特训02 整式的乘除 压轴题（八大模块）-2024-2025学年七年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（沪教版2024，上海专用）

特训02 整式的乘除 压轴题（八大模块） 模块1：幂的运算 1．阅读理解：我们在学习了幂的有关知识后，对两个幂与（都是正数，都是正整数）的大小进行比较，并归纳总结了如下两个结论： ①若，则．（底数相同，指数大的幂大） ②若，则．（指数相同，底数大的幂大） 尝试应用：试比较与的大小． 解：因为， ，……（第1步） 又， 所以……（第2步） 问题解决： (1)在尝试应用的解题过程中，第1步的思路是将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为_______；第2步的依据是_______． (2)请比较下面各组中两个幂的大小： ①与； ②与． 2．规定：如果两数，满足，则记为．例如：因为，所以．我们还可以利用该规定来说明等式成立．证明如下：设，，则，，故，则，即． (1)根据上述规定，填空：__________； (2)计算__________； (3)如果，，那么________； (4)若，，请说明与的关系．（为正整数） 3．阅读材料：我们已经学过幂的相关运算，其中幂的乘方是重要的性质之一，用式子表示为： （、为正整数），由此，幂的乘方运算反过来也是成立的，用式子表示为：（、为正整数），逆用幂的乘方的方法是：幂的底数不变，将幂的指数分解成两个因数的乘积，再转化成幂的乘方的形式．如，至于选择哪一个变形结果，要具体问题具体分析．例如，判断的末尾数字，我们可以采用如下的方法： 解析：的末尾数字等于的末尾数字 ∵，又（为正整数）的末尾数字均为， ∴的末尾数字是的末尾数字，即为． ∴的末尾数字为 根据以上阅读材料，回答下列问题： (1)逆用幂的乘方，写出的末尾数字 (2)试判断的末尾数字 模块2：整式的乘法的几何应用 4．把形状、大小完全相同，长为y，宽为x的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为m，宽为n，且）的盒子底部，有如下两种摆法（如图②③），盒子底部未被卡片覆盖的部分用阴影表示． (1)图②中阴影部分的周长为______（用含m，n的式子表示）； (2)图③中，若，请直接写出m，n的长（用含x，y的式子表示）； (3)若图②中阴影部分的面积为480，，且，在（2）的条件下，求图③中的长． 5．通常情况下，用两种不同的方法计算同一图形的面积，可以得到一个恒等式．现有如图1所示边长为a的正方形纸片，边长为b的正方形纸片，长宽分别为a、b的长方形纸片若干， 取部分纸片摆成如图2所示的一个长方形，根据这个长方形的面积可以得到的等式是：； (1)请利用若干图1所示纸片，摆出图形来说明：当a，b都不为0时，（画图并写出过程） (2)小明同学用图1中边长为a的正方形纸片x张，边长为b的正方形纸片y张，长宽分别为a、b的长方形纸片z张，拼出一个面积为的长方形，则 ， ， ． 6．将7张如图1的长方形纸片按照图2的方式不重叠放在长方形内，未被覆盖的区域恰好构成两个长方形，面积分别为，，已知小长方形的长为a，宽为b，且． (1)当，，时，求长方形的面积； (2)当时，请用含a，b的式子表示的值； (3)当时，若的值与m无关，则a，b满足怎样的数量关系？ 7．如图1，把边长为的正方形放在长方形中，其中正方形的两条边分别在，上，已知，． (1)请用含a、b的代数式表示阴影部分的面积： ； (2)将另一长方形BEFG放入图1中得到图2，已知，； ①请用含a、b的代数式表示长方形的面积： ；请用含a、b的代数式表示长方形面积： ； ②若长方形的周长为6，求阴影部分的面积（用含的代数式表示）． 模块3：整式的乘法的代数应用 8．在学习整式乘以整式时，我们知道的结果是一个整式，并且最高次项为，常数项为．那么一次项是多少呢？ 要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．通过观察，我们发现一次项系数就是：，即一次项为． 参考材料中用到的方法，解决下列问题： (1)计算所得整式的一次项系数； (2)如果计算所得整式不含一次项，求a的值． 9．对于代数式，不同的表达形式能表现出它不同的性质，若代数式，代数式，改变x的值，代数式A，B有不同的取值，如下表： x 0 1 2 3 4 0 3 8 15 24 35 0 3 8 15 24 观察表格发现：当时，，当时，，我们把这种现象称为代数式B参照代数式A取值延后，相应的延后值为1． (1)若代数式D参照代数式A取值延后，相应的延后值为2，求代数式D； (2)若代数式参照代数式A的取值延后，求相应的延后值； (3)若代数式参照代数式取值延后，求的值． 10．小华同学在计算后，爱思考的他发现：是x项的系数，与通过计算后的结果对比，x项的系数是正确的．为了验证这个发现，又计算，，x项的系数为；用他发现的方法计算：，结果还是一样的．请你认真领会小华同学的方法，并用他的方法解决下面问题． (1)直接写出相乘，积中x项的系数 (2)若，直接写出的值； (3)若的积中不含x项，求p的值； (4)拓展应用：某超市计划购进A，B两种型号某品牌矿泉水共100箱（每箱24瓶），有多种购进方案．这两种型号矿泉水的进价和售价如表格所示， A B 进价（元/箱） 24 30 售价（元/箱） 48 57 该超市积极参与做慈善活动，决定每售出一箱B型号矿泉水，向社会福利机构捐款m元，A型号矿泉水每箱的售价不变，100箱矿泉水全部售出后，不同的购进方案，超市获得的利润都相同，设购进A型号矿泉水有a箱，超市获得的利润为w元，用含a，m的式子表示w，并求m的值． 