第2章有理数的运算复习讲义-2024-2025学年人教版（2024）数学七年级上册

第2章有理数的运算复习讲义-数学七年级上册人教版（2024） ( 高频考点梳理 ) 1．有理数的加法 （1）有理数加法法则： ①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加． ②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0． ③一个数同0相加，仍得这个数． （在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．） （2）相关运算律 交换律：a+b＝b+a； 结合律（a+b）+c＝a+（b+c）． 2．有理数的减法 （1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 即：a﹣b＝a+（﹣b） （2）方法指引： ①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号； ②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号（减数变相反数）； 【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律． 减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算． 3．有理数的加减混合运算 （1）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法． （2）方法指引： ①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式． ②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化． 4．有理数的乘法 （1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同零相乘，都得0． （3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． （4）方法指引： ①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘． ②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单． 5．有理数的除法 （1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a• （b≠0） （2）方法指引： （1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0． （2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右． 6．有理数的乘方 （1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方． 乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．） （2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0． （3）方法指引： ①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值； ②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减． 7．有理数的混合运算 （1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧 1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算． 2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解． 3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算． 4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便． 8．科学记数法—表示较大的数 （1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】 （2）规律方法总结： ①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n． ②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号． ( 清易错 ) 1．计算的结果为P． （1）若x＝1，求P的值； （2）若P的值为正数，请你求出一个x的整数值． 【解答】解：（1）若x＝1，P的值为： ＝ ＝2﹣3 ＝﹣1． （2）由题意，． 解得． x的整数值可以取2．（答案不唯一）． 2．老师设计了一个有理数运算的游戏．规则如下： ①老师在黑板上任意写一个有理数； ②将黑板上的有理数减去2； ③用1减去“②”中得到的有理数的一半，将结果写在纸条上交给学习委员． （1）若黑板上的有理数为“﹣4”，求应写在纸条上的有理数； （2）学习委员发现；若正确计算后写在纸条上的结果为正数，则老师在黑板上写的最大整数是多少？ 【解答】解：（1）由题意得：； （2）设老师写在黑板上的整数为m， 由题意得：， 解得：m＜4， 其最大整数解为3， 即老师在黑板上写的最大整数为3． 3．刘谦的魔术表演风靡全国，嘉琪也学刘谦发明了一个魔术盒，当数对（a，b）（a，b为有理数）进入其中时，会得到一个新的有理数：a2+2b+1，例如把（1，2）放入其中，就会得到12+2×2+1＝6． （1）把（﹣1，﹣2）放入其中，求得到的新有理数． （2）若把（﹣2，﹣n）放入其中，得到的新有理数为﹣1，则求n的值． 【解答】解：（1）将（﹣1，﹣2）代入，得 a2+2b+1 ＝（﹣1）2+2×（﹣2）+1 ＝1﹣4+1 ＝﹣2； （2）将（﹣2，﹣n）代入，得（﹣2）2+2×（﹣n）+1＝﹣1， ∴n＝3． ( 精选好题 ) 一．选择题（共8小题） 1．2023年4月26日，成都市统计局、国家统计局成都调查队联合发布2023年第一季度成都市经济运行情况．数据显示，一季度全市实现地区生产总值5266.82亿元，同比增长5.3%．将数据“5266.82亿”用科学记数法表示为（　　） A．5266.82×108 B．5.26682×109 C．5.26682×1010 D．5.26682×1011 2．一个点，从直线上的0处出发，先向右移动4个单位，再向左移动7个单位，这时这个点所对的数是（　　） A．+3 B．﹣2 C．﹣3 D．+2 3．下列运算错误的是（　　） A．﹣2+2＝0 B．2﹣（﹣2）＝0 C．﹣（﹣）＝1 D．﹣（﹣2）＝2 4．下列各式中，值相等的是（　　） A．﹣22与（﹣2）2 B．﹣|﹣1|与﹣（﹣1） C．﹣2+3与﹣1+4 D．2×3与﹣2×（﹣3） 5．如图是一个计算程序，若输入a的值为﹣1，则输出的结果b为（　　） A．﹣5 B．﹣6 C．5 D．6 6．若|x|＝7，|y|＝5，且x+y＞0，那么x﹣y的值是（　　） A．2或12 B．2或﹣12 C．﹣2或12 D．﹣2或﹣12 7．计算的结果是（　　） A．8 B．﹣8 C．2 D．﹣2 8．如图，数轴上的A、B两点所表示的数分别为a、b，且a+b＜0，ab＜0，则原点O的位置在（　　） A．点A的右边 B．点B的左边 C．A、B两点之间，且靠近点A D．A、B两点之间，且靠近点B 二．填空题（共8小题） 9．在﹣（﹣6），|﹣2|，（﹣2）4，（﹣1）5中，正数有　 　个． 10．绝对值小于2010的所有整数的积是 　 　． 11．用“◎”表示一种新的运算符号，已知：2◎3＝2+3+4；7◎2＝7+8；3◎5＝3+4+5+6+7，…，按此规律，则401◎5＝　 　． 12．社会主义核心价值是：富强、民主、文明、和谐；自由、平等、公正、法治；爱国、敬业、诚信、友善，一共24个字，现有4、4、10、10、这四个数，仅用加减乘除运算符号和括号，列出一条算式，算得结果是24．这条算式是 　 　． 13．若a，b互为相反数，c的倒数是4，则3a+3b﹣4c的值为 　 　． 14．利用如图所示的图形，可求的值是 　 　． 15．若（x+1）2+|y﹣2|＝0，则x﹣y＝　 　． 16．计算的结果是 　 　． 三．解答题（共5小题） 17．计算： （1）2×（﹣3）2﹣2×（﹣3）； （2）． 18．已知非零有理数m、n，m的立方等于它本身，n的平方等于16，求式子的值． 19．李叔叔要给公园里的一条小路铺上地砖．现有①号和②号两种规格的地砖，有三种不同方案（如图），经过测算，如果都用①号地砖铺（方案1）需要180块；如果都用②号地砖铺（方案2），需要120块． （1）李叔叔先用①号地砖铺了120块，已经铺了这条路的几分之几？ （2）如果剩下的路用②号地砖接着铺，还需要②号地砖多少块？ （3）如果从一开始就用两种地砖交替铺（方案3）．两种地砖各需要多少块？ 20．一架飞机进行特技表演，起飞后的高度变化如下表： 高度变化 上升4.5km 下降3.2km 上升1.1km 下降1.5km 上升0.8km 记作 +4.5km ﹣3.2km +1.1km ﹣1.5km +0.8km （1）求此时飞机比起飞点高了多少千米？ （2）若飞机平均上升1千米需消耗6升燃油，平均下降1千米需消耗4升燃油，那么这架飞机在这5个特技动作表演过程中，一共消耗多少升燃油？ 21．小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列问题： （1）从中2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取，最大值是多少？ （2）从中抽取2张卡片，使这两张卡片数相除的商最小，如何抽取，最小值是多少？ （3）从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子．（写出一种运算式）． 第2章有理数的运算复习讲义-数学七年级上册人教版（2014） 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．2023年4月26日，成都市统计局、国家统计局成都调查队联合发布2023年第一季度成都市经济运行情况．数据显示，一季度全市实现地区生产总值5266.82亿元，同比增长5.3%．将数据“5266.82亿”用科学记数法表示为（　　） A．5266.82×108 B．5.26682×109 C．5.26682×1010 D．5.26682×1011 【解答】解：5266.82亿＝526682000000＝5.26682×1011． 故选：D． 2．一个点，从直线上的0处出发，先向右移动4个单位，再向左移动7个单位，这时这个点所对的数是（　　） A．+3 B．﹣2 C．﹣3 D．+2 【解答】解：根据题意得：这时这个点所对的数是0+4﹣7＝﹣3． 故选：C． 3．下列运算错误的是（　　） A．﹣2+2＝0 B．2﹣（﹣2）＝0 C．﹣（﹣）＝1 D．﹣（﹣2）＝2 【解答】解：A：﹣2+2＝0，故A正确； B：2﹣（﹣2）＝2+2＝4，故B错误； C：﹣（﹣）＝+＝1，故C正确； D：﹣（﹣2）＝2，故D正确． 故选：B． 4．下列各式中，值相等的是（　　） A．﹣22与（﹣2）2 B．﹣|﹣1|与﹣（﹣1） C．﹣2+3与﹣1+4 D．2×3与﹣2×（﹣3） 【解答】解：﹣22＝﹣4，（﹣2）2＝4，故A不符合题意； ﹣|﹣1|＝﹣1，﹣（﹣1）＝1，故B不符合题意； ﹣2+3＝1，﹣1+4＝3，故C不符合题意； 2×3＝6，﹣2×（﹣3）＝6，故D符合题意， 故选：D． 5．如图是一个计算程序，若输入a的值为﹣1，则输出的结果b为（　　） A．﹣5 B．﹣6 C．5 D．6 【解答】解：把a＝﹣1代入得： [（﹣1）2﹣（﹣2）]×（﹣3）+4 ＝（1+2）×（﹣3）+4 ＝3×（﹣3）+4 ＝﹣9+4 ＝﹣5， 故选：A． 6．若|x|＝7，|y|＝5，且x+y＞0，那么x﹣y的值是（　　） A．2或12 B．2或﹣12 C．﹣2或12 D．﹣2或﹣12 【解答】解：∵|x|＝7，|y|＝5， ∴x＝±7，y＝±5． 又x+y＞0，则x，y同为正数或x，y异号，但正数的绝对值较大， ∴x＝7，y＝5或x＝7，y＝﹣5． ∴x﹣y＝2或12． 故选：A． 7．计算的结果是（　　） A．8 B．﹣8 C．2 D．﹣2 【解答】解：， 故选：D． 8．如图，数轴上的A、B两点所表示的数分别为a、b，且a+b＜0，ab＜0，则原点O的位置在（　　） A．点A的右边 B．点B的左边 C．A、B两点之间，且靠近点A D．A、B两点之间，且靠近点B 【解答】解：∵如图，数轴上的A、B两点所表示的数分别为a、b，且a+b＜0，ab＜0， ∴a与b异号且b绝对值大，即a＞0，b＜0，|b|＞|a|， 则原点O的位置在A、B两点之间，且靠近点A， 故选：C． 二．填空题（共8小题） 9．在﹣（﹣6），|﹣2|，（﹣2）4，（﹣1）5中，正数有　3　个． 【解答】解：﹣（﹣6）＝6；|﹣2|＝2；（﹣2）4＝16；（﹣1）5＝﹣1中正数有3个， 故答案为：3． 10．绝对值小于2010的所有整数的积是 　0　． 【解答】解：∵绝对值小于2010的所有整数，∴这些整数为0，±1，±2，…，±2009， 则积为0． 故答案为0． 11．用“◎”表示一种新的运算符号，已知：2◎3＝2+3+4；7◎2＝7+8；3◎5＝3+4+5+6+7，…，按此规律，则401◎5＝　2015　． 【解答】解：根据2◎3＝2+3+4；7◎2＝7+8；3◎5＝3+4+5+6+7，…反应的规律可知： 401◎5＝401+402+403+404+405＝2015， 故答案为：2015． 12．社会主义核心价值是：富强、民主、文明、和谐；自由、平等、公正、法治；爱国、敬业、诚信、友善，一共24个字，现有4、4、10、10、这四个数，仅用加减乘除运算符号和括号，列出一条算式，算得结果是24．这条算式是 　（10×10﹣4）÷4＝24　． 【解答】解：（10×10﹣4）÷4＝24， 故答案为：（10×10﹣4）÷4＝24． 13．若a，b互为相反数，c的倒数是4，则3a+3b﹣4c的值为 　﹣1　． 【解答】解：∵a，b互为相反数，c的倒数是4， ∴a+b＝0，， ∴3a+3b﹣4c＝3（a+b）﹣4c＝＝﹣1． 故答案为：﹣1． 14．利用如图所示的图形，可求的值是 　　． 【解答】解：由图可得， ＝1﹣ ＝1﹣ ＝， 故答案为：． 15．若（x+1）2+|y﹣2|＝0，则x﹣y＝　﹣3　． 【解答】解：∵（x+1）2+|y﹣2|＝0， ∴x+1＝0，y﹣2＝0， ∴x＝﹣1，y＝2． ∴x﹣y＝﹣1﹣2＝﹣3． 故答案为：﹣3． 16．计算的结果是 　　． 【解答】解：设， 原式＝ ＝ ＝． 故答案为：． 三．解答题（共5小题） 17．计算： （1）2×（﹣3）2﹣2×（﹣3）； （2）． 【解答】解：（1）2×（﹣3）2﹣2×（﹣3） ＝2×9﹣（﹣6） ＝18+6 ＝24； （2） ＝÷（﹣）×× ＝÷（﹣）×× ＝×（﹣6）×× ＝﹣7×× ＝﹣× ＝． 18．已知非零有理数m、n，m的立方等于它本身，n的平方等于16，求式子的值． 【解答】解：∵非零有理数m、n，m的立方等于它本身，n的平方等于16， ∴m＝﹣1或1，n＝±4， ∴当m＝1，n＝4时，； 当m＝1，n＝﹣4 时，； 当m＝﹣1，n＝4 时，＝1+4＝5； 当m＝﹣1，n＝﹣4时，＝1﹣4＝﹣3； 由上可得， 的值为5或﹣3． 19．李叔叔要给公园里的一条小路铺上地砖．现有①号和②号两种规格的地砖，有三种不同方案（如图），经过测算，如果都用①号地砖铺（方案1）需要180块；如果都用②号地砖铺（方案2），需要120块． （1）李叔叔先用①号地砖铺了120块，已经铺了这条路的几分之几？ （2）如果剩下的路用②号地砖接着铺，还需要②号地砖多少块？ （3）如果从一开始就用两种地砖交替铺（方案3）．两种地砖各需要多少块？ 【解答】解：（1）120÷180＝， 答：已经铺了这条路的． （2）120×（1﹣）＝120×＝40（块）， 答：还需要②号地砖40块． （3）1÷（） ＝1 ＝72（块）， 答：两种地砖都需要72块． 20．一架飞机进行特技表演，起飞后的高度变化如下表： 高度变化 上升4.5km 下降3.2km 上升1.1km 下降1.5km 上升0.8km 记作 +4.5km ﹣3.2km +1.1km ﹣1.5km +0.8km （1）求此时飞机比起飞点高了多少千米？ （2）若飞机平均上升1千米需消耗6升燃油，平均下降1千米需消耗4升燃油，那么这架飞机在这5个特技动作表演过程中，一共消耗多少升燃油？ 【解答】解：（1）+4.5﹣3.2+1.1﹣1.5+0.8＝1.7（千米）． 答：此时飞机比起飞点高了1.7千米； （2）（4.5+1.1+0.8）×6+（3.2+1.5）×4 ＝6.4×6+4.7×4 ＝38.4+18.8 ＝57.2（升）． 答：一共消耗57.2升燃油． 21．小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列问题： （1）从中2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取，最大值是多少？ （2）从中抽取2张卡片，使这两张卡片数相除的商最小，如何抽取，最小值是多少？ （3）从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子．（写出一种运算式）． 【解答】解：（1）（+6）×（+2）＝12， （﹣5）×（﹣4）＝20， 因为20＞12， 所以其中的一个数抽﹣5，另一个数是﹣4时，最大值是20； （2）（﹣5）÷（+2）＝﹣2.5， 所以其中的一个数抽﹣5，另一个数是+2时，它们相除的最小值是﹣2.5； （3）从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24，运算式子为：（﹣5）×（﹣4）+6﹣2＝24（答案不唯一）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$