精品解析：重庆市巴蜀中学2023-2024学年九年级保送考试数学试题

巴蜀数学随堂练习 一、填空题（每题7分，共70分） 1. 有1、2、三个数，小明分别对这三个数求了绝对值；小亮分别对这三个数求了倒数；小颖分别对这三个数求了次幂．将小明、小亮、小颖三人求得的数各任意选一个相乘，则乘积恰好为整数的概率为 ___________________． 2. 已知，则的值为_______． 3. 如图，在平行四边形中，是对角线，，以点A为圆心，以的长为半径作，交边于点E，交于点F，连接．且，则阴影部分的面积为 _____________． 4. 将图1所示的菱形沿两条对角线剪开后重新拼成图2、图3两种图案，其中图2得到的大正方形的面积为5，图3得到的图形的外轮廓的周长为，则图1中______． 5. 若关于x的一元一次不等式组有解且至多有6个整数解，且关于y的分式方程的解是整数，则所有满足条件的整数m的值之和为 _______． 6. 若实数、，满足，，且，则的值为_______． 7. 如图所示，已知锐角中，，，将绕点逆时针旋转至位置，恰好使得于，且，连接，则的长为______． 8. 我们把不超过实数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．如：，，；，，，则下列说法正确的是 _________（填序号）． ①； ②如，则实数的取值范围是； ③若且，则； ④方程的实数解有4个． 9. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“神奇数”，例如：四位数1428，∵，∴1428是“神奇数”；又如四位数3526，因为，∴3526不是“神奇数”．若一个“神奇数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，则满足条件的所有“神奇数”的平均数是 _________． 10. 如图所示，平面直角坐标中，四边形是矩形，点A在第一象限，点B、C在第二象限，，将沿OB翻折至，反比例函数恰好经过点B和点，连接交x轴于点M，则点M的坐标为 ______． 二、解答题（11题10分，12、13题每题15分，14、15题每题20分） 11. 近年来，抽盲盒成为当下青少年喜欢的消费方式，小王同学就乐于收集某商家出品的星球大战系列盲盒和精灵天团系列盲盒，十月份他在线下实体店购买了若干盒星球大战盲盒和精灵天团盲盒，分别花费260元和375元，若星球大战的单价比精灵天团的单价少10元，精灵天团的数量比星球大战的数量多1个． （1）十月份，小王购买的星球大战和精灵天团的盲盒单价分别为多少元？ （2）十一月份，商家在“双十一”开启了打折促销活动．其中星球大战的单价下降了5元，精灵天团的单价下降了．小王为了抽取隐藏款，果断增加了购买量，星球大战购买数量在十月份基础上增加了，精灵天团购买数量在十月份的基础上增加了，结果这次购物的金额比十月份增加了208元，求m的值． 12. 如图1，四边形是边长为4的正方形，两对角线交点为O，有两个动点E、F同时从点A出发，点E以每秒1个单位长度的速度沿边从A向点B运动，点F以每秒2个单位长度的速度沿折线方向运动，当其中一点到达终点时另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒，的面积为，的面积为． （1）请直接写出、关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围． （2）在图2给定的平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，并写出函数的一条性质． （3）结合函数图象，求出和面积相等时的t的值． 13. 如图，筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写道：“水能利物，轮乃曲成”．如图，半径为的筒车按逆时针方向每分钟转1圈，筒车与水面分别交于点A、B，筒车的轴心O距离水面的高度长为，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间．                   （1）浮出水面2.5秒后，盛水筒P距离水面约多高？ （2）若接水槽所在直线是的切线，且与直线交于点M，已知，求盛水筒P从最高点开始，至少经过多长时间可以将水倒入水槽中（即点P恰好在直线上）？（参考数据，，，） 14. 平面直角坐标系中，抛物线（，均为常数）与轴相交于点，与轴相交于、两点，连接，过点作交抛物线于点． （1）求出该抛物线的函数表达式及点的坐标； （2）如图1，已知点是线段上方抛物线上一点，过点作轴交于，在线段和线段上分别有两个动点、，且满足，是的中点，当取得最大值时，在线段上是否存在一点，使得的值最小？若存在，请求出点的坐标以及的最小值；若不存在，请说明理由． （3）如图2，是线段上一定点，且满足，连接，将线段沿轴向下平移6个单位至，连接，是线段上一动点，点、同时绕点逆时针旋转，应对点分别是、．