2.2.3 一元二次不等式的解法（Word练习）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教B版）

[基础巩固·夯基提能] 1．不等式－2x2＋x＋3<0的解集是(　　) A．{x|x<－1}　　　 B． C. D． 解析　法一　因为－2x2＋x＋3＝－(2x2－x－3)＝－(x＋1)(2x－3)， 所以－(x＋1)(2x－3)<0，即(x＋1)(2x－3)>0，所以x<－1或x>， 所以不等式的解集为. 法二　不等式－2x2＋x＋3<0可化为2x2－x－3>0， 因为Δ＝(－1)2－4×2×(－3)＝25>0， 所以方程2x2－x－3＝0的两根为x1＝－1，x2＝， 又二次函数y＝2x2－x－3的图象开口向上， 所以不等式－2x2＋x＋3<0的解集是. 答案　D 2．下列不等式的解集是空集的是(　　) A．x2－x＋1＞0 B．－2x2＋x＋1＞0 C．2x－x2＞5 D．x2＋x＞2 解析　对于A，可化为＋＞0，所以解集是R. 对于B，不等式可化为2x2－x－1＜0，即(2x＋1)·(x－1)＜0，即(x－1)＜0， 解得－＜x＜1； 对于C，不等式可化为x2－2x＋5＜0，故解集为∅； 对于D，不等式可化为x2＋x－2＞0，即(x＋2)(x－1)＞0，解得x＞1或x＜－2. 答案　C 3．若关于x的二次不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B．[－2，2] C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－2，2) 解析　∵x2＋mx＋1≥0的解集为R，∴Δ＝m2－4≤0，∴－2≤m≤2，故选B. 答案　B 4．不等式＜2的解集为(　　) A．{x|x≠－2} B．R C．∅ D．{x|x＜－2，或x＞2} 解析　因为x2＋x＋1＝＋>0，故原不等式⇔x2－2x－2＜2x2＋2x＋2⇔x2＋4x＋4＞0⇔(x＋2)2＞0，∴x≠－2.∴不等式的解集为{x|x≠－2}． 答案　A 5．不等式≥1的解集为________． 解析　因为≥1等价于≥0，所以≤0，等价于 解得－4<x≤. 所以原不等式的解集为. 答案　 6．不等式|x|(1－2x)>0的解集为________． 解析　当x≥0时，原不等式即为x(1－2x)>0， 所以0<x<； 当x<0时，原不等式即为－x(1－2x)>0， 所以x<0， 综上，原不等式的解集为(－∞，0)∪. 答案　(－∞，0)∪ 7．已知集合A＝{x|3x－2－x2<0}，B＝{x|x－a<0}，且B⊆A，则a的取值范围为________． 解析　A＝{x|3x－2－x2<0}＝{x|x2－3x＋2>0}＝{x|x<1或x>2}，B＝{x|x<a}． 若B⊆A，则a≤1. 答案　{a|a≤1} 8．解下列不等式． (1)2＋3x－2x2>0； (2)x(3－x)≤x(x＋2)－1； (3)x2－2x＋3>0； (4)≤3. 解析　(1)原不等式可化为2x2－3x－2<0，所以(2x＋1)(x－2)<0，解得－<x<2， 故原不等式的解集是. (2)原不等式可化为2x2－x－1≥0. 所以(2x＋1)(x－1)≥0，解得x≤－或x≥1， 故原不等式的解集为. (3)因为Δ＝(－2)2－4×3＝－8<0，二次函数的图象开口向上，故原不等式的解集是R. (4)不等式≤3可改写为－3≤0， 即≤0. 可将这个不等式转化成 解得－1<x≤1. 所以原不等式的解集为{x|－1<x≤1}． [关键能力·综合提升] 9．(多选)不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，则能使不等式a(x2＋1)＋b(x－1)＋c＜2ax成立的x的集合为(　　) A．{x|0＜x＜3} B．{x|x＜0} C．{x|x＞3} D．{x|－2＜x＜1} 解析　∵不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，∴－1和2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根且a＜0，∴－＝－1＋2＝1，＝－2， ∴b＝－a，c＝－2a， 由a(x2＋1)＋b(x－1)＋c＜2ax，得a(x2＋1)－a(x－1)－2a＜2ax，得ax2－3ax＜0.∵a＜0， ∴x2－3x＞0，∴x＜0或x＞3，∴原不等式的解集为{x|x＜0或x＞3}． 答案　BC 10．设a<－1，则关于x的不等式a(x－a)·<0的解集为(　　) A． B．{x|x>a} C． D． 解析　∵a<－1， ∴a(x－a)<0⇔(x－a)>0. 又a<－1，∴>a，∴x>或x<a. 答案　A 11．若不等式ax2－3x＋2>0的解集为{x|x<1或x>b}，则a＋b＝________，ax2－3x＋2≤0的解集为________． 解析　由题意知1，b为方程ax2－3x＋2＝0的两根，则a－3＋2＝0， 所以a＝1，b＝2.故a＋b＝3，而ax2－3x＋2≤0的解集为[1，2]. 答案　3　[1，2] 12．若关于x的不等式ax2－6x＋a2＜0的解集是(1，m)，则m＝________． 解析　因为ax2－6x＋a2＜0的解集是(1，m)，所以a＞0， 所以原不等式可化为a(x－1)(x－m)＜0，即(x－1)(x－m)＜0， 1，m是相应方程ax2－6x＋a2＝0的两根，所以解得m＝2. 答案　2 13．已知不等式ax2＋2ax＋1≥0对任意x∈R恒成立，求不等式x2－x－a2＋a<0的解集． 解析　∵ax2＋2ax＋1≥0对任意x∈R恒成立． 当a＝0时，1≥0，不等式恒成立； 当a≠0时，则解得0<a≤1.综上，0≤a≤1. 由x2－x－a2＋a<0，得(x－a)[x－(1－a)]<0. ∵0≤a≤1， ∴①当1－a>a，即0≤a<时，a<x<1－a； ②当1－a＝a，即a＝时，<0，不等式无解； ③当1－a<a，即<a≤1时，1－a<x<a. 综上，当0≤a<时，原不等式的解集为(a，1－a)； 当a＝时，原不等式的解集为∅； 当<a≤1时，原不等式的解集为(1－a，a). [核心价值·探索创新] 14．在R上定义运算：＝ad－bc，若不等式≥1对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为(　　) A．－ B．－ C． D． 解析　由定义知，不等式≥1等价于x2－x－(a2－a－2)≥1， ∴x2－x＋1≥a2－a对任意实数x恒成立． ∵x2－x＋1＝＋≥，∴a2－a≤，解得－≤a≤，则实数a的最大值为. 答案　D 15．某单位在对一个长800 m、宽600 m的草坪进行绿化时，是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示，若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，试确定花坛宽度的取值范围． 解析　设花坛的宽度为x m， 则草坪的长为(800－2x)m，宽为(600－2x)m， 根据题意得(800－2x)·(600－2x)≥×800×600， 整理得x2－700x＋60 000≥0， 解不等式得x≥600(舍去)或x≤100， 由题意知x>0，所以0<x≤100. 当x在(0，100]之间取值时，绿草坪的面积不小于总面积的二分之一． 学科网（北京）股份有限公司 $$