2.4圆周角 解答题专题提升训练 2024-2025学年苏科版九年级数学上册

2024-2025学年苏科版九年级数学上册《2.4圆周角》解答题专题提升训练（附答案） 1．如图，已知的内接，为直径，于点，连接． 求证：． 2．如图，已知为直径，是弦，且，连接、． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 3．如图，是以为直径的圆，点在圆上，连接和，其中弦等于半径的长． (1)实践与操作：在直径的下方，利用无刻度直尺和圆规作出弧的中点．（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)推理与计算；求的度数；连接，若的半径为，求的长． 4．如图，，连接 (1)求的度数； (2)若弧与弧相等，求证：四边形是菱形． 5．如图，内接于⊙是⊙的直径，为优弧的中点，连接，延长交于点． (1)求证：． (2)求证：． 6．如图，的两条弦，垂足为，点在上，平分，连接，分别交于于．    (1)求证：； (2)连接，若的半径为2，求的长． 7．如图，为的直径，是弦延长线上一点，，的延长线交于点，连接． (1)求证：． (2)若的度数为，求的度数． 8．如图，已知是的直径，点是上一点，连结，，点为的中点，连结交于点． (1)求证：； (2)若，，求长． 9．如图，在中，直径垂直弦于点，连接，，，作于点，交线段于点（不与点，重合），连接． (1)若，求的长； (2)多解法：若，猜想的度数，并证明你的结论． 10．如图所示，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，． 如图，圆内接四边形ABCDABCD的对角线ACAC，BDBD交于点EE，BDBD平分∠ABC∠ABC，∠BAC=∠AD (1)求证：平分，并求的大小； (2)过点作交的延长线于点，若，，试求四边形的面积和此圆半径的长． 11．如图，圆内接四边形的对角线，交于点E，平分，． (1)求证：平分，并求的大小． (2)过点C作交的延长线于点F，若，，求圆的半径． 12．已知，等腰中， ． (1)如图1，当的三个顶点都在上时，求的度数； (2)如图2，当 的两个顶点 B，C在上时，分别交于点 D，E，求证： ． 13．如图， 内接于， 点 D在上， 点F在 上， 与交于点 E， ， (1)如图1， 求证： ； (2)如图2， 射线交于点G， 过A作 于点M， 交于点H， 求证： 14．已知是圆的内接四边形的两条对角线，相交于点，且． (1)如图，求证：． (2)在图中找出一组全等的三角形，并给出证明． (3)如图，圆的半径为，弦于点，当的面积为时，求的长． 15．已知内接于，于点． (1)如图，求证：； (2)如图，改变点的位置，延长依次交，于点，，若，求证：； (3)在（2）的条件下，连接并延长，交边于点，若，，求线段的长． 16．如图，在中，已知，以为直径的交直线于点D，交直线于点E． (1)如图①，若，，求的长； (2)如图②，连接，当为锐角时，试判断与之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图③，连接．当为钝角时，试判断∠与之间的数量关系是否与（2）中你得出的数量关系相同？若相同，请证明；若不同，请说明理由． 17．【定义新知】定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． 【初步应用】（1）如图1，四边形是圆美四边形，是美角． ①的度数为_________； ②连接，若的半径为5，求线段的长； 【拓展提升】 （2）如图2，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接，若平分，若的半径为6，求的最大值是多少？ 18．如图，已知四边形内接于，连接交于点E，且平分． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，求证，是等边三角形； (3)如图3，在（2）的条件下，将沿翻折得到的射线交线段于点M，交于点N，若，求线段的长． 19．如图，等边内接于，点P是劣弧上的一点（端点除外），连接，延长至点D，使，连接． (1)如图1，若经过圆心O． ①求的度数； ②猜想是何种特殊三角形，并加以证明． (2)数学课代表小明经过探究发现：“无论点P在劣弧上怎样运动（如图2），的大小不会发生变化．”你认为小明的说法正确吗？请说明理由． 20．已知：如图1，内接于，是的直径，平分． (1)求证：； (2)如图2，分别在弧、弧上取点D和E，连接、交于点F、G，连接，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，，，，求的长． 参考答案： 1．解：是圆的直径， ， ∴， ， ， ∴， ， ． 2．（1）证明：∵为直径，是弦，， ∴， ∴； （2）解：设的半径为R，根据题意，得 则， 又， 在中，由勾股定理可得， ， 即， 解得， 即：的半径为5． 3．解：（1）过点作交于点，点即为所求，如图所示： （2）连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴； 过点作交的延长线于点， 由得：是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴． 4．解：（1）∵四边形内接于， ∴ ∴ （2）解：如图：连接 ∵弧与弧相等 ∴ ∵， ∴ ∵ ∴等边三角形， ∴ 四边形是菱形； 5．（1）证明：延长交于F， ∵为优弧的中点， ∴，，即垂直平分， ∴， ∴； （2）解：∵是⊙的直径， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 6．（1）证明：， ， 平分， ， 又， ， 又， ， ， ， ； （2）解：如图，连接，，，，    ，， ， ， 又， 为的中点． 由（1）知，， 为的中点， 是的中位线， ． ， ， 是等腰直角三角形， ． ， ， 7．