第06讲 等式性质与不等式性质（五大考点）-2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第一册）

2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第一册） 第06讲 等式性质与不等式性质 学习目标： 1．会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系． 2．掌握不等式的有关性质． 3．能利用不等式的性质进行数或式的大小比较或不等式证明． 重点难点： 重点：两个实数大小关系的基本事实的理解和运用，掌握不等式性质及其应用 难点：不等式与不等式性质的应用 一、两个实数大小的比较 如果是正数,那么;如果等于零,那么;如果是负数,那么.反过来也对. 这个基本事实可以表示为:. 从上述基本事实可知,要比较两个实数的大小,可以转化为比较它们的差与0的大小. 二、等式的基本性质 性质1.如果,那么; 性质2.如果,那么; 性质3.如果,那么; 性质4.如果,那么; 性质5.如果,那么 三、不等式的性质 性质 性质内容 注意 对称性 传递性 可加性 可乘性 的符号 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 同正 考点01 列不等式（组） 1．（多选）某工艺厂用A、B两种型号不锈钢薄板制作矩形、菱形、圆3种图形模板，每个图形模板需要A、B不锈钢薄板及该厂2种薄板张数见下表 矩形 菱形 圆 总数 A 5 3 10 55 B 12 6 13 125 该厂签购制作矩形、菱形、圆3种模板分别为x，y，z（）块.上述问题中不等关系表示正确为（    ） A． B． C． D． 2．“双节”遇上亚运会，民宿成为潮流趋势．民宿的改造中，窗户面积与地板面积之比越大，采光效果越好．现有一所地板面积为180平方米的民宿需要同时增加窗户和地板的面积，已知地板增加的面积是窗户增加的面积的2倍，且民宿改造后的采光效果不逊于改造前，则改造前的窗户面积最大为 平方米． 3．哈尔滨某商场举办优惠酬宾赠券活动，购买百元以上单件商品可以使用优惠券一张，并且每天购物只能用一张优惠券.一名顾客得到三张优惠券，三张优惠券的具体优惠方式如下： 优惠券1：若标价超过100元，则付款时减免标价的10%； 优惠券2：若标价超过100元，则付款时减免20元； 优惠券3：若标价超过100元，则超过100元的部分减免18%. 如果顾客购买商品后，使用优惠券1比使用优惠券2、优惠券3减免的都多，那么你建议他购买的商品的标价可以是 元. 4．已知甲、乙、丙三种食物的维生素含量及成本如下表： 甲 乙 丙 维生素A(单位/kg) 600 700 400 维生素B(单位/kg) 800 400 500 成本(元/kg) 11 9 4 若用甲、乙、丙三种食物各x kg、y kg、z kg配成100 kg的混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A和63000单位维生素B.试用x，y表示混合食物成本c元 ，并写出x，y所满足的不等关系 ． 5．某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的型汽车和型汽车，根据需要，型汽车至少买5辆，型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式（组）. 考点02 作差法、作商法比较两数（式）的大小 6．已知实数m，n，p满足，且，则下列说法正确的是（） A． B． C． D． 7．设，，，则，，，的大小顺序是 ． 8．若且，则 （填“>”“<”或“=”）． 9．设实数、满足，且，则、、中最大的是 ． 10．设，，则 （填入“＞”或“＜”）． 11．已知，试比较和的大小. 考点03 利用不等式的性质判断命题的真假 12．设，且，下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 13．下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若,，则 14．已知，有四个推理：①；②；③；④，其中所有错误的序号是 15．（多选）下列命题是真命题的为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若且，则 16．（多选）下列不等式中，推理正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 17．（多选）若，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 18．（多选）已知，则下列结论成立的是（） A． B．若．则 C．若，则 D． 考点04 利用不等式的性质证明 19．已知实数a、b、c满足，且.求证：且. 20．原有酒精溶液a（单位：g），其中含有酒精b（单位：g），其酒精浓度为.为增加酒精浓度，在原溶液中加入酒精x（单位：g），新溶液的浓度变为.根据这一事实，可提炼出如下关于不等式的命题：若，，则.试加以证明. 21．设，求证：是的充要条件． 22．证明不等式：． 23．设，，. (1)证明：； (2)若，证明. 24．