2.2.4 第1课时 均值不等式（Word练习）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教B版）

[基础巩固·夯基提能] 1．不等式a2＋≥4中，等号成立的条件是(　　) A．a＝4 　　　　　　 B．a＝ C．a＝－ D．a＝± 解析　此不等式等号成立的条件为a2＝，即a＝±，故选D. 答案　D 2．若x>0，y>0，且xy＝10，则2x＋5y的最小值为(　　) A．20 B．10 C．2 D． 解析　由不等式2x＋5y≥2＝20，当且仅当2x＝5y时等号成立，又xy＝10，所以y＝2，x＝5时，2x＋5y取最小值20. 答案　A 3．已知y＝x＋－2(x<0)，则y有(　　) A．最大值为0 B．最小值为0 C．最大值为－4 D．最小值为－4 解析　∵x<0，∴y＝－－2≤－2－2＝－4， 当且仅当－x＝，即x＝－1时等号成立． 答案　C 4．(多选)已知a>0，b>0，则下列不等式中正确的是(　　) A．ab≤ B．ab≤ C．≥ D．≤ 解析　由a2＋b2≥2ab知B、C正确，由均值不等式知，ab≤， ∴≥，故A正确、D错误． 答案　ABC 5．已知－1<x<0，则当x(1＋x)取最小值时，x的值为________． 解析　∵－1<x<0，∴－x>0，1＋x>0， ∴－x(1＋x)≤＝， 当且仅当－x＝1＋x，即x＝－时，等号成立， ∴x(1＋x)≥－， 即x(1＋x)取最小值时，x的值为－. 答案　－ 6．设a＋b＝M(a＞0，b＞0)，M为常数，且ab的最大值为2，则M等于________． 解析　因为a＋b＝M(a＞0，b＞0)， 由基本不等式可得，ab≤＝， 因为ab的最大值为2， 所以＝2，M＞0，所以M＝2. 答案　2 7．已知a，b是不相等的正数，x＝，y＝，则x，y的大小关系是________． 解析　x2＝，y2＝a＋b＝. ∵a＋b>2(a>0，b>0且a≠b)，∴x2<y2.∵x>0，y>0，∴x<y. 答案　x<y 8．设a>0，b>0，且a＋b＝＋，证明：a＋b≥2. 证明　由a>0，b>0知a＋b>0，又a＋b＝＋＝，故ab＝1， 即有a＋b≥2＝2，当且仅当a＝b时等号成立， ∴a＋b≥2(当且仅当a＝b＝1时等号成立). [关键能力·综合提升] 9．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(　　) A． B．2 C．2 D．4 解析　因为＋＝，所以a＞0，b＞0， 因为＝＋≥2 ＝2 ， 所以ab≥2(当且仅当b＝2a时等号成立)， 所以ab的最小值为2. 答案　C 10．若x>1，则y＝的最小值为(　　) A．3 B．－3 C．4 D．－4 解析　∵x>1，∴x－1>0， ∴y＝＝＝x＋1＋＝(x－1)＋ ＋2≥2＋2＝4， 当且仅当＝x－1，即(x－1)2＝1时，等号成立，∴当x＝2时，y的最小值为4. 答案　C 11．设x>0，则y＝x＋－的最小值是______． 解析　因为x>0，所以x＋>0， 所以y＝x＋－＝＋－2≥2－2＝0， 当且仅当x＋＝，即x＝时等号成立，所以y＝x＋－的最小值为0. 答案　0 12．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式S＝求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦－秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a＝8，b＋c＝10，则此三角形面积的最大值为________． 解析　由已知可得p＝＝9， 所以S＝ ＝3≤＝12. 当且仅当b＝c＝5时，等号成立．故该三角形面积的最大值为12. 答案　12 13．已知a，b都是正数，求证：≤≤≤ . 证明　∵a>0，b>0，∴＋≥2， ∴≤， 即≤(当且仅当a＝b时等号成立). 又∵＝≤＝， ∴≤ (当且仅当a＝b时等号成立)， 又≥(当且仅当a＝b时等号成立). 故≤≤≤ (当且仅当a＝b时等号成立). [核心价值·探索创新] 14．(多选)《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E，则该图形可以完成的所有的无字证明为(　　) A．≥(a>0，b>0) B．a2＋b2≥2ab(a>0，b>0) C．≥(a>0，b>0) D．≥(a≥0，b>0) 解析　由AC＋CB＝a＋b，得OD＝，由Rt△ACD∽Rt△DCB可知CD＝＝， 又OD≥CD，∴≥(a>0，b>0)，A正确； 由Rt△CDE∽Rt△ODC可知CD2＝DE·OD，即DE＝＝＝， 又CD≥DE，即≥(a>0，b>0)，C正确. 答案　AC 15．已知a，b为正实数，且＋＝2. (1)求a2＋b2的最小值； (2)若(a－b)2≥4(ab)3，求ab的值． 解析　(1)因为a，b为正实数，且＋＝2，所以＋＝2≥2， 即ab≥. 因为a2＋b2≥2ab≥2×＝1， 所以a2＋b2的最小值为1. (2)因为＋＝2，所以a＋b＝2ab. 因为(a－b)2≥4(ab)3，所以(a＋b)2－4ab≥4(ab)3，即(2ab)2－4ab≥4(ab)3， 即(ab)2－2ab＋1≤0，(ab－1)2≤0. 因为a，b为正实数，所以ab＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $$