2.5 圆的方程基础题型总结（二）课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

新授课 圆的方程基础题型总结 第二章 直线和圆的方程 知识框架 圆 圆的方程 直线与圆位置关系 圆与圆的位置关系 标准方程： 一般方程：D2+E2-4F>0时， x2+y2+Dx+Ey+F=0 关键点：圆心，半径，距离 一、圆方程的求解 1. 求出下列圆的标准方程 (1)圆心在原点,半径为3； (2)经过点P(5,1),圆心是点C(8,-3)； (3)求过两点A(0,4)和B(4,6), 且圆心在直线x-y+1=0上的圆的标准方程. (4)圆心在直线5x-3y=8上, 又与两坐标轴相切，求圆的方程. (5)求过三点A(0,0)，B(0,3), C(0,4)圆的标准方程。 2、 求过三点 O(0, 0), M1(1, 1), M2(4, 2) 的圆的方程及圆的半径和圆心坐标. 二、圆方程相关参数的计算 1、已知圆C的一般方程为x2＋y2＋2ax＋9＝0，它的圆心C(5,0)，则圆C的半径r＝_____. 2．若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为( 　　) A．－1 B．1 C．3 D．－3 2．已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，直线与圆 (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点． 3．已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0(a>0)， 圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a>0)．试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为： (1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含？ 4、已知⊙C: (x－1)2＋(y－2) 2＝2, P(2,－1), 过P作⊙C的切线, 切点为A, B. 求: (1) 直线PA、PB的方程； (2) 过点P与⊙C相切的切线长； (3) ∠APB的余弦； (4) 以PC为直径的圆的方程； (5) 直线AB的方程. x y O P A B C 5、已知圆C: x2＋y2＝4. (1) 过点 (1,)与圆C相切的切线方程为__________________； (2) 过点(2,3)与圆C相切的切线方程为____________________. 6、已知点B(2,-2)以及圆 x2＋y2－6x＝0与圆 x2＋y2＝4交点的圆方程 7、已知点O(0,0)在圆x2＋y2＋kx＋2ky＋2k2＋k－1＝0外，求k的取值范围． 三、弦长（垂径定理） 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分这条弦所对的两条弧. x y O A B d r (1)几何法：用弦心距d，半径r及半弦构成直角三角形的三边. (3)代数法（弦长公式法）：不算出两交点，设而不求 由垂径定理，得 (2)代数法：计算出两交点 2、过点(－4,0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B两点，如果|AB|＝8，求直线l的方程． 1．求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长|AB|. 3．已知圆C：x2+y2＝8，直线l：kx-y + k + 2＝0． （1）求证：直线l与圆C必相交； （2）求直线l被圆C截得的弦长最长时直线l的方程． （3）求直线l被圆C截得的弦长最短时直线l的方程以及最短弦长． 四、圆中的范围和最值的问题 1. 已知点P (x, y)上圆C: (x-1)2+(y-1)2=1上点. （1）求原点到点P的距离d的最大值和最小值 （2）求的最值 （3）求的最值 x y O C(1,1) P 2. 实数x，y满足方程(x-2)2+y2=3. (1) 求的取值范围 (2) 求y-x取值范围 (3) 求x2+y2取值范围 x O(0,0) y (2,0) • • • • 3、设点P(x, y)在圆C：x2＋(y－1)2＝1上运动，求： (1) x2+y2+2x+2的最值； (2) 的最小值； (3) 直线l:x－y－2＝0上的点到圆的距离的最值； (4) 若圆上有且只有四个点到直线3x－4y＋m＝0的距离为，求m的取值范围． x y O C(0,1) 5.已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(0，－1)，B(0,1)，设P是圆C上的动点，令d＝|PA|2＋|PB|2，求d的最大值及最小值． 4．已知点P在圆x2+y2＝4上运动，A（1，2），B（2，-2），求|PA|2+|PB|2的最大值． 7．设点P（x，y）是曲线上的任意一点，则的取值范围是（　　） A． B． C．[0，2] D． 6、曲线与x轴形成图形的面积为 . 8、已知⊙C x2＋y2－x＋2y＝0, 关于l： x－y＋1＝0对称的圆方程. 9、已知点A是⊙C1 (x－1)2＋(y＋1) 2＝1上的点,点B是⊙C2 (x－3)2＋(y－4) 2＝1上的点，点P为x轴上的动点，， (1)求|PA| - |PB|的最小值. (2)求|PA|+ |PB|的最小值. x y O C2 C1 五、圆的综合运用 （多选）1．已知圆M：（x-2）2+（y-2）2＝4与直线l：2kx+y﹣k-2＝0相交于C，D两点，O为坐标原点，则下列说法正确的是（　　） A．直线l过定点 B．若CD⊥OM，则 C．|CD|的最小值为 D．△MCD的面积的最大值为2 （多选）2．圆O1：x2+y2﹣2x＝0和圆O2：x2+y2+2x﹣4y＝0的交点为A，B，则有（　　） A．公共弦AB所在直线方程为x﹣y＝0 B．线段AB中垂线方程为x+y﹣1＝0 C．公共弦AB的长为 D．P为圆O1上一动点，则P到直线AB距离的最大值为1 （多选）3．若直线kx﹣y+2k＝0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4有公共点，则实数k的取值可能是（　　） A．0 B．2 C．3 D．4 4．已知动点P与两个定点A（1，0），B（4，0）的距离的比是2． （1）求动点P的轨迹C的方程； （2）直线l过点（2，1），且被曲线C截得的弦长为，求直线l的方程． 【解答】解：（1）设点P（x，y）， ∵动点P与两个定点A（1，0），B（4，0）的距离的比是2，∴，即|PA|＝2|PB|， 则， 化简得x2+y2﹣10x+21＝0， 所以动点P的轨迹C的方程为（x﹣5）2+y2＝4； （2）由（1）可知点P的轨迹C是以（5，0）为圆心，2为半径的圆， ∵直线被曲线C截得的弦长为，∴圆心（5，0）到直线l的距离， ①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，此时圆心到直线l的距离是3，不符合条件； ②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y﹣1＝k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k+1＝0， 所以圆心（5，0）到直线l的距离， 化简得9k2+6k+1＝k2+1，解得k＝0或， 此时直线l的方程为y＝1或3x+4y﹣10＝0．综上，直线l的方程是y＝1或3x+4y﹣10＝0． 5．已知圆C经过点A(1，3)、B(2，2)，并且直线m：3x﹣2y＝0平分圆C． （1）求圆C的方程； （2）过点D（0，1），且斜率为k的直线l与圆C有两个不同的交点M，N，且，求k的值． 【解答】解：（1）设圆C的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2， 圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1； （2）由题意直线l的方程为y＝kx+1， 联立，消去y得（1+k2）x2﹣4（1+k）x+7＝0， 设M（x1，y1），N（x2，y2）， 则Δ＝16（1+k）2﹣28（1+k2）＝0＝﹣4（3k2﹣8k+3）＞0，得， 故，而， 所以，故有， 解得k＝1，满足Δ＞0，所以k＝1． 6．已知圆C的圆心在直线2x+y﹣4＝0上，且与y轴相切于点O（0，0）． （1）求圆C的方程； （2）已知过点P（1，3）的直线l被圆C截得的弦长为，求直线l的方程． [正解]　∵方程表示圆，∴k2＋(2k)2－4(2k2＋k－1)＞0，即3k2＋4k－4＜0，解得－2＜k＜.又∵点O(0,0)在圆外，∴2k2＋k－1＞0，解得k＞或k＜－1.综上所述，k的取值范围是(－2，－1)∪. $$