特训01 整式的加减 压轴题（七大模块）-2024-2025学年七年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（沪教版2024，上海专用）

特训01 整式的加减 压轴题（七大模块） 模块1：图形周长、面积问题（几何应用） 1．把四张大小相同的长方形卡片（如图①）按图②、图③两种放法放在一个底面为长方形（长比宽多）的盒底上，底面为被卡片覆盖的部分用阴影表示，若记图②中阴影部分的周长为，图③中阴影部分的周长为，则 . 2．把两张形状、大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为x，宽为y）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．阴影部分刚好能分割成两张形状大小不同的小长方形卡片（如图③），则分割后的两个阴影长方形的周长之和是 ： 3．如图，在长方形中放入一个大正方形和两个大小相同的小正方形及，其中在边上，与在同一条直线上且，延长交于点K，三个阴影部分的面积分别记为，，，已知长方形的面积，则下列式子可计算出的是（   ） A． B． C． D． 4．在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行速算，求解过程如图1所示. （1）仿照图1，在图2中补全的“竖式”； （2）仿照图1，用“列竖式”的方法计算一个十位数字是的两位数的平方，过程部分如图3所示，则这个两位数为 （用含的代数式表示）. 5．阅读下面材料并解决问题： 两个数量的大小可以通过它们的差来判断，如果两个数和比较大小，那么，当时，有；当时，有；当时，有；反过来也对，即当时，有；当时，有；当时，有． 因此，我们经常把两个要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小．像这样判断两数大小关系的方法叫做求差法，请你用求差的方法解决以下问题： (1)若，，则　　0，　　（填，或； (2)如图，图1长方形1的周长　　，图2长方形Ⅱ的周长　　，用求差法比较、的大小； (3)制作某产品有两种用料方案，方案一：用3块A型钢板，用5块B型钢板；方案二：用2块A型钢板，用6块B型钢板．A型钢板的面积比B型钢板的面积大．设A型钢板和B型钢板的面积分别为x和y，从省料角度考虑，应选哪种方案？ 6．已知正方形与正方形，，．根据下列条件平移正方形，解决下列问题．    (1)如图1，若点和点重合，点在线段上，点在线段的延长线上，连接、，将三角形的面积记作，则________（用含有的代数式表示）． (2)若点与点重合，点在线段上，点在线段的延长线上，连接，将三角形的面积记作，则________（用含有的代数式表示）． (3)如图2，若将正方形沿正方形的边所在直线平移，使得点在线段上（点不与点重合、点不与点重合），连接，设，将三角形的面积记作，则________（用含有的代数式表示）． (4)若将正方形沿正方形的边所在直线平移，使得点在的延长线上，连接，设，将三角形的面积记作，则________（用含有的代数式表示）． 模块2：数字、图形规律类 7．有依次排列的2个整式：a，，对任意相邻的两个整式，每次都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生第一个整式串：a，2，，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串，称为第二个整式串；以此类推．通过下列实际操作： ①第二次操作后整式串为：a，2，a，； ②第12个整式串中，从右往左第二个整式为； ③第2025次操作后，所有的整式的和为； ④第n个整式串比第个整式串少个整式． 以上结论中正确的有（    ）个 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 8．有依次排列的个整式：，，对任意相邻的个整式都用右边的整式减去左边的整式，所得的差都写在这个整式之间，由此产生第个整式串：，，；将第个整式串按上述方式再操作一次，可以得到第个整式串：，，，，．以此类推，通过实际操作，得到以下结论： ①第个整式串中末尾的整式为； ②第个整式串共有个整式； ③第个整式串中，所有整式的和为； ④第个整式串中，从左往右第二个整式为． 以上结论中正确的有　　个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图，用个实心圆圈，个圆圈相间组成一个圆环，然后把这样的圆环从左到右按下列差律组成圆环串； 相邻两圆环有一公共圆圈，公共圆圈从左到右以实心圆圈和空心圆圈相间排列． 圆环串中圆环的个数 实心圆圈和空心圆圈的总个数 (1)把表格补充完整： (2)设圆环串由个圆环组成，请你直接写出组成这圆环所需实心圆圈和空心圆圈的总个数______个(用含的代数式表示)； (3)如果圆环串由这样的圆环个组成，那么实心圆圈和空心圆圈的总数有多少个? 有多少个空心圆圈? 10．【观察思考】如图，是某同学在棋盘上用围棋摆成的图案． 【规律发现】 （1）第⑤个图案中“●”的个数为______，“○”的个数为______； （2）第n个图案中“●”的个数为______，“○”的个数为______； 【规律应用】 （3）该同学准备用100枚“●”棋子和100枚“○”棋子摆放第n个图案，摆放成完整的图案后，写出n的最大值为______；此时还剩下______枚棋子． 模块3：数轴与字母取值无关结合问题 11．A、B为数轴上的两个点，点A对应的数记为a，点B对应的数记为b，且是关于x、y的三次二项式．解答下列问题： (1)________，________； (2)若数轴上有一点C，且，求点C对应的数； (3)若点M、N分别从O、B出发，同时向左匀速运动，点M的速度为m个单位长度每秒，点N的速度是3个单位长度每秒，点P、Q分别为线段、线段的中点.设运动时间为t秒，在点M，N的运动过程中，若的长度与t的取值无关，求m的值及的长度． 12．如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，已知是，数是最大的负整数，是单项式的次数． (1)_____，_______． (2)点，，开始在数轴上运动，若点B和点C分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，秒过后，若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为． ①_____，________．