为1 D．的最小值为 【答案】AD 【解析】对于A，因为正实数m，n满足m＋n＝1， 所以， 当且仅当且，即时取等号，A正确； 对于B，， 当且仅当时取等号，所以≤， 即最大值为，B错误； 对于C，， 当且仅当时取等号，此时取最大值，C不正确； 对于D，由， 因此，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， 即的最小值为，D正确． 故选：AD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若，，则、、从小到大的排列为 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 又因为，所以， 所以. 故答案为：. 13．已知实数满足，且，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】，则同号，又，则只能同正. ，变形得到. 则. 当且仅当，且，则取等号. 由于恒成立，则，解得. 故答案为：. 14．已知，且，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】因为，且，所以， 所以 ， 因为，所以, 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【解析】（1）不等式可化为, 即 , 即不等式的解集为 ; （2）不等式可化为,, 即 , 即不等式的解集为 ; （3）不等式可化为 ， 无解, 即不等式的解集为 ; （4）不等式可化为, 即 , 即不等式的解集为 16．（15分） 已知不等式的解是或． (1)用字母a表示出b，c； (2)求不等式的解 【解析】（1）由不等式的解为或， 可知且的两根为2和3， 由得韦达定理，，所以，； （2）由（1）可得：可变为， 因为，所以，整理得， 解得或，所以不等式的解是或． 17．（15分） 某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为750的矩形花园.图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹､郁金香､月季（其中区域的形状､大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为. (1)用含有的代数式表示，并写出的取值范围； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？ 【解析】（1）设矩形花园的长为， 矩形花园的总面积为， ，可得， 又阴影部分是宽度为的小路， 可得，可得， 即关于的关系式为. （2）由（1）知，， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 18．（17分） 若实数满足，则称比远离. (1)若2比远离1，求x的取值范围； (2)设，其中，判断：与哪一个更远离？并说明理由. (3)若，试问：与哪一个更远离？并说明理由. 【解析】（1）根据题意可得：， 所以，解得； （2）比更远离, 理由如下：要证比更远离,只要证， 即证， 因为，所以， 所以只要证，即证， 因为，所以， 所以， 所以比更远离； （3）因为，当且仅当时等号成立， 所以，从而， ①， ， 即；   ②时，， ， 即， 综上：，即比更远离. 19．（17分） 高一的珍珍阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题.对于非空数集A，B，定义且，将称为“A与B的笛卡尔积” (1)若，，求和； (2)试证明：“”是“”的充要条件； (3)若集合是有限集，将集合的元素个数记为.已知，且存在实数满足对任意恒成立.求的取值范围，并指明当取到最值时和满足的关系式及应满足的条件. 【解析】（1）由题意可得：， . （2）若，设， 由定义可知：且， 所以“”是“”的必要条件； 若，对任意，均有， 即对任意，均有， 由任意性可知，则， 所以“”是“”的充分条件； 综上所述：“”是“”的充要条件. （3）设， 则，， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以实数的取值范围. 若取到最大值，则，即， 可得，即， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$