已知三个不等式：①a，b，x均为正数  ②  ③ 请你以其中两个作为条件，余下一个为结论组成一个不等式命题，并判断其真假，若真请给出证明，若假请举出反例说明. 25．（1）已知，设，，比较与的大小； （2）证明：已知，且，求证：. 考点05 利用不等式的性质求代数式的取值范围 26．若变量x，y满足约束条件，，则的最小值为（    ） A．-7 B．-6 C．-5 D．-4 27．已知， 则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 28．已知 ，则下列结论错误的是（    ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．取值范围为 29．已知，则的取值范围是 . 30．已知，则的取值范围是 . 31．已知求的取值范围． 基础试炼 一、单选题 1．下面能表示“a与b的和是非正数”的不等式为（    ） A． B． C． D． 2．若、、，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 3．条件甲：条件乙：则甲是乙的（    ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 4．已知，则的值满足的条件为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．下列命题中，真命题是：（    ） A．若，则 B．若且，则 C．若，则 D．若，则 6．若， 则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．若，，则、、从小到大的排列为 ． 8．若，设，，则M，N的大小关系是 ． 9．下面四个条件中，使成立的充分而非必要的条件是 （填写序号）． ①    ②   ③    ④ 四、解答题 10．一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好． (1)若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为，其中窗户面积为20平方米，该公寓采光效果是否合格？ (2)若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光是变好了还是变坏了？请说明理由． 11．设x是实数，比较与的值的大小. 12．证明：“且”是“且”的充要条件． 高阶突破 1．若，则下列不等式中一定成立的是（ ） A． B． C． D． 2．已知关于，，，的方程组，其中．则，，，的大小关系为（    ）． A． B． C． D． 3．记为，，中最小的数.已知，且，则的最大值为 . 4．设，则的最大值与最小值之差为 . 5．已知三角形的三边长分别为，有以下个命题： ①以为边长的三角形一定存在； ②以为边长的三角形一定存在； ③以为边长的三角形一定存在； ④以为边长的三角形一定存在，其中正确的命题有 （填写所有正确命题的序号）. 6．已知正数满足，则的取值范围为 ． 7．已知正整数n满足条件：存在唯一的整数k，使成立.这样的n的最大值是 . 8．，求证：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第一册） 第06讲 等式性质与不等式性质 学习目标： 1．会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系． 2．掌握不等式的有关性质． 3．能利用不等式的性质进行数或式的大小比较或不等式证明． 重点难点： 重点：两个实数大小关系的基本事实的理解和运用，掌握不等式性质及其应用 难点：不等式与不等式性质的应用 一、两个实数大小的比较 如果是正数,那么;如果等于零,那么;如果是负数,那么.反过来也对. 这个基本事实可以表示为:. 从上述基本事实可知,要比较两个实数的大小,可以转化为比较它们的差与0的大小. 二、等式的基本性质 性质1.如果,那么; 性质2.如果,那么; 性质3.如果,那么; 性质4.如果,那么; 性质5.如果,那么 三、不等式的性质 性质 性质内容 注意 对称性 传递性 可加性 可乘性 的符号 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 同正 考点01 列不等式（组） 1．（多选）某工艺厂用A、B两种型号不锈钢薄板制作矩形、菱形、圆3种图形模板，每个图形模板需要A、B不锈钢薄板及该厂2种薄板张数见下表 矩形 菱形 圆 总数 A 5 3 10 55 B 12 6 13 125 该厂签购制作矩形、菱形、圆3种模板分别为x，y，z（）块.上述问题中不等关系表示正确为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】因为每个矩形模板需要5张A薄板，每个菱形模板需要3张A薄板，每个圆模板需要10张A薄板，且共有55张A薄板， 所以， 因为每个矩形模板需要12张B薄板，每个菱形模板需要6张B薄板，每个圆模板需要13张B薄板，且共有125张B薄板， 所以. 故选：BC. 2．“双节”遇上亚运会，民宿成为潮流趋势．民宿的改造中，窗户面积与地板面积之比越大，采光效果越好．现有一所地板面积为180平方米的民宿需要同时增加窗户和地板的面积，已知地板增加的面积是窗户增加的面积的2倍，且民宿改造后的采光效果不逊于改造前，则改造前的窗户面积最大为 平方米． 【答案】 【详解】设改造前的窗户面积为，窗户增加的面积为，， 依题意，即， 所以改造前的窗户面积最大为平方米. 故答案为： 3．哈尔滨某商场举办优惠酬宾赠券活动，购买百元以上单件商品可以使用优惠券一张，并且每天购物只能用一张优惠券.一名顾客得到三张优惠券，三张优惠券的具体优惠方式如下： 优惠券1：若标价超过100元，则付款时减免标价的10%； 优惠券2：若标价超过100元，则付款时减免20元； 优惠券3：若标价超过100元，则超过100元的部分减免18%. 如果顾客购买商品后，使用优惠券1比使用优惠券2、优惠券3减免的都多，那么你建议他购买的商品的标价可以是 元. 【答案】201.（答案不唯一，在开区间中任取一个实数作为答案即可） 【详解】设购买的商品的标价为元，， 使用优惠券1时减免元；使用优惠券2时减免20元；使用优惠券3时减免元， 由题意，且，解得． 故答案为：201.（答案不唯一，在开区间中任取一个实数作为答案即可） 4．已知甲、乙、丙三种食物的维生素含量及成本如下表： 甲 乙 丙 维生素A(单位/kg) 600 700 400 维生素B(单位/kg) 800 400 500 成本(元/kg) 11 9 4 若用甲、乙、丙三种食物各x kg、y kg、z kg配成100 kg的混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A和63000单位维生素B.试用x，y表示混合食物成本c元 ，并写出x，y所满足的不等关系 ． 【答案】 且 【详解】由已知得 , 又， 则 , 由 及 , 整理化简, 得 , 于是得 x，y所满足的不等关系为且 故答案为：；且 5．某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的型汽车和型汽车，根据需要，型汽车至少买5辆，型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式（组）. 【答案】 【详解】设购买型汽车和型汽车分别为辆，辆， 根据题意可得. 考点02 作差法、作商法比较两数（式）的大小 6．已知实数m，n，p满足，且，则下列说法正确的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为, 移项得, 所以, 可得, 由,得, 可得, 可得. 综上所述,不等式成立, 故选:B. 7．设，，，则，，，的大小顺序是 ． 【答案】 【详解】方法一：特殊值法  取，，，， 则，，，，则． 方法二：作差法 因为，，，所以， 所以， 所以． 因为，，， 所以，， 所以，，所以． 或，所以． ，所以． 所以． 故答案为： 8．若且，则 （填“>”“<”或“=”）． 【答案】> 【详解】因为且， 所以 ， 所以. 故答案为：> 9．设实数、满足，且，则、、中最大的是 ． 【答案】 【详解】因为，所以 所以 又，且，所以 所以, 所以， 所以、、中最大的是， 故答案为：. 10．设，，则 （填入“＞”或“＜”）． 【答案】 【详解】∵，即. 又， . 故答案为：>. 11．已知，试比较和的大小. 【答案】 【详解】（方法1）因为，所以. 所以. 因为，所以，即； （方法2）所以， 又， 所以 , 所以. 考点03 利用不等式的性质判断命题的真假 12．设，且，下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于选项A，取，显然满足，但，所以选项A错误， 对于选项B，因为，由不等式的性质知，所以选项B正确， 对于选项C，取，显然满足，但，此时，所以选项C错误， 对于选项D，取，显然满足，此时，所以选项D错误， 故选B. 13．下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若,，则 【答案】D 【详解】对于A，若，当时，则，故A错误； 对于B，若，满足，但，故B错误； 对于C，因，，由，可得，故C错误； 对于D，由，得，因，则，故D正确． 故选：D． 14．已知，有四个推理：①；②；③；④，其中所有错误的序号是 【答案】①②④ 【详解】对于①，当时，显然不等式不成立，故①错误； 对于②，当时，满足，不满足，故②错误； 对于③，由，则，即，故③正确； 对于④，由得同号，故当时，等价于，故，故④错误. 故答案为：①②④. 15．（多选）下列命题是真命题的为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若且，则 【答案】BCD 【详解】对于A项，取，，，， 则，，所以，故A选项错误； 对于B选项，若，有，则，B选项正确； 对于C选项，若，则，则， 又因为，由不等式的性质可得，所以C选项正确； 对于D选项，若且，则，所以，，D选项正确． 故选：BCD． 16．（多选）下列不等式中，推理正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【详解】A选项，显然均不为0， 若，此时，不合要求， 若，此时，满足要求，所以， 若，此时，不合要求， 故，A正确； B选项，因为，所以，， 两边同时乘以，得，B错误； C选项，，故，则，, 不等式两边同时乘以，得，C正确； D选项，由不等式性质得到，若，则，D正确. 