（用含的代数式表示） ②探究：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个值． ③若点，，与三点同时开始在数轴上运动，点从原点出发以每秒4个单位长度的速度向左运动，请含的式子表示． 13．如图1．在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N的距离记为．我们规定：的大小用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即．请用上面的知识解答下面的问题：如图2：在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，b是最大的负整数．且a，c满足与互为相反数． (1) ， ， ； (2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与表示数 的点重合； (3)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟后． ①请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值； ②探究：若点A，C向右运动，点B向左运动，速度保持不变，的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 模块4：新定义题 14．关于x的整式，当x取任意一组相反数m与时，若整式的值相等，则该整式叫做“偶整式”；若整式的值互为相反数，则该整式叫做“奇整式”．例如：是“偶整式”，是“奇整式”． (1)若整式A是关于x的“奇整式”，当x取1与时，对应的整式值分别为，，则___________； (2)判断式子是“偶整式”还是“奇整式”，并说明理由； (3)对于整式，可以看作一个“偶整式”与“奇整式”的和． ①这个“偶整式”是___________，“奇整式”是___________； ②当x分别取，，，0，1，2，3时，这七个整式的值之和是___________． 15．对于有理数a，b，n，d，若，则称a和b关于n的“相对关系值”为d，例如，，则2和3关于1的“相对关系值”为3． (1)和6关于2的“相对关系值”为 ； (2)若a和3关于1的“相对关系值”为7，求a的值； (3)若和关于1的“相对关系值”为1，和关于2的“相对关系值”为1，和关于3的“相对关系值”为1，…，和关于31的“相对关系值”为1． ①的最大值为 ； ②直接写出所有的值．（用含的式子表示） 模块5：实际应用 16．A、B两处粮库分别有水稻100 t和400 t，全部运送到C、D两米厂加工，而C、D米厂分别能加工水稻150 t和350 t；已知从A、B两处米厂的运价如下表： 到C厂运价 到D厂运价 A粮库 每吨15元 每吨10元 B粮库 每吨12元 每吨12元 （1）若从B粮库运到C地的水稻为x（50＜x＜150）吨，则从B粮库运到D地的水稻为 t；从A粮库将水稻运往D地的运输费用为 元； （2）用含x的式子表示出总运输费．（要求：列出算式，并化简） （3）当x=100时，求总运输费用． 17．我市某小区居民使用自来水2023年标准缴费如下（水费按月缴纳）： 用户月用水量 单价 不超过的部分 元 超过但不超过的部分 元 超过的部分 元 (1)当时， ①某户1月份用了的水，求该户1月份应缴纳的水费__________元． ②某户4月份用了的水，求该户4月份应缴纳的水费__________元． ③某户8月份用了的水，求该户8月份应缴纳的水费__________元． (2)设某户月用水量为，当时，该户应缴纳的水费为__________元（用含，的式子表示）． (3)当时，甲、乙两户一个月共用水，已知甲户缴纳的水费超过了24元，设甲户这个月用水，试求甲，乙两户一个月共缴纳的水费（用含的式子表示） 模块6：与有理数的整除结合 18．若一个三位数的百位、十位和个位上的数字分别为则这个三位数可记为，易得． (1)如果要用数字组成一个三位数（各数位上的数不同），那么组成的数中最大的三位数是，最小的三位数是． (2)若一个三位数各数位上的数由三个数字组成，且．那么，请说明所组成的最大三位数与最小三位数之差可以被整除． 19．对于一个正三位数，若其百位数字与个位数字的和与十位数字的差等于3，则称这个三位数为“三三数”． 例如：，∵，∴124是“三三数”． (1)直接填空：256______“三三数”；（填“是”或“不是”） (2)若（，且为整数），试说明是“三三数”； (3)已知是“三三数”，且（，，且、均为整数），是去掉其百位数字后的两位数，而是去掉其个位数字后的两位数，若与的和能被6整除，试求的值． 20．如果一个两位数的个位数字是，十位数字是，那么我们可以把这个两位数简记为，即．如果一个三位数的个位数字是，十位数字是，百位数字是，那么我们可以把这个三位数简记为，即． (1)列式分别表示出两位数和，并证明和的差能被9整除． (2)若规定：对任意一个三位数进行运算，得到整数． 如：． 若一个三位数满足，求这个三位数． (3)已知一个三位数和一个两位数，若满足，请求出所有符合条件的三位数． 模块7：材料、探究题 21．问题提出： 将一根长度是（的偶数）的细绳按照如图所示的方法对折次（），然后从重叠的细绳的一端开始，每隔1厘米（两端弯曲部分的绳长忽略不计）剪1刀，共剪刀（的整数），最后得到一些长和长的细绳．如果长的细绳有222根，那么原来的细绳的长度是多少？ 问题探究： 为了解决问题，我们可以先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法． 探究一： 对折1次，可以看成有根绳子重叠在一起，如果剪1刀（如图①），左端出现了2根长的细绳，右端出现了根长的细绳，所以原绳长为；如果剪2刀（如图②），左端仍有2根长的细绳，中间有根长的细绳，右端仍有根长的细绳， 所以原绳长为；如果剪3刀（如图③），左端仍有2根长的细绳，中间有根长的细绳，右端仍有根长的细绳，所以原绳长为；以此类推，如果剪刀，左端仍有2根长的细绳，中间有根长细绳，右端仍有根长的细绳，所以，原绳长为． 