2.2.4 第2课时 均值不等式的应用（Word练习）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教B版）

[基础巩固·夯基提能] 1．设a>0，b>0，且满足2a＋3b＝1，则＋的最小值为(　　) A．25　　 B．24　　　　 C．22　　 D．16 解析　因为2a＋3b＝1，所以＋＝＝13＋＋≥13＋2＝25， 当且仅当a＝b＝时，等号成立，所以＋的最小值为25. 故选A. 答案　A 2．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2m2、形状为直角三角形的框架，下列四种长度的铁丝选用最合理(够用且浪费最少)的是(　　) A．6.5 m B．6.8 m C．7 m D．7.2 m 解析　设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则ab＝2， ∴ab＝4，l＝a＋b＋≥2＋＝4＋2≈6.828(m). ∵要求够用且浪费最少，∴选用7 m的铁丝． 答案　C 3．已知a>0，b>0，＋＝1，若不等式2a＋b≥m恒成立，则m的最大值为(　　) A．2＋ B．3＋ C．3＋2 D．5 解析　由不等式2a＋b≥m恒成立可知，只需m小于等于2a＋b的最小值， 由a＞0，b＞0，＋＝1， 可得2a＋b＝(2a＋b)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当＝时，等号成立，∴m≤3＋2，∴m的最大值为3＋2，故选C. 答案　C 4．若a>0，b>0，且a＋b＝2ab，那么a＋2b的最小值是(　　) A．6 B．3＋2 C．2 D．＋ 解析　∵a>0，b>0，且a＋b＝2ab， ∴＋＝1. 则a＋2b＝(a＋2b)＝＋＋≥＋2＝＋， 当且仅当＝且＋＝1，即a＝， b＝时，等号成立． 所以a＋2b的最小值为＋. 答案　D 5．已知x>0，y>0，2x＋3y＝6，则xy的最大值为________． 解析　因为x>0，y>0，2x＋3y＝6，所以xy＝(2x·3y)≤·＝·＝. 当且仅当2x＝3y，即x＝，y＝1时，等号成立．xy取到最大值. 答案　 6．已知x>0，y>0，且x＋2y＝2，那么xy的最大值是________，＋的最小值是________． 解析　∵x>0，y>0，∴x＋2y＝2≥2， ∴2xy≤1，∴xy≤，当且仅当x＝2y， 即x＝1，y＝时等号成立． ∴xy的最大值是. 又由x＋2y＝2，得(x＋2y)＝1， ∴＋＝(x＋2y)＝ ≥(3＋2). 当且仅当x＝y，即x＝2－2，y＝2－时等号成立．∴＋的最小值是(3＋2). 答案　　(3＋2) 7．若不等式x2－ax＋1≥0对一切x∈(0，＋∞)恒成立，则a的取值范围是________． 解析　x2－ax＋1≥0，x∈(0，＋∞)恒成立⇔ax≤x2＋1，x∈(0，＋∞)恒成立⇔a≤x＋，x∈(0，＋∞)恒成立． ∵x∈(0，＋∞)，x＋≥2，∴a≤2. 答案　(－∞，2] 8．某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4 800 m3，深为3 m．如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池才能使总造价最低？最低总造价是多少？ 解析　设底面的长为x m，宽为y m，水池总造价为z元． 根据题意，有z＝150×＋120(2×3x＋2×3y)＝240 000＋720(x＋y). 由容积为4 800 m3，可得3xy＝4 800. 因此，xy＝1 600. 故z＝240 000＋720(x＋y)≥240 000＋720×2＝240 000＋720×2＝297 600， 当且仅当x＝y，即x＝y＝40时，等号成立． 所以，将水池的底面设计成边长为40 m的正方形时总造价最低，最低总造价是297 600元． [关键能力·综合提升] 9．设a>1，b>0，若a＋b＝2，则＋的最小值为(　　) A．3＋2 B．6 C．4 D．2 解析　∵a>1，∴a－1>0，∵a＋b＝2， ∴(a－1)＋b＝1. 又b>0，∴＋＝·[(a－1)＋b]＝1＋＋＋2≥3＋2. 当且仅当＝，即a＝，b＝2－时，等号成立， ∴＋的最小值为3＋2，故选A. 答案　A 10．若正数x，y满足x2＋3xy－1＝0，则x＋y的最小值是(　　) A． B． C． D． 解析　由x2＋3xy－1＝0，可得y＝. 又x>0，所以x＋y＝＋≥2＝. 答案　B 11．已知不等式2x＋m＋>0对任意的x>1恒成立，则实数m的取值范围为________． 解析　∵2x＋m＋>0在x>1时恒成立， ∴m>－2x－＝－2＝－2， 又x>1时，x－1>0，x－1＋＋1≥2＋1＝5， 当且仅当x－1＝，即x＝3时，等号成立， ∴－2≤－2×5＝－10. ∴m>－10， ∴实数m的取值范围为(－10，＋∞). 答案　(－10，＋∞) 12．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是________． 解析　因为x>0，所以＝≤＝.当且仅当x＝1时，等号成立，所以的最大值为.所以a≥. 答案　 13．某种商品原来每件的定价为25元，年销售量为8万件． (1)据市场调查，若每件的定价每提高1元，年销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件的定价最高为多少元？ (2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入(x2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量至少为多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价． 解析　(1)设每件商品的定价为m元． 依题意，有m≥25×8， 整理，得m2－65m＋1 000≤0，解得25≤m≤40. 所以要使销售的总收入不低于原收入，每件商品的定价最高为40元． (2)设明年的销售量为a万件． 依题意，当x＞25时，ax≥25×8＋50＋(x2－600)＋x，即当x＞25时，a≥＋x＋，因为＋x≥2＝10(当且仅当x＝30时，等号成立)， 所以a≥10.2. 所以当该商品明年的销售量至少为10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时每件商品的定价为30元． [核心价值·探索创新] 14．设自变量x对应的因变量为y，在满足对任意的x，不等式y≤M都成立的所有常数M中，将M的最小值叫做y的上确界．若a，b为正实数，且a＋b＝1，则－－的上确界为(　　) A．－ B． C． D．－4 解析　因为a，b为正实数，且a＋b＝1， 所以＋＝×(a＋b)＝＋≥＋2＝， 当且仅当b＝2a，即a＝，b＝时等号成立， 因此有－－≤－，即－－的上确界为－. 答案　A 15．设a>b>c，且＋≥恒成立，求m的取值范围． 解析　由a>b>c，知a－b>0，b－c>0， a－c>0. 因此，原不等式等价于＋≥m. 要使原不等式恒成立，只需＋的最小值不小于m即可． 因为＋＝＋＝2＋＋ ≥2＋2＝4，当且仅当＝，即2b＝a＋c时，等号成立． 所以m≤4，即m∈(－∞，4]. 学科网（北京）股份有限公司 $$