2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系（Word练习）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教B版）

[基础巩固·夯基提能] 1．下列方程中，无实数根的方程是(　　) A．x2＋1＝0　　　 B．x2＋x＝0 C．x2＋x－1＝0 D．x2＝0 解析　A.∵Δ＝－4×1＝－4<0，∴方程无实数根； B．∵Δ＝12>0，∴方程有两个不相等实数根； C．∵Δ＝12－4×1×(－1)＝5>0，∴方程有两个不相等实数根； D．∵Δ＝0，∴方程有两个相等实数根．故选A. 答案　A 2．方程2(x－3)＝3x(x－3)的解集为(　　) A． B． C．{3} D．{0，3} 解析　2(x－3)＝3x(x－3)，移项得2(x－3)－3x(x－3)＝0， 整理得(x－3)(2－3x)＝0，所以x－3＝0或2－3x＝0，解得x＝3或x＝. 答案　A 3．已知α，β是一元二次方程x2＋x－2＝0的两个实数根，则α＋β－αβ的值是(　　) A．3 B．1 C．－1 D．－3 解析　∵α，β是方程x2＋x－2＝0的两个实数根， ∴α＋β＝－1，αβ＝－2，∴α＋β－αβ＝－1＋2＝1，故选B. 答案　B 4．已知关于x的一元二次方程2x2－kx＋3＝0的解集中只有一个元素，则k的值为(　　) A．±2 B．± C．－2或3 D．2或－3 解析　∵a＝2，b＝－k，c＝3，∴Δ＝b2－4ac＝k2－4×2×3＝k2－24， ∵方程的解集中只有一个元素，∴Δ＝k2－24＝0， 解得k＝±2. 答案　A 5．已知x1，x2是关于x的方程x2＋bx－3＝0的两根，且满足x1＋x2－3x1x2＝5，那么b的值为______． 解析　∵x1，x2是关于x的方程x2＋bx－3＝0的两根， ∴x1＋x2＝－b，x1x2＝－3，则由x1＋x2－3x1x2＝5，得－b－3×(－3)＝5，解得b＝4. 答案　4 6．关于x的一元二次方程x2＋2x－2m＋1＝0的两个实数根为负，则实数m的取值范围是________． 解析　设方程的两个实数根为x1，x2，则x1<0，x2<0， ∴∴0≤m<. 答案　 7．求下列方程的解集． (1)x4－3x2＋2＝0； (2)x＋2－1＝0； (3)(x2－x)2－(x2－x)－2＝0. 解析　(1)令y＝x2≥0，得y2－3y＋2＝0， ∴y＝1或y＝2， 即x2＝1或x2＝2，∴x＝±1或x＝±. ∴原方程的解集为{－，－1，1，}． (2)令y＝≥0，得y2＋2y－1＝0， ∴y＝－1＋或y＝－1－(舍). 从而＝－1＋，即x＝3－2， ∴原方程的解集为{3－2}． (3)令x2－x＝t，得t2－t－2＝0， ∴t＝－1或t＝2， 即x2－x＋1＝0，① 或x2－x－2＝0，② 对①，Δ＝－3<0，无实数解； 对②，易得x＝－1或x＝2，故原方程的解集为{－1，2}． [关键能力·综合提升] 8．(多选)若0<m<2，则关于x的一元二次方程－(x＋m)·(x＋3m)＝3mx＋37根的情况，下列说法不正确的是(　　) A．无实数根 B．有两个正根 C．有两个根，且都大于－3m D．有两个根，其中一根大于－m 解析　方程整理为x2＋7mx＋3m2＋37＝0， Δ＝49m2－4(3m2＋37)＝37(m2－4)， ∵0<m<2，∴m2－4<0，∴Δ<0，∴方程没有实数根，故选BCD. 答案　BCD 9．已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋m－2＝0有两个实数根，m为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m的和为(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 解析　∵a＝1，b＝2，c＝m－2，关于x的一元二次方程x2＋2x＋m－2＝0有两个实数根， ∴Δ＝b2－4ac＝22－4(m－2)＝12－4m≥0， ∴m≤3. ∵m为正整数，且该方程的根都是整数，∴m＝2或3，∴2＋3＝5.故选B. 答案　B 10．对于任意实数a，b，定义：a◆b＝a2＋ab＋b2.若方程(x◆2)－5＝0的两根记为m，n，则m2＋n2＝________． 解析　∵(x◆2)－5＝x2＋2x＋4－5＝x2＋2x－1，∴m，n为方程x2＋2x－1＝0的两个根， ∴m＋n＝－2，mn＝－1，∴m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝6. 答案　6 11．已知(x2＋y2＋1)(x2＋y2－3)＝5，则x2＋y2＝________． 解析　令t＝x2＋y2≥0，则原方程可化为 (t＋1)(t－3)＝5， 即t2－2t－8＝0.∴t＝4或t＝－2(舍去)， 故x2＋y2＝4. 答案　4 12．已知关于x的一元二次方程x2－(2k－1)x＋k2＋k－1＝0有实数根． (1)求k的取值范围； (2)若此方程的两实数根x1，x2满足x＋x＝11，求k的值． 解析　(1)∵关于x的一元二次方程x2－(2k－1)x＋k2＋k－1＝0有实数根， ∴Δ≥0，即[－(2k－1)]2－4×1×(k2＋k－1)＝－8k＋5≥0，解得k≤. ∴k的取值范围为. (2)由根与系数的关系可得x1＋x2＝2k－1，x1x2＝k2＋k－1， ∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(2k－1)2－2(k2＋k－1)＝2k2－6k＋3， ∵x＋x＝11，∴2k2－6k＋3＝11，解得k＝4或k＝－1， ∵k≤，∴k＝－1. [核心价值·探索创新] 13．欧几里得的《原本》记载，形如x2＋ax＝b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝.则该方程的一个正根是(　　) A．AC的长 B．AD的长 C．BC的长 D．CD的长 解析　设AD＝x，根据勾股定理得＝b2＋，整理得x2＋ax＝b2， 则该方程的一个正根是AD的长．故选B. 答案　B 14．已知x1，x2是一元二次方程(a－6)x2＋2ax＋a＝0的两个实数根． (1)是否存在a，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由； (2)求使(x1＋1)(x2＋1)为负整数的实数a的整数值． 解析　由题意知 ∴a≥0且a≠6. 由根与系数的关系，得 (1)若－x1＋x1x2＝4＋x2，则x1＋x2＋4＝x1x2，即4－＝，∴a＝24. 故满足条件的a存在，且a＝24. (2)∵(x1＋1)(x2＋1)＝(x1＋x2)＋x1x2＋1＝－＋1＝－为负整数， ∴a可取的整数为7，8，9，12. 学科网（北京）股份有限公司 $$