探究二： 对折2次，可以看成有根绳子重叠在一起，如果剪1刀（如图④），左端出现了2根长的细绳，两端共出现了根长的细绳，所以原绳长为；如果剪2刀（如图⑤），左端仍有2根长的细绳，中间有根长的细绳，两端仍有根长的细绳，所以原绳长为；如果剪3刀（如图⑥），左端仍有2根长的细绳，中间有根长的细绳，两端共有根长的细绳，所以原绳长为；以此类推，如果剪刀，左端仍有2根长的细绳，中间有根长的细绳，两端仍有根长的细绳，所以原绳长为． 探究三： 对折3次（如图⑦），可以看成有根绳子重叠在一起，如果剪刀，左端有2根长的细绳，中间有根长的细绳，两端有根长的细绳，所以原绳长为cm． (1)总结规律： 对折次，可以看成有 根绳子重叠在一起，如果剪刀，左端有 根长的细绳，中间会有 根长的细绳，两端会有 根长的细绳，所以原绳长为 ． (2)问题解决： 如果长的细绳有222根，根据以上探究过程可以推算出细绳可能被对折了 次，被剪了 刀，原来的细绳的长度是 ． (3)拓展应用： 如果长的细绳有2024根，那么原来的细绳的长度是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训01 整式的加减 压轴题（七大模块） 模块1：图形周长、面积问题（几何应用） 1．把四张大小相同的长方形卡片（如图①）按图②、图③两种放法放在一个底面为长方形（长比宽多）的盒底上，底面为被卡片覆盖的部分用阴影表示，若记图②中阴影部分的周长为，图③中阴影部分的周长为，则 . 【答案】8 【分析】此题要先设小长方形的长为acm，宽为bcm，再结合图形分别得出图形②的阴影周长和图形③的阴影周长，比较后即可求出答案 【解析】设小长方形的长为acm，宽为bcm，大长方形的宽为xcm，长为（x＋4）cm， ∴②阴影周长为：2（x＋4＋x）＝4x＋8 ∴③下面的周长为：2（x−a＋x＋4−a） 上面的总周长为：2（x＋4−2b＋x−2b） ∴总周长为：2（x−a＋x＋4−a）＋2（x＋4−2b＋x−2b）＝4（x＋4）＋4x−4（a＋2b） 又∵a＋2b＝x＋4 ∴4（x＋4）＋4x−4（a＋2b）＝4x ∴C2−C3＝4x＋8−4x＝8 故答案为8. 【点睛】此题主要考查整式的加减的运用，做此类题要善于观察，在第②个图形中利用割补法进行计算，很容易计算得出结果． 2．把两张形状、大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为x，宽为y）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．阴影部分刚好能分割成两张形状大小不同的小长方形卡片（如图③），则分割后的两个阴影长方形的周长之和是 ： 【答案】 【分析】本题考查列代数式，整式的运算，设2张形状大小完全相同的小长方形卡片的长和宽分别为m、n，然后分别求出阴影部分的2个长方形的长宽即可． 【解析】解：设2张形状大小完全相同的小长方形卡片的长和宽分别为m、n．如图， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵长方形的长为：， 宽为：， ∴长方形的周长为： ∵长方形的长为：， 宽为：， ∴长方形的周长为：， ∴分割后的两个阴影长方形的周长和为：， 故答案为：． 3．如图，在长方形中放入一个大正方形和两个大小相同的小正方形及，其中在边上，与在同一条直线上且，延长交于点K，三个阴影部分的面积分别记为，，，已知长方形的面积，则下列式子可计算出的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式与几何图形，延长交于点，得到，即四边形的面积为，再得到，即四边形的面积为，再利用得到四边形的面积为4，即可解答，正确作出辅助线是解题的关键． 【解析】解：如图，延长交于点， 两个大小相同的小正方形及， ， ， 即， 四边形的面积等于， 同理可得， ， 四边形的面积等于， ， ， 即， ， ， 四边形为正方形，两个大小相同的小正方形及， ，， ， 即， 正方形的面积为4， 长方形的面积已知， 已知， 故答案为：D． 4．在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行速算，求解过程如图1所示. （1）仿照图1，在图2中补全的“竖式”； （2）仿照图1，用“列竖式”的方法计算一个十位数字是的两位数的平方，过程部分如图3所示，则这个两位数为 （用含的代数式表示）. 【答案】（1）答案见解析；（2）10a+5 【分析】（1）根据前三个“列竖式”的结果可以得出方格中第一排是十位数和个位数的平方，第二排是十位数和个位数的积的2倍，据此填写表格即可； （2）根据（1）中规律，设个位数字为b，列式整理即可. 【解析】（1）根据前三个“列竖式”的结果可以得出方格中第一排是十位数和个位数的平方，第二排是十位数和个位数的积的2倍，因为56十位数字是5，所以第一排前两个方格应该填5的平方25，第二排应该填5×6×2=60，如下图： （2）设个位数字为b，则第二排的数字应该填写a×b×2，，因为表中填写的是a，0,所以这个数是10a，所以a×b×2=10a所以解得b=5，所以这个两位数个位数数字是5，十位上是a，所以这个两位数是10a+5. 【点睛】本题考查的是规律探索和列代数式与一元一次方程的解法，能够找出题中规律是解题的关键. 5．阅读下面材料并解决问题： 两个数量的大小可以通过它们的差来判断，如果两个数和比较大小，那么，当时，有；当时，有；当时，有；反过来也对，即当时，有；当时，有；当时，有． 因此，我们经常把两个要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小．像这样判断两数大小关系的方法叫做求差法，请你用求差的方法解决以下问题： (1)若，，则　　0，　　（填，或； (2)如图，图1长方形1的周长　　，图2长方形Ⅱ的周长　　，用求差法比较、的大小； (3)制作某产品有两种用料方案，方案一：用3块A型钢板，用5块B型钢板；方案二：用2块A型钢板，用6块B型钢板．A型钢板的面积比B型钢板的面积大．设A型钢板和B型钢板的面积分别为x和y，从省料角度考虑，应选哪种方案？ 【答案】(1)＞，＞ (2) (3)从省料角度考虑，应选方案二 【分析】本题考查比差法及应用，涉及整式的加减，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题解决． （1）用减即可得到答案； （2）由长方形的周长公式得，，再作差讨论比较即可； （3）方案一所用钢板面积为：，方案二所用钢板面积为：，再作差比较即可． 