11．关于的整式与，令，，下列说法正确的有（    ）个． ①若是关于的二次整式，则的值共有3种不同的可能； ②若，，为整式，则中除常数项外其余各项系数和为； ③若，，，，，，则的最小值为； ④若，，，，令，，且，，则共有项． A．1 B．2 C．3 D．4 12．按顺序排列的8个单项式，，，，，，，中，任选个互不相邻的单项式（其中至少包含一个系数为1的单项式和一个系数为的单项式）相乘，计算得单项式M，然后在剩下的单项式中再任选若干个单项式相乘，计算得单项式N，最后计算，称此为“积差操作”．例如：当时，可选互不相邻的，，相乘，得，在剩下的单项式，，，，中可选，相乘，得，此时，．下列说法中正确的个数是（    ） ①存在“积差操作”，使得为五次二项式； ②共有3种“积差操作”，使得； ③共有12种“积差操作”，使得． A．0 B．1 C．2 D．3 模块4：“杨辉三角” 13．我们知道，很多数学知识相互之间都是有联系的．如图，图一是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和；图二是二项和的乘方的展开式（按b的升幂排列）．经观察：图二中某个二项和的乘方的展开式中，各项的系数与图一中某行的数一一对应，且这种关系可一直对应下去．将的展开式按x的升幂排列得：． 图一 图二 …     … 依上述规律，解决下列问题： （1）若，则 ； （2）若，则 ． 14．我国南宋时期有一位杰出的数学家杨辉，如图所示的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”． 第一行 第二行       各项系数和为 第三行            各项系数和为 第四行              各项系数和为 …… …… …… …… 此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，请根据上述规律，解决以下问题： (1)整式展开式共有______项，第二项的系数为______，各项系数和为______； (2)如图，在“杨辉三角”中，选取部分数1，3，6，……，记，，……请完成下列问题：    ①计算； ②计算； ③请直接写出的值． 模块5：乘法公式的几何应用 15．乘法公式的探究及应用． 数学活动课上，老师准备了若干个如图1所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成了如图2所示的大正方形． (1)①观察图2，请你写出代数式，，之间的等量关系式______． ②图3是由图1提供的几何图形拼接而得，可以得到______． (2)请利用图1所给的纸片拼出一个长方形，要求所拼出图形的面积为，（在图4的方框内进行作图），进而可以得到等式：______； (3)利用（2）中得到的结论，解决下面的问题：若，，求的值． 16．有足够多的如图所示的正方形和长方形的卡片． (1)选取1号、2号、3号卡片若干张，拼成一个正方形（不重叠无缝隙），并能运用拼图前后面积之间的关系，说明，，之间的数量关系成立，请画出这个正方形．小涵说简单，他很快的画出这个正方形． 解：如图1所示，正方形即为所求．设大正方形的面积为S，则面积S有两种不同的表示法：______，______．利用这一图形，我们可以发现，，之间的数量关系式是______． (2)小明想用类似（1）的方法解释整式乘法，那么用2号卡片______张，3号卡片______张． (3)如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙）． ①请画出这个长方形的草图． ②并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义，这个长方形的代数意义是______（写出一个你认为正确的等式）． (4)根据（1）中的数量关系，解决如下问题：已知，，求的值． 17．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片（其中A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是边长分别为a、b的长方形），并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．    (1)观察图2，请你写出下列三个代数式：之间的等量关系：__________． (2)若要拼出一个面积为的矩形，则需要A号卡片__________张，B号卡片__________张，C号卡片__________张； (3)根据（1）中得出的等量关系，解决如下问题：已知，求的值； (4)两个正方形，如图3摆放，边长分别为x，y．若，则图中阴影部分面积的和为__________． 18．现有若干张如图1所示的三种卡片，种卡片是边长为的正方形，种卡片是边长为的正方形，种卡片是长为、宽为的长方形． (1)若要拼出一个面积为的长方形，则需要种卡片______张，种卡片_______张，种卡片______张． (2)①利用4张种卡片按图2的形状拼成一个正方形，则可得到一个关于，，的等量关系式：___________． ②如图3，正方形和正方形的边长分别为，，若，，是的中点，请利用①中的公式求阴影部分面积的和． 19．在乘法公式的学习中，我们采用了构造几何图形的方法研究问题，通过用不同的方法求同一个平面图形的面积验证了平方差公式和完全平方公式，我们把这种方法称为等面积法．