在旋转过程中，当是直角三角形时，请直接写出此时的坐标． 15. 如图1，等腰中，，，是边上一动点，以为边在的右侧作一个等边． （1）当与所夹锐角为时，求的长． （2）如图2，连接，取中点，再连接、． ①求证：； ②在射线上另有一动点，且，连接．当的值最小时，求出此时四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 巴蜀数学随堂练习 一、填空题（每题7分，共70分） 1. 有1、2、三个数，小明分别对这三个数求了绝对值；小亮分别对这三个数求了倒数；小颖分别对这三个数求了次幂．将小明、小亮、小颖三人求得的数各任意选一个相乘，则乘积恰好为整数的概率为 ___________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率． 先根据绝对值的意义、倒数的定义和负整数指数幂的意义计算出小明、小亮、小颖所得到的数，再画树状图展示所有27种等可能的结果，接着找出乘积恰好为整数的结果数，然后根据概率公式计算． 【详解】解：，，， 1、2、的倒数分别为1、、， ，，， 画树状图为： 共有27种等可能的结果，其中乘积恰好为整数的结果数为7， 所以乘积恰好为整数的概率． 故答案为：． 2. 已知，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把代入化简后的式子进行计算，即可解答, 准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解： ， ∵， ∴， 当时，原式， 故答案为：． 3. 如图，在平行四边形中，是对角线，，以点A为圆心，以的长为半径作，交边于点E，交于点F，连接．且，则阴影部分的面积为 _____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形的面积的计算，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．连接，根据平行四边形的性质得到，求得，根据全等三角形的性质得到，根据已知条件得到是等边三角形，求得，得到，得到，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 4. 将图1所示的菱形沿两条对角线剪开后重新拼成图2、图3两种图案，其中图2得到的大正方形的面积为5，图3得到的图形的外轮廓的周长为，则图1中______． 【答案】##0.8 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质和解直角三角形，根据菱形的性质，勾股定理，结合勾股定理去解直角三角形即可，熟练掌握相关的性质是解答本题的关键． 【详解】由题意可知：图得到的大正方形的面积为，所以每一个直角三角形的斜边长为，在图中， 图形的外轮廓的周长为， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理可得：， 解得：， （舍去）， ∴在图中，过点作 于点，，， ∵四边形是菱形， ∴菱形的面积， 即：， 解得：， 在 中，， 故答案为：． 5. 若关于x的一元一次不等式组有解且至多有6个整数解，且关于y的分式方程的解是整数，则所有满足条件的整数m的值之和为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式组的整数解的个数确定m的取值范围，再根据分式方程的整数解确定m的取值范围，从而求出符合条件的所有整数即可得结论．本题考查了不等式组的整数解、分式方程的解，解决本题的关键是根据不等式组的整数解的个数及分式方程的解确定m的取值范围． 【详解】解：分式方程去分母得：， 整理，得， 故 ∵方程有整数解，且， ∴，，，，且，， 解得，，， 解不等式组得：， ∵不等式组至多有6个整数解， ∴， ∴， ∴或， ∴符合条件的所有整数m的和是， 故答案为：． 6. 若实数、，满足，，且，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的定义，根与系数的关系，完全平方公式及其变式，灵活运用一元二次方程根的定义和根的判别式是解题的关键． 由已知和是一元二次方程的两根，再根据一元二次方程根与系数的关系求出和的值，再利用完全平方公式的变式即可解决问题． 【详解】解：若实数、，满足， 和是一元二次方程，即的两根， ，即， ， ， ， ， 故答案为：． 7. 如图所示，已知锐角中，，，将绕点逆时针旋转至位置，恰好使得于，且，连接，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，过点作，，根据旋转的性质得出，再根据等腰三角形的性质和矩形的性质求出，再证明，利用相似比即可解答，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作，，如图，则， 根据旋转的性质可得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 8. 