故选：ACD 17．（多选）若，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】因为，且，所以， 所以，即，故A正确； 因为，，所以，故B错误； 因为，所以，故C正确； 当时满足题设条件，但不成立，故D错误. 故选：AC 18．（多选）已知，则下列结论成立的是（） A． B．若．则 C．若，则 D． 【答案】AC 【详解】对于,因为,所以, 即,，即故，故正确; 对于,若则,故错误; 对于,即,故正确; 对于,,故错误. 故选:. 考点04 利用不等式的性质证明 19．已知实数a、b、c满足，且.求证：且. 【答案】证明见解析 【详解】由于实数a、b、c满足，且， 所以，即， ，即， 综上，且 20．原有酒精溶液a（单位：g），其中含有酒精b（单位：g），其酒精浓度为.为增加酒精浓度，在原溶液中加入酒精x（单位：g），新溶液的浓度变为.根据这一事实，可提炼出如下关于不等式的命题：若，，则.试加以证明. 【答案】证明见解析 【详解】因为，，所以，所以； 又， 因为，，所以，， 所以，即 综上，. 21．设，求证：是的充要条件． 【答案】证明见详解 【详解】①证明充分性，已知：， ，求证：， 证明：因为，所以， 则不等式两边同时乘以，不等号的方向不变， 即，即，故充分性得证； ②证明必要性，已知：，，求证：， 证明：因为， 所以不等式两边同时乘以，不等号的方向不变， 即，即，故必要性得证； 综上，若，则：是的充要条件． 22．证明不等式：． 【答案】证明见解析 【详解】依题意，， 当且仅当时取等号， 所以. 23．设，，. (1)证明：； (2)若，证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）证明:∵， ∴. a，b，c不同时为，则，∴； （2）. ∵，取等号的条件为， 而，∴等号无法取得，即， 又，∴，∴. 24．已知三个不等式：①a，b，x均为正数  ②  ③ 请你以其中两个作为条件，余下一个为结论组成一个不等式命题，并判断其真假，若真请给出证明，若假请举出反例说明. 【答案】答案见解析 【详解】方案一：条件：①②  结论：③ 若a，b，x均为正数，且，则，真命题 证明： ∵a，b，x均为正数， ∴， ∴，即 方案二：条件①③  结论：② 若a，b，x均为正数，且，则，真命题 证明：∵即化简得 又∵a，b，x均为正数 ∴ ∴即 方案三：条件②③  结论：① 若，且，则a，b，x均为正数，假命题 例如：，，，满足且，但a，b，x并不全为正数. 三种方案选一种作答即可. 25．（1）已知，设，，比较与的大小； （2）证明：已知，且，求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【详解】（1）， 则； （2）因为，且，则， 则，则，则， 则， 则，又 则. 命题得证. 考点05 利用不等式的性质求代数式的取值范围 26．若变量x，y满足约束条件，，则的最小值为（    ） A．-7 B．-6 C．-5 D．-4 【答案】B 【详解】设，故且， 所以，故， 由于，，所以，， 故最小值为，此时， 故选：B. 27．已知， 则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，所以． 故选：B. 28．已知 ，则下列结论错误的是（    ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．取值范围为 【答案】B 【详解】因为，， 所以，，， 所以的取值范围为，的取值范围为，故A正确，B错误； 因为，， 所以，，， 所以的取值范围为，的取值范围为，故C正确，D正确. 故选：B 29．已知，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】设， 所以，解得， 所以， 又，所以， 又 所以上述两不等式相加可得， 即， 所以的取值范围是， 故答案为：. 30．已知，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意可知，， ，，则，所以. 故答案为： 31．已知求的取值范围． 【答案】 【详解】根据题意知且， 所以，则， 所以 故答案为： 基础试炼 一、单选题 1．下面能表示“a与b的和是非正数”的不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为非正数小于等于0，则能表示“a与b的和是非正数”的不等式为. 故选：C. 2．若、、，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，B，取，，则，，故A，B错误； 对于C，因为，，所以，故C正确； 对于D，取，则，故D错误； 故选：C 3．条件甲：条件乙：则甲是乙的（    ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】B 【详解】由，根据不等式的性质可得， 由，当，时，成立， 而不成立， 所以甲是乙的必要非充分条件. 故选：B． 4．已知，则的值满足的条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 由不等式性质可得， 即． 故选：C 二、多选题 5．下列命题中，真命题是：（    ） A．若，则 B．若且，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【详解】对于A，当，时，，故A错误； 对于B，若且，则，即，故B正确； 对于C，若，则，即，故C正确； 对于D，取，，则，但，所以D错误； 故选：BC 6．若， 则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】A选项，不妨令，，此时，A错误； B选项，因为，所以，B正确． C选项，由不等式的性质得，C正确． D选项，当时，，D错误． 故选：BC 三、填空题 7．若，，则、、从小到大的排列为 ． 【答案】 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 所以. 故答案为：. 8．若，设，，则M，N的大小关系是 ． 【答案】 【详解】因为，， 则， 且，则， 可得，即. 故答案为：. 9．下面四个条件中，使成立的充分而非必要的条件是 （填写序号）． ①    ②   ③    ④ 【答案】② 【详解】对于①，取，则，但，不是充分条件，故①错误； 对于②，当时，因为，所以成立； 反之，由“”不能推出“”， 所以“”是“”成立的充分而不必要的条件，故②正确； 对于③，取，满足“”，但“”不成立， 故“”不是“”的充分条件，故③错误； 对于④，根据立方的意义，当“”成立时，必定有“”成立， 反之，当“”成立时，也有“”成立， 故“”是“”的充分必要条件，④不正确. 故答案为：②. 四、解答题 10．一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好． (1)若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为，其中窗户面积为20平方米，该公寓采光效果是否合格？ (2)若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光是变好了还是变坏了？请说明理由． 【答案】(1)合格，理由见解析 (2)变好了，理由见解析 【详解】（1）这所公寓的窗户面积为20平方米，则地板面积为190平方米， 由题意可得：， 所以这所公寓的采光效果合格． （2）设窗户面积为平方米，地板面积为平方米，窗户和地板同时增加平方米， 则， 由题意可知，， 所以，即． 所以公寓的采光效果变好了． 11．设x是实数，比较与的值的大小. 【答案】 【详解】，， 因为，所以， 即. 12．证明：“且”是“且”的充要条件． 【答案】证明过程见解析 【详解】一方面：若“且”，则“且”，故充分性成立， 另一方面：若“且”，则要么，要么， 当时，满足， 当时，满足， 所以若“且”，则有“且”，必要性成立， 综上所述，命题得证. 高阶突破 1．若，则下列不等式中一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，，因为，故，即，故A错； 对于B，不确定符号，取则，故B错误； 对于C， ，因为， 故，即，故C正确； 对于D，，因为， 故，即，故D错误． 故选：C 2．已知关于，，，的方程组，其中．则，，，的大小关系为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得到， 即，令， 则，又，所以， 故选：D. 3．记为，，中最小的数.已知，且，则的最大值为 . 【答案】 【详解】设t=min{y-x,z-y,1-z}, 则t≤y-x, 即2t≤2y-2x，t≤z-y，t≤1-z, 三式累加可得：4t≤1+(y-2x) ≤1,所以t≤. 取显然满足且,此时t= 所以 故答案为： 4．设，则的最大值与最小值之差为 . 【答案】1 【详解】因为，所以， 因为，所以当时，取最大值为4， 当时，取最小值3， 所以的最大值与最小值之差为. 故答案为：1. 5．已知三角形的三边长分别为，有以下个命题： ①以为边长的三角形一定存在； ②以为边长的三角形一定存在； ③以为边长的三角形一定存在； ④以为边长的三角形一定存在，其中正确的命题有 （填写所有正确命题的序号）. 【答案】①③④ 【详解】不妨设， 对于选项①，因为，所以， 又，所以选项①正确， 对于选项②，若，满足条件，但，不构成三角形，所以选项②错误； 对于选项③，由假设易知，由，所以选项③正确， 对于选项④，因为， ， ，所以选项④正确， 故答案为：①③④. 6．已知正数满足，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】 正数、、满足，， ，所以 同理：有得到，所以 两式相加： 即 又,即 即． 故答案为： 7．已知正整数n满足条件：存在唯一的整数k，使成立.这样的n的最大值是 . 【答案】112 【详解】由得，，即. 又由整数k的唯一性知，，解得， 而时，，，满足的整数k只有97，故符合. 故答案为：. 8．，求证：． 【答案】证明见解析 【详解】因为， 当时，，又，所以， 当时，，又，所以． 综合上两式，， 同理可得，， 累加得，， 取等号时，故不等式得证． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$