类似的，通过不同的方法求同一个立体图形的体积，我们称为等体积法；根据课堂学习的经验，解决下列问题： 在一个棱长为a的正方体中挖出一个棱长为b的正方体（如图1），然后利用切割的方法把剩余的立体图形（如图2）分成三部分（如图3），这三部分长方体的体积依次为． （1）分解因式： ； （2）请用两种不同的方法求图1中的立体图形的体积：（用含有a，b的代数式表示）① ；② ； 思考：类比平方差公式，你能得到的等式（写成因式分解的形式）为 ． （3）应用：利用在（2）中所得到的等式进行因式分解：； （4）拓展：已知，代数式的值为 ． 20．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2） (1)通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是___________； (2)应用（1）中得出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值． ②计算：． 21．阅读下列材料： 数学实验室： 在边长为的正方形纸片上剪去一个边长为的（）的小正方形，怎样计算图中阴影部分的面积？    思路：直接用大正方形面积减去小正方形面积，那么它的面积为 ； 思路：沿虚线将阴影部分剪开拼成图所示的长方形，那么它的面积为 ；由此得到公式 ． 【知识应用】如图，一“”形纸片，其面积为，各边长度如图所示，则 ， ． 【知识迁移】上面是通过不同的方法表示同一图形的面积，从而得出相应的等式．其实，通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．如图是棱长为的正方体，被如图所示的分割线分成块． （）用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为 ；（等号两边需化为最简形式） （）已知，，利用上面的知识求的值．    22．阅读下列文字：我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式，例如，由图可以得到 ．请解答下列问题： (1)小明同学打算用如图的x张边长为a的正方形纸片A和y张边长为b的正方形纸片 B，z张相邻两边长分别为a、b的长方形纸片 C拼出一个面积为的长方形，那么他总共需要 张纸片A、 张纸片B、 张纸片 C； (2)写出图中所表示的数学等式 ； (3)利用（2）中所得到的结论，解决下面的问题：已知 求的值． 23．通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． 如图1是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． (1)根据上述过程，写出、、之间的等量关系： ； (2)类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个恒等式．观察图3，把一个大正方体分割成如图所示的小长方体和小正方体，从中可以得到一个恒等式： ； (3)两个正方形，如图4摆放，边长分别为x，y，若这两个正方形面积之和为，且，求图中阴影部分面积． 模块6：完全平方公式-最值问题 24．教科书中这样写道：“我们把整式及叫做完全平方式”，如果一个整式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值等． 例如：求代数式的最小值．． ∴当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)当x为何值时，代数式有最小值，求出这个最小值； (2)a,b为何值时，整式有最小值，求出最小值； (3)当a,b为什么关系时，代数式有最小值，并求出这个最小值． 25．阅读下列材料： 我们把整式及叫做完全平方公式，如果一个整式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如，求代数式的最小值． ，可知当时，有最小值，最小值是． 再例如：求代数式的最大值． ，可知当时，有最大值，最大值是． (1)【直接应用】代数式的最小值为______； (2)【类比应用】若整式，求的最小值； (3)【知识迁移】如图，学校打算用长米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），求围成的菜地的最大面积． 模块7：新定义题 26．问题提出： （1）数学课上王老师在黑板上写了如下式子： 小丽同学想到刚学的平方差公式，她的方法是： ， 求出 ． 问题解决：（2）请借鉴小丽的方法求出的值． 迁移应用：定义一种新运算：． （3） ． （4）求的值． 27．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为智慧数．例如，，，，因此3，5，7这三个数都是“智慧数”． 小组活动任务：从1开始，第2024个智慧数是哪个数呢? 某数学兴趣小组的研究过程如下： 【阶段一】 特殊情况探讨：，，，，，…… 【阶段二】 一般性探究：同学们想到设是正整数， ， ∴除1外，所有的奇数都是智慧数． 又∵①　　　， ∴除4外，所有能被②　　　整除的偶数都是智慧数． ∴还需要讨论被4除余2的数是否是智慧数． 如果是智慧数，那么必有两个正整数和，使得，即 …… 【阶段三】 总结与归纳：把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有③　　　个智慧数外，其余各组都有④　　　个智慧数，而且每组中第⑤　　　个不是智慧数． 请你完成以下任务： （1）下列偶数中是智慧数的是　　　； A．2018    B．2022    C．