我们把不超过实数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．如：，，；，，，则下列说法正确的是 _________（填序号）． ①； ②如，则实数的取值范围是； ③若且，则； ④方程的实数解有4个． 【答案】① 【解析】 【分析】此题是代数综合题，主要考查与实数有关的新定义问题，由，推出的范围，可判断①；由知，解这个不等式组，可判断②；分两种情况：当时，，当时，，分别求出的值，可判断③；由题意推出，再由不等式的性质推出，则的值为或或0或1或2，进一步求出的值，可判断④． 【详解】解：①， ， ， ， 因此①是正确的； ②， ， 解得， 因此②是错误的； ③， 当时，， ， ， ， 当时，， ， ， ， 综上，的值为或， 因此③是错误的； ④，， ， ， ， ， ， ，则的值为或或0或1或2， 当时，， ， ； 当时，， ， ； 当时，， ， ； 当时，， ， ； 当时，， ， ， 综上，方程的实数解有，，0.4，1.6，2.8，共5个， 因此④是错误的． 故答案为：①． 9. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“神奇数”，例如：四位数1428，∵，∴1428是“神奇数”；又如四位数3526，因为，∴3526不是“神奇数”．若一个“神奇数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，则满足条件的所有“神奇数”的平均数是 _________． 【答案】4725 【解析】 【分析】本题考查新定义和整式加减的应用．理解新定义的意义是解决本题的关键．注意要综合利用所给条件进行推理．根据，可得这个“神奇数”的各个数字之间的第一个关系，进而根据与的和能被9整除可得“神奇数”各个数字的另一个关系，结合各个数位上数字的特点和两个关系式，可判断出这个四位数各个数位上可能的数，也就得到了这些“神奇数”，进而求出这些数的平均数即可． 【详解】解：由题意可得，“神奇数”的千位上的数字为a，百位上的数字为b，十位上的数字为c，个位上的数字为d． ∴， ∴， ∴； ∵，． ∴ ， ∵与的和能被9整除， ∴， ∴是9的倍数， ∴． ∵，a，b，c，d均为1到9之间的数， ∴当时，，则， ∴，， 当时，，则， ∴，； 当时，，则， ∴，． ∴这些“神奇数”为：6813，4725，2637． ∴这些“神奇数”的平均数为：． 故答案为：4725． 10. 如图所示，平面直角坐标中，四边形是矩形，点A在第一象限，点B、C在第二象限，，将沿OB翻折至，反比例函数恰好经过点B和点，连接交x轴于点M，则点M的坐标为 ______． 【答案】## 【解析】 【分析】过点作轴于D，于G，过点B作轴于E，交的延长线于F，过C作于H，根据矩形及翻折的性质得，，再根据反比例函数比例系数的几何意义得：，由此可得，设设，，其中，利用坐标与图形以及解一元二次方程求得，则点；利用待定系数法求得直线的表达式为，再证四边形为矩形得到 ，进可求得直线的表达式为，则；证得，利用坐标与图形性质得到，进而解方程求得b值即可求解． 【详解】解：过点作轴于D，于G，过点B作轴于E，交的延长线于F，过C作于H，如图所示： ∵四边形为矩形，且， ∴， ∵将沿翻折至， ∴，， ∴， ∵轴，轴， ∴四边形为梯形， 根据反比例函数比例系数的几何意义得：， ∵， 设，，其中， 则，，，，则， ∴， ∴， 整理得：， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点； 设直线的表达式为：， 将代入，得， ∴直线的表达式为： ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 设直线的表达式为， 将点代入，得：， ∴直线的表达式为， 当时，， ∴点M的坐标为， ∵轴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ，，， ∴， 即， 整理得： ， 解得或（舍去）， ∴或（不合题意，舍去） ∴， ∴点M的坐标为． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的图象，反比例函数比例系数的几何意义，矩形的性质，图形的翻折及其性质，相似三角形的判定和性质，待定系数法求一次函数的表达式等，理解反比例函数比例系数的几何意义，矩形的性质，图形的翻折及其性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，待定系数法求一次函数的表达式是解决问题的关键． 二、解答题（11题10分，12、13题每题15分，14、15题每题20分） 11. 近年来，抽盲盒成为当下青少年喜欢的消费方式，小王同学就乐于收集某商家出品的星球大战系列盲盒和精灵天团系列盲盒，十月份他在线下实体店购买了若干盒星球大战盲盒和精灵天团盲盒，分别花费260元和375元，若星球大战的单价比精灵天团的单价少10元，精灵天团的数量比星球大战的数量多1个． （1）十月份，小王购买的星球大战和精灵天团的盲盒单价分别为多少元？ （2）十一月份，商家在“双十一”开启了打折促销活动．其中星球大战的单价下降了5元，精灵天团的单价下降了．小王为了抽取隐藏款，果断增加了购买量，星球大战购买数量在十月份基础上增加了，精灵天团购买数量在十月份的基础上增加了，结果这次购物的金额比十月份增加了208元，求m的值． 【答案】（1）小王购买的星球大战的盲盒单价为65元，精灵天团的盲盒单价为75元 （2）m的值为10 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）设小王购买的星球大战的盲盒单价为x元，则精灵天团的盲盒单价为元，根据分别花费260元和375元，精灵天团的数量比星球大战的数量多1个．列出分式方程，解方程即可； （2）根据这次购物的金额比十月份增加了208元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设小王购买的星球大战的盲盒单价为x元，则精灵天团的盲盒单价为元， 由题意得：， 解得：，， 经检验，，都是原方程的解，但不符合题意，舍去， ∴， ∴， 答：小王购买的星球大战的盲盒单价为65元，精灵天团的盲盒单价为75元； 【小问2详解】 解：由（1）可知，，， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：的值为10． 12. 如图1，四边形是边长为4的正方形，两对角线交点为O，有两个动点E、F同时从点A出发，点E以每秒1个单位长度的速度沿边从A向点B运动，点F以每秒2个单位长度的速度沿折线方向运动，当其中一点到达终点时另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒，的面积为，的面积为． （1）请直接写出、关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围． （2）在图2给定的平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，并写出函数的一条性质． （3）结合函数图象，求出和面积相等时的t的值． 【答案】（1）关于t的函数表达式为，关于t的函数表达式为 （2） 解：如图，即为所求函数的图象， 函数的一条性质为：时，y随t的增大而减小，或时，y随t的增大而增大； （3）或3 【解析】 【分析】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，三角形的面积，动点问题，函数图象，解决本题的关键是结合图象得到函数的性质． （1）分两种情况讨论：当点F在上时，当点F在上时，分别求出三角形的面积； （2）结合（1）画出函数图象，进而可以写出该函数的性质； （3）结合函数图象，即可写出和面积相等时的t的值． 【小问1详解】 解：根据题意可知：当点F在上时，， ∴， ∵四边形是边长为4的正方形，O是正方形的中心， ∴的面积为， ∵， ∴， ∴的面积为， 当点F在上时，， ∴的面积为， ∵， ∴； 综上所述：关于t的函数表达式为，关于t的函数表达式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当时，令，则， 解得：或（不符合题意，舍去）， 由函数图象可知：当和面积相等时，或3． 13. 如图，筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写道：“水能利物，轮乃曲成”．如图，半径为的筒车按逆时针方向每分钟转1圈，筒车与水面分别交于点A、B，筒车的轴心O距离水面的高度长为，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间．                   （1）浮出水面2.5秒后，盛水筒P距离水面约多高？ （2）若接水槽所在直线是的切线，且与直线交于点M，已知，求盛水筒P从最高点开始，至少经过多长时间可以将水倒入水槽中（即点P恰好在直线上）？（参考数据，，，） 【答案】（1）此时盛水简P距离水面的高度 （2）从最高点开始运动，6.5秒后盛水筒P恰好在直线上 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质、锐角三角函数、矩形的判定与性质、旋转等知识，灵活运用题目所给数量关系以及特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）先根据时间和速度求出，进而得出，最后利用三角函数计算出，从而得到盛水筒P距离水面的高度； （2）先确定当P在直线上时，此时P是切点，再利用三角函数得到，，从而计算出，最后再计算出时间即可． 