1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定（Word练习）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教B版）

[基础巩固·夯基提能] 1．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是(　　) A．∀x∈R，|x|＋x2<0 B．∀x∈R，|x|＋x2≤0 C．∃x∈R，|x|＋x2<0 D．∃x∈R，|x|＋x2≥0 解析　量词∀x∈R改为∃x∈R，结论“|x|＋x2≥0”的否定是“|x|＋x2<0”． 答案　C 2．命题“存在实数x，使x>1”的否定是(　　) A．对任意实数x，都有x>1 B．不存在实数x，使x≤1 C.对任意实数x，都有x≤1 D．存在实数x，使x≤1 解析　存在量词命题的否定是全称量词命题，“存在实数x，使x>1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”． 答案　C 3．(多选)下列命题的否定是假命题的是(　　) A．三角形角平分线上的点到角两边的距离相等 B．所有平行四边形都不是菱形 C．任意两个等边三角形都是相似的 D．3是方程x2－9＝0的一个根 解析　A的否定：存在一个三角形，它的角平分线上的点到角两边的距离不相等，假命题， B的否定：有些平行四边形是菱形，真命题， C的否定：有些等边三角形不相似，假命题， D的否定：3不是方程x2－9＝0的一个根，假命题． 答案　ACD 4．命题“存在x∈R，使x2＋2x＋m≤0”是假命题，求得m的取值范围是(a，＋∞)，则实数a的值是(　　) A．0　　　　　　　　 B．1 C．2 D．3 解析　由题意知，原命题的否定是真命题， 即∀x∈R，有x2＋2x＋m>0是真命题． 由Δ＝4－4m<0，得m>1，∴a＝1. 答案　B 5．“至少有2个人”的否定为________，“至多有2个人”的否定为________． 解析　“至少有2个人”意思是多于或等于两个人，所以它的反面是有一个或者零个，也就是至多1个人．“至多有两个人”含义是有0人或1人或2人，故“至多有2个人”的否定为“至少有3个人”． 答案　至多有1个人　至少有3个人 6．命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是________________________． 解析　存在量词命题的否定是全称量词命题，将“存在”改为“任意”，“＝”改为“≠”． 答案　对任意x∈R，x2＋2x＋5≠0 7．若命题“∃x<2 024，x>a”是假命题，则实数a的取值范围是________． 解析　由于命题“∃x<2 024，x>a”是假命题，因此其否定“∀x<2 024，x≤a”是真命题，所以a≥2 024. 答案　[2 024，＋∞) 8．写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)p：∀x∈R，x2＋2x＋2＝0； (2)p：所有的正方形都是菱形； (3)p：至少有一个实数x，使x3＋1＝0. 解析　(1)∃x∈R，x2＋2x＋2≠0，真命题．因为∀x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1>0恒成立． (2)至少存在一个正方形不是菱形，假命题．因为所有的正方形都是菱形． (3)∀x∈R，x3＋1≠0，假命题．因为当x＝－1时，x3＋1＝0. [关键能力·综合提升] 9．(多选)下列命题的否定为真命题的是(　　) A．p：所有四边形的内角和都是360° B．q：∃x∈R，x2－4x＋5≤0 C．r：∃x∈{x|x是无理数}，x2是无理数 D．s：对所有实数a，都有|a|＞0 解析　A.¬p：有的四边形的内角和不是360°，是假命题． B．