（1）证明：如图：连接， 是的直径， ， 又， ， ， ， ； （2）解： 的度数为， ， 又，， ． 8．（1）证明：连接， ∵是弧AC中点， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴； （2）解：设圆的半径是， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 9．（1）解：直径垂直弦， ， ， ， ， 由圆周角定理得， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，证明如下： 解法一：如图①，延长交于点，连接， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ． 解法二：如图②，连接， ， ， 直径垂直弦， ，， ， ， ， 设，， 则，， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，即， ， ． 10．（1）证明：，， ， 平分， 平分， ， 四边形是圆内接四边形， ， ， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， 是圆的直径， 垂直平分， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 四边形是圆内接四边形， ， ， ， ， ，， ， 是圆的直径， 圆的半径长是4， ． 11．（1）证明：∵，， ∴， ∴平分． 平分， ∴． ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，． ∴， ∴． ∵， ∴是圆的直径， ∴垂直平分， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴ ∵四边形是圆内接四边形， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴． ∵是圆的直径， ∴圆的半径长是4． 12．（1）解：等腰中， ． ∴， ∴， ∴， （2）证明：连接， ∵等腰中， ． ∴， ∵， ∴， ∴ 13．（1）证明：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴． （2）证明：∵于点M ∴ ∴ 由（1）知 ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∵点A、B、D、H四点共圆， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 14．（1）证明：∵， ∴， ∴， 即， ∴， 即， ∴； （2）解：． 证明：由（）得，， 在和中， ， ∴； （3）解：如图，连接， ∵， ∴， 同理（）可得， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 设，， 在中，由勾股定理得， ∴， 又∵的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．（1）证明：如图中，延长交于，连接． 是直径， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）证明：由可知，， ， ， ， ， ． （3）解：如图中，连接、、． 由可知， ， ，，， ，， 在和中， ， ≌， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ，垂足为， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， ． 16．（1）证明：令与相交于点，连接，， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 解得， ； （2）证明：； 连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ； （3）证明：相同，理由如下： 连接， 是的直径， ， ， ， ， ， 四边形内接于， ， ， ， ． 17．解：（1）①∵四边形是圆美四边形，是美角， ∴， ∴， 解得， 故答案为：60． ②作圆的直径，连接， 则 ∵圆的半径为5， ∴， ∵， ∴. ∴． （2）如图，延长到点M，使得，连接， ∵四边形是圆美四边形，是美角， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵是的一条弦， ∴当是直径时，取最大值， 即的最大值是． 18．（1）证明：平分， ， 弧弧， ， 弧弧， ， ， ； （2）证明：如图：弧弧， ，且， ， ， 且， 为等边三角形； （3）解：如图：设， 为等边三角形， ， ， 弧弧， ， ， 弧弧， ， 弧弧， ， ， ， ， ， ， 在上截取，且， 是等边二角形， ， ，且， ， ， ． 19．（1）解：①∵是等边三角形， ∴， ∴，又经过圆心O， ∴， ∴； ②等边三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴等边三角形； （2）解：无论点P在劣弧上怎样运动，的大小不会发生变化，理由如下： 在和中， ， ∴， ∴， 又， ∴等边三角形， ∴， ∴无论点P在劣弧上怎样运动，的大小不会发生变化． 20．（1）证明：连接，，如图所示， 是直径， ， 平分， ，又， ， ， 是的垂直平分线，即． （2）连接，如图所示， ， ， ， ， ， 是的外角， ， ， （3）在上取点，使得，连接，过点作于，在上取一点，使得，连接，如图所示， 由（2）得，四边形内角和为， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ，， ， ， 为的外角， ，即， ，即， 设，由于，则， ， ， ， 在中，， 取作辅助线， 在中，，， ，解得， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$