【小问1详解】 解：连接，过点P作，，垂足为D、H，如图： 则， ∴四边形是矩形， ∴， 由题意得，筒车每秒转， 盛水简P浮出水面2.5秒后，此时， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 答：此时盛水简P距离水面的高度； 【小问2详解】 解：如图，因为点P在上，且与相切，所以当P在直线上时，此时P是切点， 连接，所以， 在中，， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴需要的时间为（秒）， 答：从最高点开始运动，6.5秒后盛水筒P恰好在直线上． 14. 平面直角坐标系中，抛物线（，均为常数）与轴相交于点，与轴相交于、两点，连接，过点作交抛物线于点． （1）求出该抛物线的函数表达式及点的坐标； （2）如图1，已知点是线段上方抛物线上一点，过点作轴交于，在线段和线段上分别有两个动点、，且满足，是的中点，当取得最大值时，在线段上是否存在一点，使得的值最小？若存在，请求出点的坐标以及的最小值；若不存在，请说明理由． （3）如图2，是线段上一定点，且满足，连接，将线段沿轴向下平移6个单位至，连接，是线段上一动点，点、同时绕点逆时针旋转，应对点分别是、．在旋转过程中，当是直角三角形时，请直接写出此时的坐标． 【答案】（1）， （2）存在，最小值为 （3）坐标为或， 【解析】 【分析】（1）由二次函数的交点式得出抛物线的解析式，可推出，从而得出，求得的值，进一步得出结果； （2）设，，则，从而表示出，进而求得点坐标，作点关于的对称点，交于，作于，可得出，，从而得出，，进而得出，可推出点在以为圆心，1为半径的圆上运动，连接，交于，交于，此时最小，进一步得出结果； （3）可求得，，，点、绕点，逆时针旋转分别至，，及，，可求得，，，，从而得出的解析式为：，直线的解析式为：，可得出当，时，，进而求得点坐标；设，此时的中点，当时，，从而，求得的值，进一步得出结果． 【小问1详解】 解：由题意得， ， 当时，， ， ， ， ∴， ， ∴， 设点，过点D作轴于点I， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图1，∵，， 设直线解析式为：， ∴有， 解得：， ∴直线解析式为：， 设，， ∴， 过点P作于点，则， 由得，， ∴， ∴， ， 当时，最大， ， ， 作点关于的对称点，交于，作于， 由得，， ∴， ∴， ∵， ∴，由勾股定理得 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∵ ， ，点是的中点， ， 点在以为圆心，1为半径的圆上运动， 连接，， ∵，当点共线时取得最小值为， ， 的最小值为：； 【小问3详解】 解：如图2， ，， ， ， ∴由平移得，， 点、绕点，逆时针旋转分别至，，及， 过点X作轴，则， ∴， ∴， ∴， ∴ 同理可求，，， 同（2）可求直线的解析式为：，直线的解析式为：， 把代入得，，此时， 当时，， ， ， 设，此时的中点， 当时，， ， ， ， ，， 综上所述：坐标为或，． 【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定与性质，求一次函数的解析式，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是较强的计算能力． 15. 如图1，等腰中，，，是边上一动点，以为边在的右侧作一个等边． （1）当与所夹锐角为时，求的长． （2）如图2，连接，取中点，再连接、． ①求证：； ②在射线上另有一动点，且，连接．当的值最小时，求出此时四边形的面积． 【答案】（1）或 （2） ①证明：如图2， 过点作于，延长到，使得，连接，和所在的直线交于点， 是等边三角形， ，， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ， ， ． ② 【解析】 【分析】（1）作于，可求得和，进而求得，进一步得出结果； （2）①于，延长到，使得，连接，和所在的直线交于点，可证得，从而，，从而得出，进而推出，从而可证得，从而得出，，可证得，结合得出，从而推出四边形是平行四边形，进而推出四边形是矩形，从而，进一步得出结论； ②作，且使，连接，，交于，作于，可证得，从而，从而得出，故当、、共线时，最小，即最小，即在处，可求得，，，从而，进而得出，即，求得的面积，从而求得的面积，进一步得出结果． 【小问1详解】 解：如图，作于， 当点在的延长线上时， ， ，， ，， ，， ， ， ， 如图， 当点在上时， 由上知：， ， 总上所述：或； 【小问2详解】 ①略． ②解：如图3， 作，且使，连接，，交于，作于， ，， ， ， ， ， 当、、共线时，最小，即最小，即在处， 由（1）知，， ， ， ， ， 即：， 如图4， 由①知：，四边形是矩形， ， 而，， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $