2.2.1 不等式及其性质（Word练习）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教B版）

[基础巩固·夯基提能] 1．(多选)若a>b，则下列各式不正确的是(　　) A．a－2>b－2　　　　　 B．2－a>2－b C．－2a>－2b D．a2>b2 解析　因为a>b，所以a－2>b－2，故选项A正确，2－a<2－b，故选项B错误，－2a<－2b，故选项C错误．a2，b2无法比较大小，故选项D错误．故选BCD. 答案　BCD 2．已知a∈R，p＝a2－4a＋5，q＝(a－2)2，则p与q的大小关系为(　　) A．p≤q　 B．p≥q　 C．p<q　 D．p>q 解析　因为p－q＝a2－4a＋5－(a－2)2＝1>0， 所以p>q，故选D. 答案　D 3．(多选)若a>b>0，c∈R，则下列结论正确的有(　　) A．a－b>0 B．a2>b2 C．ac>bc D．< 解析　因为a>b>0，c∈R， 对于A，a－b>0，A正确； 对于B，a2>b2，B正确； 对于C，当c<0时，ac<bc，C错误； 对于D，－＝<0，则<，D正确． 答案　ABD 4．若－1<α<β<1，则下列各式恒成立的是(　　) A．－2<α－β<0 B．－2<α－β<－1 C．－1<α－β<0 D．－1<α－β<1 解析　由－1<α<1，－1<β<1，得－1<－β<1，所以－2<α－β<2. 又因为α<β，故－2<α－β<0. 答案　A 5．已知a，b为实数，则(a＋3)(a－5)________(填“>”“<”或“＝”)(a＋2)(a－4). 解析　因为(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7<0， 所以(a＋3)(a－5)<(a＋2)(a－4). 答案　< 6．设实数a，b，c满足a＋b＋c＝1，则a，b，c中至少有一个数不小于________． 解析　假设a，b，c都小于，则a＋b＋c<1， 与已知矛盾．故a，b，c中至少有一个数不小于. 答案　 7．给出下列命题： ①a>b⇒ac2>bc2；②a>|b|⇒a2>b2；③a>b⇒a3>b3；④|a|>b⇒a2>b2. 其中正确命题的序号是________． 解析　①当c2＝0时不成立；②一定成立； ③当a>b时，a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)＝(a－b)·>0成立； ④当b<0时，不一定成立．如|2|>－3，但22<(－3)2. 答案　②③ 8．已知a≥b>0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b. 证明　法一　要证明2a3－b3≥2ab2－a2b成立， 只需证2a3－b3－2ab2＋a2b≥0， 即2a(a2－b2)＋b(a2－b2)≥0， 即(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0. ∵a≥b>0，∴a－b≥0，a＋b>0，2a＋b>0， ∴(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0成立， ∴2a3－b3≥2ab2－a2b. 法二　∵a≥b>0， ∴a2≥b2，a2－b2≥0，2a＋b>0， ∴(a2－b2)(2a＋b)≥0，∴2a3－b3－2ab2＋a2b≥0， ∴2a3－b3≥2ab2－a2b. [关键能力·综合提升] 9．有外表一样，质量不同的四个小球，它们的质量分别是a，b，c，d，已知a＋b＝c＋d，a＋d＞b＋c，a＋c＜b，则这四个小球由重到轻的排列顺序是(　　) A．d＞b＞a＞c B．b＞c＞d＞a C．d＞b＞c＞a D．c＞a＞d＞b 解析　因为a＋b＝c＋d，a＋d＞b＋c， 所以2a＞2c，即a＞c.因此b＜d. 因为a＋c＜b，c＞0，所以a＜b， 综上可得c＜a＜b＜d. 答案　A 10．已知1≤a＋b≤4，－1≤a－b≤2，则4a－2b的取值范围为________． 解析　法一　设u＝a＋b，v＝a－b，得a＝，b＝， ∴4a－2b＝2u＋2v－u＋v＝u＋3v. ∵1≤u≤4，－1≤v≤2，∴－3≤3v≤6. 则－2≤u＋3v≤10，即－2≤4a－2b≤10. 法二　令4a－2b＝x(a＋b)＋y(a－b)， ∴4a－2b＝(x＋y)a＋(x－y)b. ∴∴又 ∴－2≤4a－2b≤10. 答案　[－2，10] 11.＋与2＋的大小关系为________． 解析　要比较＋与2＋的大小， 只需比较(＋)2与(2＋)2的大小， 只需比较6＋7＋2与8＋5＋4的大小， 只需比较与2的大小，只需比较42与40的大小，∵42>40，∴＋>2＋. 答案　＋>2＋ 12．已知三个不等式：①ab>0，②－<－，③bc>ad. 以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成________个正确的命题． 解析　若①，②成立，则ab<ab. 即－bc<－ad，∴bc>ab，即③成立； 若①，③成立，则>，∴>， ∴－<－， 即②成立；若②③成立，则由②得>， 即>0. 由③得bc－ad>0，则ab>0，即①成立． 故可组成3个正确命题． 答案　3 13．已知x>0，求证：<1＋(分别用分析法和反证法两种方法证明). 证明　法一(分析法) ∵x>0，∴>0，1＋>0， ∴要证 <1＋， 只需证1＋x<1＋x＋， 只需证0<. ∵x>0，∴>0成立， 故<1＋. 法二(反证法) 假设≥1＋， ∵x>0，∴>0，1＋>0， ∴1＋x≥1＋x＋，即0≥， ∴x＝0，与条件x>0矛盾． ∴假设不成立，故<1＋成立． [核心价值·探索创新] 14．李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%. ①当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元； ②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为________． 解析　①顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，总价为60＋80＝140(元)，又140>120， 所以优惠10元，顾客实际需要付款130元． ②设顾客一次购买的水果总价为m元． 由题意易知，当0<m<120时，x＝0，当m≥120时，(m－x)×80%≥m×70%， 得x≤对任意m≥120恒成立，又≥15，所以x的最大值为15. 答案　①130　②15 15．建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积．但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值要不小于，且这个比值越大，住宅的采光条件越好．试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由． 解析　变好了．理由：设住宅的窗户面积、地板面积分别为a，b，同时增加的面积为m，根据问题的要求可知a<b，且≥.由于－＝>0，于是>. 又≥，因此>≥. 所以，同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件变好了． 学科网（北京）股份有限公司 $$