【解析】（1）， ， 故答案为：，； （2）图1长方形的周长，图2长方形的周长， ， 当时，， 当时，； 当时，， 故答案为：，； （3）根据题意，方案一所用钢板面积为：，方案二所用钢板面积为：， ， 且， ， 从省料角度考虑，应选方案二． 6．已知正方形与正方形，，．根据下列条件平移正方形，解决下列问题．    (1)如图1，若点和点重合，点在线段上，点在线段的延长线上，连接、，将三角形的面积记作，则________（用含有的代数式表示）． (2)若点与点重合，点在线段上，点在线段的延长线上，连接，将三角形的面积记作，则________（用含有的代数式表示）． (3)如图2，若将正方形沿正方形的边所在直线平移，使得点在线段上（点不与点重合、点不与点重合），连接，设，将三角形的面积记作，则________（用含有的代数式表示）． (4)若将正方形沿正方形的边所在直线平移，使得点在的延长线上，连接，设，将三角形的面积记作，则________（用含有的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用割补法即可求解； （2），利用割补法即可求解； （3），利用割补法即可求解； （4），利用割补法即可求解； 熟练掌握割补法及利用数形结合思想解决问题是解题的关键． 【解析】（1）解：如图：   ， 故答案为：． （2）延长与交于，如图：    ， 故答案为：． （3）延长延长与交于，延长与交于，如图所示：    ∵， ，， ， 故答案为：． （4）延长与交于，延长与交于，如图：   ，， ， 故答案为：． 模块2：数字、图形规律类 7．有依次排列的2个整式：a，，对任意相邻的两个整式，每次都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生第一个整式串：a，2，，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串，称为第二个整式串；以此类推．通过下列实际操作： ①第二次操作后整式串为：a，2，a，； ②第12个整式串中，从右往左第二个整式为； ③第2025次操作后，所有的整式的和为； ④第n个整式串比第个整式串少个整式． 以上结论中正确的有（    ）个 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减运算法则，掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 根据整式的加减运算法则进行计算即可解答． 【解析】第一次操作后的整式串：，，， 第二次操作后的整式串：，，，， 故结论正确． 由题意得：第一个整式串：，，； 第二个整式串：，，，，； 第三个整式串：，，，，，，，，； 第四个整式串：，，，，，，，，，，，，，，，，； ．．．．．． 观察可得：第奇数个整式串，从右往左第二个整式为；第偶数个整式串，从右往左第二个整式为； 即第个整式串中，从右往左第二个整式为； 故结论错误． 第次操作后，所有的整式的和为，第次操作后，所有的整式的和为，第次操作后，所有的整式的和为，第次操作后，所有的整式的和为， ．．．．．． 依照规律可得第次操作后，所有的整式的和为； 第2025次操作后，所有的整式的和为； 故结论正确． 观察可得：第个整式串比第个整式串多个整式，第个整式串比第个整式串多个整式，第个整式串比第个整式串多个整式， ．．．．．． 依照规律可得第个整式串比第个整式串多个整式． 故结论正确； 故选：B． 8．有依次排列的个整式：，，对任意相邻的个整式都用右边的整式减去左边的整式，所得的差都写在这个整式之间，由此产生第个整式串：，，；将第个整式串按上述方式再操作一次，可以得到第个整式串：，，，，．以此类推，通过实际操作，得到以下结论： ①第个整式串中末尾的整式为； ②第个整式串共有个整式； ③第个整式串中，所有整式的和为； ④第个整式串中，从左往右第二个整式为． 以上结论中正确的有　　个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了数字类规律探索，整式的加减．根据题，得出一般规律：第个整式串共有个整式，所有整式的和为，从左往右第二个整式为，据此逐一判断即可． 【解析】解：由题意可知，第1个整式串：，，；整式的个数为， 所有整式的和为； 第2个整式串：，，，，；整式的个数为， 所有整式的和为 第3个整式串为，，，，，，，，；整式的个数为， 所有整式的和为 …… 观察发现，第个整式串共有个整式，所有整式的和为， 第个整式串中末尾的整式为，故①错误， 第6个整式串共有个整式，②结论正确； 即第9个整式串中，所有整式的和为，③结论正确； 第个整式串中，从左往右第二个整式为 ∴第2025个整式串中，从左往右第二个整式为，④结论错误； 结论中正确的有②③，共2个， 故选：B． 9．如图，用个实心圆圈，个圆圈相间组成一个圆环，然后把这样的圆环从左到右按下列差律组成圆环串； 相邻两圆环有一公共圆圈，公共圆圈从左到右以实心圆圈和空心圆圈相间排列． 圆环串中圆环的个数 实心圆圈和空心圆圈的总个数 (1)把表格补充完整： (2)设圆环串由个圆环组成，请你直接写出组成这圆环所需实心圆圈和空心圆圈的总个数______个(用含的代数式表示)； (3)如果圆环串由这样的圆环个组成，那么实心圆圈和空心圆圈的总数有多少个? 有多少个空心圆圈? 【答案】(1)表格补充完整见解析； (2)； (3)实心圆圈和空心圆圈的总数有个，空心圆圈有个． 【分析】（）利用每增加一个圆环，实心圆圈和空心圆圈的总个数就多出个，由此规律得出答案即可； （）利用每增加一个圆环，实心圆圈和空心圆圈的总个数就多出个，由此规律得出答案即可； （）因为围成偶数个圆环需要的实心圆圈比空心圆圈多个，由（）得出的规律，直接算出总数，进而即可求出空心圆圈数； 本题考查了图形类变化规律，根据图形，找到数字间的运算规律是解题的关键． 【解析】（1）解：表格补充完整如下： 圆环串中圆环的个数 实心圆圈和空心圆圈的总个数 （2）解：∵每增加一个圆环，实心圆圈和空心圆圈的总个数就多出个， ∴当圆环串由个圆环组成，组成圆环所需实心圆圈和空心圆圈的总个数为个， 故答案为：； （3）解：当时，实心圆圈和空心圆圈的总数有个， ∵围成偶数个圆环需要的实心圆圈比空心圆圈多个， ∴空心圆圈有个． 10．【观察思考】如图，是某同学在棋盘上用围棋摆成的图案． 【规律发现】 （1）第⑤个图案中“●”的个数为______，“○”的个数为______； （2）第n个图案中“●”的个数为______，“○”的个数为______； 【规律应用】 （3）该同学准备用100枚“●”棋子和100枚“○”棋子摆放第n个图案，摆放成完整的图案后，写出n的最大值为______；此时还剩下______枚棋子． 【答案】（1）15，20；（2），；（3）13，57 【分析】本题主要考查图形变化类的规律问题，解题关键在于求出黑白棋子各自的变化规律． （1）依次列出前5个图中黑子和白子的个数即可求解； （2）根据规律发现第n个图案中白子为4n个，黑子为个，然后倒序相加，即可求解； （3），解得（舍负），∴n最大为13，即可求解． 【解析】（1）解：第1图中黑子为1个， 第2个图中黑子为个， 第3个图中黑子为个， 第4个图中黑子为个， 第5个图中黑子为个； 第1图中白子为个， 第2个图中白子为个， 第3个图中白子为个， 第4个图中白子为个， 第5个图中白子为个； 故答案为：15，20． （2）解：由（1）第n个图中黑子为个， 令为①式；为②式，则①+②得：，由n个， ∴，∴第n个图案中“●”的个数为； 由（1）得第n个图案“○”的个数为， 故答案为：，． （3）解：若，解得（舍负），∴n最大为13， 那么使用白子为个，黑子为个，剩余个， 故答案为：13，57． 模块3：数轴与字母取值无关结合问题 11．A、B为数轴上的两个点，点A对应的数记为a，点B对应的数记为b，且是关于x、y的三次二项式．解答下列问题： (1)________，________； (2)若数轴上有一点C，且，求点C对应的数； (3)若点M、N分别从O、B出发，同时向左匀速运动，点M的速度为m个单位长度每秒，点N的速度是3个单位长度每秒，点P、Q分别为线段、线段的中点.设运动时间为t秒，在点M，N的运动过程中，若的长度与t的取值无关，求m的值及的长度． 【答案】(1)， (2) (3)， 【分析】本题主要考查了整式的定义、绝对值方程、两点间距离、无关性问题等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）根据三次二项式列方程求解即可求得a、b的值； （2）设点C对应数为c，然后列绝对值方程求解即可； （3）设运动时间为t秒，先表示出点M、N，再表示出P、Q，然后用绝对值表示出、,进而确定m的值，进而完成解答． 【解析】（1）解：∵是关于x、y的三次二项式， ∴， ∴． 故答案为：，． （2）解：设点C对应数为c， ∵点A对应的数记为，点B对应的数记为12，， ∴， 当时，有，解得：，不符合题意； 当时，有，解得：，符合题意； 当时，有，解得：，不符合题意． 综上，设点C对应数为． （3）解：设运动时间为t秒，则点M表示，点N表示， P、Q为、的中点 点P表示，点Q表示， ， ， 的长度与t无关， ， ∴当时，． 12．如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，已知是，数是最大的负整数，是单项式的次数． (1)_____，_______． (2)点，，开始在数轴上运动，若点B和点C分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，秒过后，若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为． ①_____，________．（用含的代数式表示） ②探究：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个值． ③若点，，与三点同时开始在数轴上运动，点从原点出发以每秒4个单位长度的速度向左运动，请含的式子表示． 【答案】(1)，3 (2)①；；②不变，16；③或． 【分析】（1）根据最大的负整数是，单项式的次数是3，得到，得到，3即可． （2）①根据点B和点C分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，秒过后，点A运动的路程为，点B运动的路程为，点C运动的路程为，结合A起始数为，B起始数为，C起始数为3，故运动秒后点A表示的数，点B表示的数为，点C表示的数为，根据公式计算解答即可． ②根据题意，得，，代入，化简计算说明即可． ③根据点B和点C分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，点从原点出发以每秒4个单位长度的速度向左运动，秒过后，点A运动的路程为，点B运动的路程为，点C运动的路程为，点M运动路程为，结合A起始数为，B起始数为，C起始数为3，点M起始数为0，故运动秒后点A表示的数，点B表示的数为，点C表示的数为，点M表示的数是，分点M在点A的左侧和右侧两种情形解答即可． 本题考查了最大的负整数，单项式的次数，数轴上运动路程，两点间的距离，分类思想，代数式的无关问题，熟练掌握运动路程与表示数的关系，两点间的距离公式是解题的关键． 【解析】（1）根据最大的负整数是，单项式的次数是3， 得，， 故答案为：，3． （2）①根据点B和点C分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，秒过后，点A运动的路程为，点B运动的路程为，点C运动的路程为，结合A起始数为，B起始数为，C起始数为3，故运动秒后点A表示的数，点B表示的数为，点C表示的数为， ∴，， 故答案为：；． ②根据题意，得，， ∴． 故的值不变，这个常数是16． ③根据点B和点C分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，点从原点出发以每秒4个单位长度的速度向左运动，秒过后，点A运动的路程为，点B运动的路程为，点C运动的路程为，点M运动路程为，结合A起始数为，B起始数为，C起始数为3，点M起始数为0，故运动秒后点A表示的数，点B表示的数为，点C表示的数为，点M表示的数是，分点M在点A的左侧和右侧两种情形解答即可． 当在的右侧时，根据题意，得，， ∴． 当在的左侧时，根据题意，得，， ∴． 13．如图1．在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N的距离记为．我们规定：的大小用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即．请用上面的知识解答下面的问题：如图2：在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，b是最大的负整数．且a，c满足与互为相反数． (1) ， ， ； (2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与表示数 的点重合； (3)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟后． ①请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值； ②探究：若点A，C向右运动，点B向左运动，速度保持不变，的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)，，5 (2)3 (3)①28；②当时，的值随时间t的变化而变化；当时，的值为26． 【分析】（1）根据最大的负整数是−1，绝对值和偶次方具有非负性可求解； （2）由题意容易得出折叠点表示的数是1，再根据与2的距离可得答案； （3）①先表示出t秒后A、B、C表示的数，然后分别求出，，再代入计算即可得出结论； ②先表示出t秒后A、B、C表示的数，然后分别求出，，然后分A在B的左侧；A在B的右侧讨论，再代入计算即可得出结论． 【解析】（1）解：∵a，c满足与互为相反数， ∴， ∴，， ∴，， ∵b是最大的负整数， ∴； 故答案为：，，5； （2）解：当与5重合时，折叠点是， ∴与点B重合的点表示的数为：， 故答案为：3； （3）解：①t秒后，A表示的数为，B表示的数为，C表示的数， ∴， ， ∴ ； ②秒后，A表示的数为，B表示的数为，C表示的数， ∴， ， 当A、B重合时，，解得， 当A在B的左侧，即时，， ∴ ， ∴的值随时间t的变化而变化； 当A在B的右侧，即时，， ∴ ； 综上，当时，的值随时间t的变化而变化；当时，的值为26． 模块4：新定义题 14．关于x的整式，当x取任意一组相反数m与时，若整式的值相等，则该整式叫做“偶整式”；若整式的值互为相反数，则该整式叫做“奇整式”．例如：是“偶整式”，是“奇整式”． (1)若整式A是关于x的“奇整式”，当x取1与时，对应的整式值分别为，，则___________； (2)判断式子是“偶整式”还是“奇整式”，并说明理由； (3)对于整式，可以看作一个“偶整式”与“奇整式”的和． ①这个“偶整式”是___________，“奇整式”是___________； ②当x分别取，，，0，1，2，3时，这七个整式的值之和是___________． 【答案】(1)0 (2)奇整式；理由见解析 (3)①；②35 【分析】（1）根据定义直接判断即可； （2）将代替x代入观察结果与原式的结果关系即可判断； （3）①将原式各项中偶次项和常数项组合在一起即为偶整式，其余项的和即为奇整式； ②将各数值依次代入偶整式和奇整式中，再相加即可求解． 【解析】（1）由定义可知，整式的值互为相反数， 故答案为：0； （2）奇整式 理由：将代入中可得； ∵与互为相反数， ∴该式为奇整式； （3）①， ∵，， ∴是偶整式，是奇整式． ②由于是偶整式，是奇整式， ∴当x分别取，，，0，1，2，3时， 的值分别为10,5,2,1,2，5,10；当x取互为相反数的值时的值也互为相反数，即和为0； ∴这七个整式的值之和是； 故答案为：35． 【点睛】本题考查了整式，涉及到了乘方的性质和运算等知识，解题关键是能正确理解偶整式和奇整式的定义，能对整式进行变形以及代入数值进行计算等． 15．对于有理数a，b，n，d，若，则称a和b关于n的“相对关系值”为d，例如，，则2和3关于1的“相对关系值”为3． (1)和6关于2的“相对关系值”为 ； (2)若a和3关于1的“相对关系值”为7，求a的值； (3)若和关于1的“相对关系值”为1，和关于2的“相对关系值”为1，和关于3的“相对关系值”为1，…，和关于31的“相对关系值”为1． ①的最大值为 ； ②直接写出所有的值．（用含的式子表示） 【答案】(1) (2)或6 (3)①3；②或或或 【分析】本题考查了绝对值的意义，化简绝对值．分类讨论是解题的关键． （1）由题意知，和6关于2的“相对关系值”为，计算求解即可； （2）由题意知，，即，计算求解即可； （3）①由题意知，，然后分当时；当时；当时；当，时，化简绝对值，然后求解即可；②由题意知，，，……，，分当时；当，时；当，时；当时； 当，时；当，时，分别计算求出满足要求的解即可． 【解析】（1）解：由题意知，和6关于2的“相对关系值”为， 故答案为：； （2）解：由题意知，，即， 解得，或， ∴a的值为或6； （3）①解：由题意知，， 当时，，则； 当时，，则，； 当时，，则，； 当，时，，则； 综上所述，的最大值为3， 故答案为：3； ②解：由题意知，，，……，， ∴当时，，解得，； 同理，，……. ， ∴； 当，时，，此情况不成立； 当，时，则，，……，， ∴； 当时，由题意得，，，……，， ∴，即， 同理，，…...，， ∴； 当，时，，此情况不成立； 当，时，，即， 同理，，，……，， ∴； 综上所述，的值为或或或． 模块5：实际应用 16．A、B两处粮库分别有水稻100 t和400 t，全部运送到C、D两米厂加工，而C、D米厂分别能加工水稻150 t和350 t；已知从A、B两处米厂的运价如下表： 到C厂运价 到D厂运价 A粮库 每吨15元 每吨10元 B粮库 每吨12元 每吨12元 （1）若从B粮库运到C地的水稻为x（50＜x＜150）吨，则从B粮库运到D地的水稻为 t；从A粮库将水稻运往D地的运输费用为 元； （2）用含x的式子表示出总运输费．（要求：列出算式，并化简） （3）当x=100时，求总运输费用． 【答案】（1）（400-x）、（10x-500）；（2）总运费为（6550-5x）元；（3）6050元． 【分析】（1）由B粮库有水稻400t全部运出，可得从B粮库运到D地的水稻=400t-从B粮库运到C地的水稻，则第一个空可解；先用x表示出从A粮库将水稻运往D地的吨数，再乘以10则第二个空可解． （2）据题意先用x分别表示出从A粮库将运往D地C地的水稻质量、从B粮库运到C地D地的水稻质量，再乘以相应的运费单价，最后相加即可用x表示出总费用． （3）把x=100代入到（2）所得到的代数式中求值即可． 【解析】（1）：∵从B粮库运到C地的水稻为x（50＜x＜150）吨且B粮库有水稻400t全部运出 ∴从B粮库运到D地的水稻为（400-x）t； ∴由表格知从B粮库将水稻运往C、D地的运输费用分别为12x元和12(400-x)元； ∵D地能加工水稻350 ∴从A粮库运往D地的水稻为（t） ∴由表格知从A粮库将水稻运往D地的运输费用为（元）； 故答案为：（400-x）；（10x-500） （2）∵A粮库有水稻100t且全部运出 ∴从A粮库运往C地的水稻为100-(x-50)=150-x(t) ∴由表格知从A粮库将水稻运往C地的运输费用为15(150-x)元． ∴运输的总费用为： = =（元）． （3）把x=100代入到-5x+6550中得 -5x+6550=-500+6550=6050（元） 答：当x=100时，总费用为6050元． 【点睛】此题考查列代数式解决实际问题．关键是理解题意和表格，从中抽象出相等关系． 17．我市某小区居民使用自来水2023年标准缴费如下（水费按月缴纳）： 用户月用水量 单价 不超过的部分 元 超过但不超过的部分 元 超过的部分 元 (1)当时， ①某户1月份用了的水，求该户1月份应缴纳的水费__________元． ②某户4月份用了的水，求该户4月份应缴纳的水费__________元． ③某户8月份用了的水，求该户8月份应缴纳的水费__________元． (2)设某户月用水量为，当时，该户应缴纳的水费为__________元（用含，的式子表示）． (3)当时，甲、乙两户一个月共用水，已知甲户缴纳的水费超过了24元，设甲户这个月用水，试求甲，乙两户一个月共缴纳的水费（用含的式子表示） 【答案】(1)①6；②27；③60 (2) (3)当时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为元；当时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为元；当时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为元 【分析】（1）根据所给的收费标准进行分段计算，可以分别计算出该用户1月份，4月份，8月份应缴纳的水费； （2）根据所给的收费标准进行分段计算，可以计算出当时，该用户应缴纳的水费； （3）分当时，当时，当时，三种情况根据所给的收费标准讨论求解即可． 【解析】（1）解：由题意可知： ①某用户1月份用了水，则该用户这个月应缴纳的水费为：（元）； 故答案为：6； ②某用户4月份用了水，则该用户这个月应缴纳的水费为：（元）； 故答案为：27； ③某用户8月份用了水，则该用户这个月应缴纳的水费为：（元）； 故答案为：60； （2）由题意可得： （元）， ∴当时，该户应缴纳的水费为元， 故答案为：； （3）∵， ∴， 当时，甲用水量超过但不超过，乙用水量超过， ∴甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为： ； 当时，甲的用水量超过，乙的用水量超过但不超过， ∴甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为： ； 当时，甲的用水量超过，乙的用水量不超过， ∴甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为： ； 综上所述，当时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为元；当时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为元；当时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为元． 【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合计算的实际应用，整式加减计算的实际应用，正确理解题意利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 模块6：与有理数的整除结合 18．若一个三位数的百位、十位和个位上的数字分别为则这个三位数可记为，易得． (1)如果要用数字组成一个三位数（各数位上的数不同），那么组成的数中最大的三位数是，最小的三位数是． (2)若一个三位数各数位上的数由三个数字组成，且．那么，请说明所组成的最大三位数与最小三位数之差可以被整除． 【答案】(1) (2)理由见解析 【分析】本题考查整式加减计算，有理数加减计算，解题的关键是读懂题目意思正确列式， （1）根据大数位数字越大整个数字越大，大数位数字越小整个数字越小，即可得到答案； （2）组出最大三位数与最小三位数作差化简即可得到答案； 【解析】（1）解：用数字组成一个三位数（各数位上的数不同），那么组成的数中最大的三位数是，最小的三位数是． 故答案为：； （2）(2)证明:一个三位数各数位上的数由三个数字组成,且， 所组成的最大三位数为：，最小三位数为：， 所组成的最大三位数与最小三位数之差为， ， 所组成的最大三位数与最小三位数之差可以被99整除． 19．对于一个正三位数，若其百位数字与个位数字的和与十位数字的差等于3，则称这个三位数为“三三数”． 例如：，∵，∴124是“三三数”． (1)直接填空：256______“三三数”；（填“是”或“不是”） (2)若（，且为整数），试说明是“三三数”； (3)已知是“三三数”，且（，，且、均为整数），是去掉其百位数字后的两位数，而是去掉其个位数字后的两位数，若与的和能被6整除，试求的值． 【答案】(1)是 (2)见解析 (3)的值为或 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、整式的加减的应用，理解题意，正确列式计算，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）求出，再根据“三三数”的定义判断即可； （2）由题意得出的百位上的数字为，个位上的数字为，十位上的数字为，从而得出，由此即可得解； （3）分两种情况：当时，的百位数字为，十位数字为，个位数字为；当时，的百位数字为，十位数字为，个位数字为，分别求解即可得出答案． 【解析】（1）解：， 256是“三三数”， 故答案为：是； （2）解：， 的百位上的数字为，个位上的数字为，十位上的数字为， ， 是“三三数”； （3）解：（，，且、均为整数）， 当时，的百位数字为，十位数字为，个位数字为， 是“三三数”， ， ， 是去掉其百位数字后的两位数，而是去掉其个位数字后的两位数， ，， ， 与的和能被6整除，且， ，此时，； 当时，的百位数字为，十位数字为，个位数字为， 是“三三数”， ， ， ， ， 是去掉其百位数字后的两位数，而是去掉其个位数字后的两位数， ，， ， 与的和能被6整除，且， ，此时，； 综上所述，的值为或． 20．如果一个两位数的个位数字是，十位数字是，那么我们可以把这个两位数简记为，即．如果一个三位数的个位数字是，十位数字是，百位数字是，那么我们可以把这个三位数简记为，即． (1)列式分别表示出两位数和，并证明和的差能被9整除． (2)若规定：对任意一个三位数进行运算，得到整数． 如：． 若一个三位数满足，求这个三位数． (3)已知一个三位数和一个两位数，若满足，请求出所有符合条件的三位数． 【答案】(1)，，证明见解析 (2)507或516或523 (3)104，115，126，137，148，159，208，219 【分析】（1）根据题意可求出，即得出和的差能被9整除； （2）结合题意，根据有理数乘方和加减运算的法则，得x和y的关系式为，再根据x，y均为0到9的整数，结合有理数混合运算的性质计算，即可得到答案； （3）结合题意，通过列等式并合并同类项计算，得a、b、c的关系式，再结合a、b、c的取值范围及整数的性质，通过计算即可得到答案． 【解析】（1）由题意得：，， ∴ ． ∵， ∴和的差能被9整除； （2）由题意可知， ∵x，y均为0到9的整数， ∴当时，； 当时，； 当时，； 当时，y为负数，不符合题意， ∴这三个数是507或516或523； （3），，， ∴， ∴． a为1到9的整数，b，c均为0到9的整数， ∴当时，若，则，此时三位数是104； 若，则，此时三位数是115； 若，则，此时三位数是126； 若，则，此时三位数是137； 若，则，此时三位数是148； 若，则，此时三位数是159； 若，则，舍去； 当时，若，则，此时三位数是208； 若，则，此时三位数是219； 若，则，舍去； ∵当时，显然不符合题意． 综上可知，符合条件的三位数有104，115，126，137，148，159，208，219． 【点睛】本题考查有理数的混合运算、列代数式、整式加减的应用．解题的关键是熟练掌握含乘方的有理数混合运算法则、合并同类项的法则． 模块7：材料、探究题 21．问题提出： 将一根长度是（的偶数）的细绳按照如图所示的方法对折次（），然后从重叠的细绳的一端开始，每隔1厘米（两端弯曲部分的绳长忽略不计）剪1刀，共剪刀（的整数），最后得到一些长和长的细绳．如果长的细绳有222根，那么原来的细绳的长度是多少？ 问题探究： 为了解决问题，我们可以先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法． 探究一： 对折1次，可以看成有根绳子重叠在一起，如果剪1刀（如图①），左端出现了2根长的细绳，右端出现了根长的细绳，所以原绳长为；如果剪2刀（如图②），左端仍有2根长的细绳，中间有根长的细绳，右端仍有根长的细绳， 所以原绳长为；如果剪3刀（如图③），左端仍有2根长的细绳，中间有根长的细绳，右端仍有根长的细绳，所以原绳长为；以此类推，如果剪刀，左端仍有2根长的细绳，中间有根长细绳，右端仍有根长的细绳，所以，原绳长为． 探究二： 对折2次，可以看成有根绳子重叠在一起，如果剪1刀（如图④），左端出现了2根长的细绳，两端共出现了根长的细绳，所以原绳长为；如果剪2刀（如图⑤），左端仍有2根长的细绳，中间有根长的细绳，两端仍有根长的细绳，所以原绳长为；如果剪3刀（如图⑥），左端仍有2根长的细绳，中间有根长的细绳，两端共有根长的细绳，所以原绳长为；以此类推，如果剪刀，左端仍有2根长的细绳，中间有根长的细绳，两端仍有根长的细绳，所以原绳长为． 探究三： 对折3次（如图⑦），可以看成有根绳子重叠在一起，如果剪刀，左端有2根长的细绳，中间有根长的细绳，两端有根长的细绳，所以原绳长为cm． (1)总结规律： 对折次，可以看成有 根绳子重叠在一起，如果剪刀，左端有 根长的细绳，中间会有 根长的细绳，两端会有 根长的细绳，所以原绳长为 ． (2)问题解决： 如果长的细绳有222根，根据以上探究过程可以推算出细绳可能被对折了 次，被剪了 刀，原来的细绳的长度是 ． (3)拓展应用： 如果长的细绳有2024根，那么原来的细绳的长度是 ． 【答案】(1)2n，2，，（）， (2)1或2，111或56，224或228 (3)2026 【分析】（1）根据题意对折1次，2次，3次的规律，进行推导对折n次的结果； （2）由题意，得2+=222，进而讨论解得情况求m，n即可； （3）方法同（2）进行计算即可． 【解析】（1）解：对折1次，有根绳子重叠在一起，剪刀，左端仍有2根长的细绳，中间有根长细绳，右端有根长的细绳，原绳长为， 对折2次，有根绳子重叠在一起，剪刀，左端仍有2根长的细绳，中间有根长的细绳，两端有根长的细绳，原绳长为， 对折3次，有根绳子重叠在一起，剪刀，左端仍有2根长的细绳，中间有根长的细绳，两端有根长的细绳，原绳长为， …… 则对折次，可以看成有根绳子重叠在一起，如果剪刀，左端有2根长的细绳，中间会有根长的细绳，两端会有（）根长的细绳，所以原绳长为 故答案为：2n，2，，（），； （2）解：由题意，得2+=222 ∴=220 ∴ 又，220=2×110或220=4×55 ∴可以为2，4 ∴=2或4，m-1=110或55 ∴n=1或2，m=111或56 ∴原绳长为21×（111+1）=224或22×（56+1）=4×57=228 故答案为：1或2，111或56，224或228； （3）解：由题意，得2+=2024 ∴=2022 ∴ 又，2022=2×1011 ∴为2 ∴=2，m-1=1011 ∴n=1，m=1012 ∴原绳长为21×（1012+1）=2×1013=2026 故答案为：2026． 【点睛】本题考查了图形变化类规律探究，解决本题的关键是读懂题意，根据图形变化归纳出规律． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$