¬q：∀x∈R，x2－4x＋5＞0，真命题，∀x∈R，x2－4x＋5＝(x－2)2＋1≥1＞0恒成立． C．¬r：∀x∈{x|x是无理数}，x2不是无理数，假命题． D．¬s：存在实数a，使|a|≤0，真命题． 答案　BD 10．已知命题“∃x∈R，使4x2＋(a－2)x＋＝0”是假命题，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，0) B．[0，4] C．[4，＋∞) D．(0，4) 解析　∵命题“∃x∈R，使4x2＋(a－2)x＋＝0”是假命题，∴命题“∀x∈R，使4x2＋(a－2)x＋≠0”是真命题，即判别式Δ＝(a－2)2－4×4×<0， 即Δ＝a2－4a<0，则0<a<4. 答案　D 11．已知命题p：任意x∈R，x2＋2ax＋a2＋a＋1>0.若命题p是假命题，则实数a的取值范围是______． 解析　若命题p为假命题，则¬p：∃x∈R，x2＋2ax＋a2＋a＋1≤0为真命题， 则Δ＝4a2－4(a2＋a＋1)≥0，解得a≤－1， ∴a的取值范围是(－∞，－1]. 答案　(－∞，－1] 12．已知命题“对于任意x∈R，函数y＝x2＋ax＋1≥0”是假命题，则实数a的取值范围为______．若命题是真命题，则实数a的取值范围为______． 解析　因为全称量词命题“对于任意x∈R，函数y＝x2＋ax＋1≥0”的否定形式为“存在x∈R，函数y＝x2＋ax＋1<0”． 由“命题真，其否定假；命题假，其否定真”可知，这个否定形式的命题是真命题． 由于函数y＝x2＋ax＋1是开口向上的抛物线， 借助二次函数图象易知Δ＝a2－4>0，解得a<－2或a>2. 所以实数a的取值范围是{a|a<－2或a>2}． 若命题是真命题，知Δ≤0，则a2－4≤0，得－2≤a≤2. 答案　{a|a<－2或a>2}　{a|－2≤a≤2} 13．已知命题“存在x∈R，ax2－2ax－3>0”是假命题，求实数a的取值范围． 解析　因为命题“存在x∈R，ax2－2ax－3>0”的否定为“对于任意x∈R，ax2－2ax－3≤0恒成立”，命题假，可知该命题的否定是真命题． 当a＝0时，对任意的x∈R，不等式－3≤0恒成立； 当a≠0时，由不等式ax2－2ax－3≤0恒成立得a<0且Δ＝4a2＋12a≤0，即－3≤a<0. 综上知，实数a的取值范围是[－3，0]. [核心价值·探索创新] 14．某中学开展小组合作学习模式，高二某班某组小王同学给组内小李同学出题如下：若命题“∃x∈R，函数y＝x2＋2x＋m的图象在x轴的下方”是假命题，求m的取值范围．小李略加思索，反手给了小王一道题：若命题“∀x∈R，函数y＝x2＋2x＋m的图象在x轴的上方或x轴上”是真命题，求m的取值范围．你认为，两位同学所出的题中m的取值范围是否一致？________(填“是”或“否”). 解析　∵命题“∃x∈R，函数y＝x2＋2x＋m的图象在x轴的下方”的否定是“∀x∈R，函数y＝x2＋2x＋m的图象在x轴的上方或x轴上”． 而命题“∃x∈R，函数y＝x2＋2x＋m的图象在x轴的下方”是假命题，则其否定“∀x∈R，函数y＝x2＋2x＋m的图象在x轴的上方或x轴上”为真命题． ∴两位同学所出的题中m的取值范围是一致的． 答案　是 15．已知命题p：∀x∈R，x2－x＋a≥0，命题q：∃x∈R，ax2－2ax－3＞0，若p假q真，求实数a的取值范围． 解析　因为命题p是假命题，所以¬p：∃x∈R，x2－x＋a＜0是真命题， 则Δ＝(－1)2－2a>0，解得a<. 因为命题q：∃x∈R，ax2－2ax－3＞0是真命题． 所以当a＝0时，－3＜0，不合题意； 当a＜0时，Δ＝(－2a)2＋12a＞0，所以a＜－3. 当a＞0时，函数y＝ax2－2ax－3的图象开口向上，一定存在满足条件的x. 故a＜－3或a＞0. 综上，a的取值范围是(－∞，－3)∪. 学科网（北京）股份有限公司 $$