2024    D．2026 （2）请将【阶段二】【阶段三】中的①~⑤分别补充完整； （3）请完成【阶段二】“……”部分的研究； （4）在正整数中，从1开始，第2024个智慧数是　　　． 模块8：整式的除法难点分析 28．因为，所以．这说明能被整除，同时也说明整式有一个因式为；另外，当整式的值为．阅读上述材料回答问题： （1）由可知，当_时，整式的值为； （2）一般地，如果一个关于字母的整式当时，的值为，那么与代数式之间有一定的关系，这种关系是：_____； （3）已知关于的整式能被整除，试求的值． 29．我们学过单项式除以单项式、整式除以单项式，那么整式除以整式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数. 例：计算，可依照的计算方法用竖式进行计算.因此. (1)的商是______，余式是______. (2)利用上述方法解决：若整式能被整除，求值. (3)已知一个长为，宽为的长方形A，若将它的长增加6，宽增加a就得到一个新长方形B，此时长方形B的周长是A周长的2倍（如图）.另有长方形C的一边长为，若长方形B的面积比C的面积大76，求长方形C的另一边长. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训02 整式的乘除 压轴题（八大模块） 模块1：幂的运算 1．阅读理解：我们在学习了幂的有关知识后，对两个幂与（都是正数，都是正整数）的大小进行比较，并归纳总结了如下两个结论： ①若，则．（底数相同，指数大的幂大） ②若，则．（指数相同，底数大的幂大） 尝试应用：试比较与的大小． 解：因为， ，……（第1步） 又， 所以……（第2步） 问题解决： (1)在尝试应用的解题过程中，第1步的思路是将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为_______；第2步的依据是_______． (2)请比较下面各组中两个幂的大小： ①与； ②与． 【答案】(1)指数相同的两个幂；指数相同，底数大的幂大 (2)① ；② 【分析】本题考查了幂的大小比较，熟练掌握比较大小的基本方法是解题的关键． （1）根据题意，先将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为指数相同的两个幂；根据指数相同，底数大的幂大解答即可． （2）①化成，，根据底数相同，指数大的幂大解答即可； ②，根据指数相同，底数大的幂大解答即可． 【解析】（1）解：根据题意，先将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为指数相同的两个幂；根据指数相同，底数大的幂大， 故答案为：指数相同的两个幂；指数相同，底数大的幂大． （2）解：①∵，， 根据底数相同，指数大的幂大 ∴， ∴． ②解：∵， 根据指数相同，底数大的幂大， ∴， ∴． 2．规定：如果两数，满足，则记为．例如：因为，所以．我们还可以利用该规定来说明等式成立．证明如下：设，，则，，故，则，即． (1)根据上述规定，填空：__________； (2)计算__________； (3)如果，，那么________； (4)若，，请说明与的关系．（为正整数） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）令，根据所给的定义可得，于是可求出； （2）令，，根据所给的定义可得，，因而可得，则； （3）由题意可得，解得，再由，即可求解； （4）由题意可得，，则，从而得到． 【解析】（1）解：令， ， ， 故答案为：； （2）解：令，， ，， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：， ， 解得：， ， ， ， 故答案为：； （4）解：， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了有理数的乘方运算，幂的乘方，同底数幂的乘法，解一元一次方程等知识点，熟练掌握幂的乘方与同底数幂的乘法的运算法则，深刻理解题中新定义是解题的关键． 3．阅读材料：我们已经学过幂的相关运算，其中幂的乘方是重要的性质之一，用式子表示为： （、为正整数），由此，幂的乘方运算反过来也是成立的，用式子表示为：（、为正整数），逆用幂的乘方的方法是：幂的底数不变，将幂的指数分解成两个因数的乘积，再转化成幂的乘方的形式．如，至于选择哪一个变形结果，要具体问题具体分析．例如，判断的末尾数字，我们可以采用如下的方法： 解析：的末尾数字等于的末尾数字 ∵，又（为正整数）的末尾数字均为， ∴的末尾数字是的末尾数字，即为． ∴的末尾数字为 根据以上阅读材料，回答下列问题： (1)逆用幂的乘方，写出的末尾数字 (2)试判断的末尾数字 【答案】(1)9 (2)1 【分析】（1）根据阅读材料中的结论可知（n为正整数）的末尾数字均为1，根据阅读材料中提供的方法，可得，于是得解； （2）根据阅读材料中提供的方法可得的末尾数字等于的末尾数字，又，从而得出结论． 【解析】（1）解∵，又（n为正整数）的末尾数字均为1， ∴的末尾数字是1×9的末尾数字，即为9． （2）∵，则的末尾数字等于的末尾数字． ∵，又（n为正整数）的末尾数字均为1， ∴的末尾数字为1． ∵的末尾数字为0， ∴的末尾数字为 【点睛】本题考查了幂的运算，根据所给的题目总结规律，熟练掌握同底数幂的乘法，幂的乘方积的乘方是解答本题的关键． 模块2：整式的乘法的几何应用 4．把形状、大小完全相同，长为y，宽为x的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为m，宽为n，且）的盒子底部，有如下两种摆法（如图②③），盒子底部未被卡片覆盖的部分用阴影表示． (1)图②中阴影部分的周长为______（用含m，n的式子表示）； (2)图③中，若，请直接写出m，n的长（用含x，y的式子表示）； (3)若图②中阴影部分的面积为480，，且，在（2）的条件下，求图③中的长． 【答案】(1) (2)，； (3)． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解第3问的关键是时，图③中阴影部分的面积也为480． （1）利用平移的性质知，阴影部分的周长就是大长方形的周长，据此求解即可； （2）由，代入，再结合图形即可求解； （3）由图②中阴影部分的面积为480，求得；根据时，图③中阴影部分的面积也为480，得到，再将，代入，通过计算即可求解． 【解析】（1）解：利用平移的性质得， 图②中阴影部分的周长为， 故答案为：； （2）解：∵， ∴，即，， 即，； （3）解：∵图②中阴影部分的面积为480，且， ∴，即， 又时，图③中阴影部分的面积也为480， ∴， 将代入得， 整理得， 再将和，代入得， 整理得， 再将代入得， 解得，， ∴，解得， ∴． 5．通常情况下，用两种不同的方法计算同一图形的面积，可以得到一个恒等式．现有如图1所示边长为a的正方形纸片，边长为b的正方形纸片，长宽分别为a、b的长方形纸片若干， 取部分纸片摆成如图2所示的一个长方形，根据这个长方形的面积可以得到的等式是：； (1)请利用若干图1所示纸片，摆出图形来说明：当a，b都不为0时，（画图并写出过程） (2)小明同学用图1中边长为a的正方形纸片x张，边长为b的正方形纸片y张，长宽分别为a、b的长方形纸片z张，拼出一个面积为的长方形，则 ， ， ． 【答案】(1)作图及理由见详解 (2) 【分析】本题主要考查整式运算与几何图形面积的关系，根据图示，掌握整式的运算法则是解题的关键． （1）根据题意，画出图形，运用整式运算即可求解； （2）根据整式的运算法则展开，几何图形面积的特点即可求解． 【解析】（1）解：如图所示， 图形的面积为：， ∴当都不为0时，； （2）解： ， ∴， 故答案为：． 6．将7张如图1的长方形纸片按照图2的方式不重叠放在长方形内，未被覆盖的区域恰好构成两个长方形，面积分别为，，已知小长方形的长为a，宽为b，且． (1)当，，时，求长方形的面积； (2)当时，请用含a，b的式子表示的值； (3)当时，若的值与m无关，则a，b满足怎样的数量关系？ 【答案】(1)300 (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，解题关键是观察图形，表示出长方形的长和宽． （1）观察图形，求出长方形的宽和长，根据面积公式求出答案； （2）观察图形，求出面积为和面积为的长方形的长和宽，列出式子，进行化简即可； （3）把代入由（2）得，然后进行化简，然后解答即可． 【解析】（1）由图形可知：长方形的宽为，长为， 长方形的面积为：， 当，，时， 长方形的面积为： ； （2）由图形可知：面积为的长方形的长为，宽为，面积为的长方形的长为，宽为， 当时， ； （3）由（2）可知：， 当时， ， 的值与无关， ，即． 7．如图1，把边长为的正方形放在长方形中，其中正方形的两条边分别在，上，已知，． (1)请用含a、b的代数式表示阴影部分的面积： ； (2)将另一长方形BEFG放入图1中得到图2，已知，； ①请用含a、b的代数式表示长方形的面积： ；请用含a、b的代数式表示长方形面积： ； ②若长方形的周长为6，求阴影部分的面积（用含的代数式表示）． 【答案】(1)； (2)①，；②． 【分析】本题主要考查几何图形与整式乘以整式运算，掌握用整式表示阴影部分面积是解题的关键． （1）用大长方形面积减去小正方形面积，即可； （2）①用代数式表示出，，结合长方形的面积公式即可求解； ②由长方形的周长为6可得，结合即可得到答案． 【解析】（1）解：； （2）①根据题意得，，， ∴， ； ②， ， ， ， ． 模块3：整式的乘法的代数应用 8．在学习整式乘以整式时，我们知道的结果是一个整式，并且最高次项为，常数项为．那么一次项是多少呢？ 要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．通过观察，我们发现一次项系数就是：，即一次项为． 参考材料中用到的方法，解决下列问题： (1)计算所得整式的一次项系数； (2)如果计算所得整式不含一次项，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式乘整式，熟练掌握整式乘整式的运算法则是解题的关键． （1）根据题中给定的方法计算即可； （2）根据题中给定的方法计算得到一次项系数为，若所得整式不含一次项，则，由此求得a的值． 【解析】（1）解：根据题中的求法可知，所得整式的一次项系数为： ， 所得整式的一次项系数为：． （2）解： 所得整式一次项系数为： ， 若所得的整式不含一次项，那么一次项系数为0， ， ． 9．对于代数式，不同的表达形式能表现出它不同的性质，若代数式，代数式，改变x的值，代数式A，B有不同的取值，如下表： x 0 1 2 3 4 0 3 8 15 24 35 0 3 8 15 24 观察表格发现：当时，，当时，，我们把这种现象称为代数式B参照代数式A取值延后，相应的延后值为1． (1)若代数式D参照代数式A取值延后，相应的延后值为2，求代数式D； (2)若代数式参照代数式A的取值延后，求相应的延后值； (3)若代数式参照代数式取值延后，求的值． 【答案】(1)； (2)3； (3)． 【分析】（1）根据题意，延后值为2，即将改为，化简即可； （2）设延后值为k，将延后的代数式等于，使得各项系数相等，解方程即可； （3）设延后值为m，使得各项系数相等，解方程即可． 【解析】（1）解：根据题意， （2）解：设相应的延后值为k，得： ， 化简得：， ，解得， 当时，成立， ∴相应的延后值是3． （3）解：设相应的延后值为m，得：， 化简得：， ， 将代入，可得 ∴． 【点睛】本题考查了代数式求值，整式的系数中字母求值，理解题意，清楚的列出代数式，并进行求解是解题的关键． 10．小华同学在计算后，爱思考的他发现：是x项的系数，与通过计算后的结果对比，x项的系数是正确的．为了验证这个发现，又计算，，x项的系数为；用他发现的方法计算：，结果还是一样的．请你认真领会小华同学的方法，并用他的方法解决下面问题． (1)直接写出相乘，积中x项的系数 (2)若，直接写出的值； (3)若的积中不含x项，求p的值； (4)拓展应用：某超市计划购进A，B两种型号某品牌矿泉水共100箱（每箱24瓶），有多种购进方案．这两种型号矿泉水的进价和售价如表格所示， A B 进价（元/箱） 24 30 售价（元/箱） 48 57 该超市积极参与做慈善活动，决定每售出一箱B型号矿泉水，向社会福利机构捐款m元，A型号矿泉水每箱的售价不变，100箱矿泉水全部售出后，不同的购进方案，超市获得的利润都相同，设购进A型号矿泉水有a箱，超市获得的利润为w元，用含a，m的式子表示w，并求m的值． 【答案】(1)13，详见解析 (2)2024，详见解析 (3)，详见解析 (4)，，详见解析 【分析】本题主要考查了整式乘以整式的运算及应用等知识点， （1）由题干中计算方法即可得解； （2）由题干和前面计算知：几个整式相乘的积的一次项系数为每个整式中一次项系数与另外的整式的常数项的积之和，根据规律即可得解； （3）由题干中计算方法即可得解； （4）根根题意列出式子，由无论a为多少，w都不变，得出m的值，即可得解； 理解整式乘以整式所得的整式每一项的系数及题干中得出的规律是解决问题的关键． 【解析】（1）由题中计算方法知：， 故答案为：13； （2）∵是由2024个相乘， 又由题干和前面计算知：几个整式相乘的积的一次项系数为每个整式中一次项系数与另外的整式的常数项的积之和， ∴它的展开式的一次项系数为2024个1的和， ∴； （3）由题干中计算方法知：中x的系数为， ∵x的系数为零， ∴， ∴； （4）∵设购进A型号矿泉水有a箱， ∴购进B型号矿泉水有箱， ∴ ， ∵无论a为多少，w都不变， ∴中，a的系数为0， ∴, ∴，不同的购进方案，超市获得的利润都相同，都为元， ∴，． 11．关于的整式与，令，，下列说法正确的有（    ）个． ①若是关于的二次整式，则的值共有3种不同的可能； ②若，，为整式，则中除常数项外其余各项系数和为； ③若，，，，，，则的最小值为； ④若，，，，令，，且，，则共有项． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了整式乘以整式，整式的项与系数等知识．熟练掌握整式乘以整式，整式的项与系数是解题的关键． （1）由是关于的二次整式，可知至少有一个为2，然后分情况求解；进而可判定①的正误；由，可得，则，可求，即，由，可判断②的正误；由，，，，，，可得，，则，由，可得，进而可判断③的正误；由，，，，可得，，然后根据题意，推导规律并作答即可． 【解析】解：∵是关于的二次整式， ∴至少有一个为2， 当时，；此时的值为； 当时，；此时的值为； 综上，的值共有3种不同的可能；①正确，故符合要求； ∵， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∵， ∴中除常数项外其余各项系数和为，②正确，故符合要求； ∵，，，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴，③正确，故符合要求； ∵，，，， ∴，， ∴，， ∴，共3项； ∴，， ∴，共项； ∴，， ∴，共项； …… ∴可推导，，共项； ，共项； ，共项； ，共项； ∴，共项．④正确，故符合要求； 故选：D． 12．按顺序排列的8个单项式，，，，，，，中，任选个互不相邻的单项式（其中至少包含一个系数为1的单项式和一个系数为的单项式）相乘，计算得单项式M，然后在剩下的单项式中再任选若干个单项式相乘，计算得单项式N，最后计算，称此为“积差操作”．例如：当时，可选互不相邻的，，相乘，得，在剩下的单项式，，，，中可选，相乘，得，此时，．下列说法中正确的个数是（    ） ①存在“积差操作”，使得为五次二项式； ②共有3种“积差操作”，使得； ③共有12种“积差操作”，使得． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减乘除运算，新定义“积差操作”．根据已知条件和“积差操作”的定义，通过举例可知：说法①正确；通过举例可知：说法②不正确、说法③正确． 【解析】解：①存在“积差操作”，使得为五次二项式说法正确，如取、相乘得单项式，在剩下的单项式中任选5个单项式如：、、、、相乘得单项式，则是五次二项式； ②共有3种“积差操作”，使得说法错误，因为使得的“积差操作”有：、， 、， 、， 、共有4种； ③共有12种“积差操作”，使得说法正确，因为使得的“积差操作”有：、， 、， 、， 、， 、， 、， 、， 、， 、， 、， 、， 、共12种， 综上所述，已知说法中正确的个数是2． 故选：C． 模块4：“杨辉三角” 13．我们知道，很多数学知识相互之间都是有联系的．如图，图一是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和；图二是二项和的乘方的展开式（按b的升幂排列）．经观察：图二中某个二项和的乘方的展开式中，各项的系数与图一中某行的数一一对应，且这种关系可一直对应下去．将的展开式按x的升幂排列得：． 图一 图二 …     … 依上述规律，解决下列问题： （1）若，则 ； （2）若，则 ． 【答案】 105 315 【分析】（1）根据图形中的规律即可求出（1+x）15的展开式中第三项的系数为前14个数的和； （2）根据x的特殊值代入要解答，即把x=1代入时，得到结论． 【解析】解：（1）由图2知：（a+b）1的第三项系数为0， （a+b）2的第三项的系数为：1， （a+b）3的第三项的系数为：3=1+2， （a+b）4的第三项的系数为：6=1+2+3， … ∴发现（1+x）3的第三项系数为：3=1+2； （1+x）4的第三项系数为6=1+2+3； （1+x）5的第三项系数为10=1+2+3+4； 不难发现（1+x）n的第三项系数为1+2+3+…+（n-2）+（n-1）， ∴s=1，则a2=1+2+3+…+14=105． 故答案为：105； （2）∵（s+x）15=a0+a1x+a2x2+…+a15x15． 当x=1，s=2时，a0+a1+a2+…+a15=（2+1）15=315， 答案为：315． 【点睛】本题考查了完全平方式，也是数字类的规律题，首先根据图形中数字找出对应的规律，再表示展开式：对应（a+b）n中，相同字母a的指数是从高到低，相同字母b的指数是从低到高． 14．我国南宋时期有一位杰出的数学家杨辉，如图所示的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”． 第一行 第二行       各项系数和为 第三行            各项系数和为 第四行              各项系数和为 …… …… …… …… 此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，请根据上述规律，解决以下问题： (1)整式展开式共有______项，第二项的系数为______，各项系数和为______； (2)如图，在“杨辉三角”中，选取部分数1，3，6，……，记，，……请完成下列问题：    ①计算； ②计算； ③请直接写出的值． 【答案】(1)8，7，128 (2)①357；②；③4051 【分析】本题考查数字变化类，整式的乘法； （1）根据“杨辉三角”中第三行中的数据，将展开后，各项的系数和所呈现的规律进行计算即可． （2）①根据规律得出，进而将代入进行计算即可求解； ②将已知式子裂项为，即可求解； ③根据进行计算即可求解． 【解析】（1）根据“杨辉三角”可知， 第2行，展开后，各项的系数和为， 第3行，展开后，各项的系数和为， 第4行，展开后，各项的系数和为， 第5行，展开后，各项的系数和为， 第6行，展开后，各项的系数和为， 第7行，展开后，各项的系数依次为、、、、、、，各项的系数和为 第8行， 展开后，各项的系数依次为、、、、、、、 各项的系数和为 展开后，各项的系数和为， ∴整式展开式共有项，第二项的系数为，各项系数和为128； 故答案为：8，7，128． （2）①由题意得：、、 ∴ ∴ ②由题意得：、、 ∴ ∴ ③ 模块5：乘法公式的几何应用 15．乘法公式的探究及应用． 数学活动课上，老师准备了若干个如图1所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成了如图2所示的大正方形． (1)①观察图2，请你写出代数式，，之间的等量关系式______． ②图3是由图1提供的几何图形拼接而得，可以得到______． (2)请利用图1所给的纸片拼出一个长方形，要求所拼出图形的面积为，（在图4的方框内进行作图），进而可以得到等式：______； (3)利用（2）中得到的结论，解决下面的问题：若，，求的值． 【答案】(1)①  ② (2)图见详解， (3)5 【分析】本题考查了整式乘以整式在几何中的应用，面积法； （1）分别用两种方法表示出面积为和，即可求解； （2）分别用两种方法表示出面积为和，即可求解； （3）将化为，由（2）可得，即可求解； 掌握面积的两种表示方法：整体法、部分法，会用整体代换法求整式的值是解题的关键． 【解析】（1）解：①方法一：图2的面积可表示为， 方法二：图2的面积可表示为： ， ， 故答案：； ②方法一：图3的面积可表示为， 方法二：图3的面积可表示为： ， ； 故答案：； （2）解：如图， ； 故答案：； （3）解： 由（2）可得：， ， ， ∴． ∴当时， ． 16．有足够多的如图所示的正方形和长方形的卡片． (1)选取1号、2号、3号卡片若干张，拼成一个正方形（不重叠无缝隙），并能运用拼图前后面积之间的关系，说明，，之间的数量关系成立，请画出这个正方形．小涵说简单，他很快的画出这个正方形． 解：如图1所示，正方形即为所求．设大正方形的面积为S，则面积S有两种不同的表示法：______，______．利用这一图形，我们可以发现，，之间的数量关系式是______． (2)小明想用类似（1）的方法解释整式乘法，那么用2号卡片______张，3号卡片______张． (3)如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙）． ①请画出这个长方形的草图． ②并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义，这个长方形的代数意义是______（写出一个你认为正确的等式）． (4)根据（1）中的数量关系，解决如下问题：已知，，求的值． 【答案】(1)，， (2)3，5 (3)①见解析，② (4) 【分析】本题考查了代数式，完全平方公式的应用，掌握矩形的面积公式和整式乘法法则是解题的关键． （1）根据矩形的面积公式求解； （2）根据矩形的面积公式求解； （3）①根据整式的乘法法则求解；②由①中图形即可解答； （4）根据完全平方公式变形求解即可． 【解析】（1）解：∵，． ∴； （2）解∵， ∴用2号卡片3张，3号卡片5张； （3） 解：①这个长方形为： ②该大长方形的长为，宽为，面积为：， 这个长方形的代数意义是：； （4）解：∵， ∴， ∴， ∴． 17．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片（其中A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是边长分别为a、b的长方形），并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．    (1)观察图2，请你写出下列三个代数式：之间的等量关系：__________． (2)若要拼出一个面积为的矩形，则需要A号卡片__________张，B号卡片__________张，C号卡片__________张； (3)根据（1）中得出的等量关系，解决如下问题：已知，求的值； (4)两个正方形，如图3摆放，边长分别为x，y．若，则图中阴影部分面积的和为__________． 【答案】(1) (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查整式乘整式与图形面积、完全平方公式的几何背景及其应用，理解题意，看懂图形，会利用不同方法表示面积，并灵活运用所得结论是解答的关键． （1）用两种方法表示出大正方形的面积， 即可得出三者的关系； （2）计算 ，再根据三个纸片的面积可求解； （3）设则利用等量关系即可求解； （4）根据图形得到利用完全平方公式分别求得和即可求解． 【解析】（1）解：由图2知，大正方形的面积为，又可以为 故答案为：； （2）解： ∵A种纸片的面积为B种纸片的面积为C种纸片的面积为， ∴需A种纸片2张，B种纸片3张，C种纸片7张， 故答案为：； （3）解：设 则， ∴ ∴， ∴； （4）解：由题意和图形知，则， ∴ ∵， ∴ 或(舍去) ， 阴影部分的面积和为： ， 故答案为：． 18．现有若干张如图1所示的三种卡片，种卡片是边长为的正方形，种卡片是边长为的正方形，种卡片是长为、宽为的长方形． (1)若要拼出一个面积为的长方形，则需要种卡片______张，种卡片_______张，种卡片______张． (2)①利用4张种卡片按图2的形状拼成一个正方形，则可得到一个关于，，的等量关系式：___________． ②如图3，正方形和正方形的边长分别为，，若，，是的中点，请利用①中的公式求阴影部分面积的和． 【答案】(1)3；2；7 (2)①；②11 【分析】本题考查整式乘整式与图形面积、完全平方公式的几何背景及其应用，理解题意，看懂图形，会利用不同方法表示面积，并灵活运用所得结论是解答的关键． （1）计算，再根据三个纸片的面积可求解； （2）①用两种方法表示出大正方形的面积即可；②利用完全平方公式的变形可得，再由阴影部分面积，结合完全平方公式，即可求解． 【解析】（1）解：∵， ∴需要种卡片3张，B种卡片2张，C种卡片7张； 故答案为：3；2；7 （2）解：①小正方形可以是，也可以是， ∴； 故答案为： ②∵，， ∴， ∴， ∴， 根据题意得：， 阴影部分面积 19．在乘法公式的学习中，我们采用了构造几何图形的方法研究问题，通过用不同的方法求同一个平面图形的面积验证了平方差公式和完全平方公式，我们把这种方法称为等面积法．类似的，通过不同的方法求同一个立体图形的体积，我们称为等体积法；根据课堂学习的经验，解决下列问题： 在一个棱长为a的正方体中挖出一个棱长为b的正方体（如图1），然后利用切割的方法把剩余的立体图形（如图2）分成三部分（如图3），这三部分长方体的体积依次为． （1）分解因式： ； （2）请用两种不同的方法求图1中的立体图形的体积：（用含有a，b的代数式表示）① ；② ； 思考：类比平方差公式，你能得到的等式（写成因式分解的形式）为 ． （3）应用：利用在（2）中所得到的等式进行因式分解：； （4）拓展：已知，代数式的值为 ． 【答案】；①，②，思考：；； 【分析】本题主要考查了数形结合的数学思想，利用数形结合思想建立代数与几何图形之间的内在联系，熟练掌握因式分解是解题的关键． （1）根据提取公因式的方法分解因式即可； （2）根据题意计算体积即可； （3）利用总结的公式进行因式分解即可； （4）先提公因式再进行计算； 【解析】解：（1）， 故答案为：； （2）①根据题意，立体图形的体积边长为的正方形的体积边长为的正方形的体积， 即； ②根据题意，立体图形的体积图的三个立体图形的体积之和， 即： ， 故答案为：； 思考：， ； （3）； （4） 由于， 原式． 20．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2） (1)通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是___________； (2)应用（1）中得出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值． ②计算：． 【答案】(1) (2)①3；② 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． （1）用代数式表示图1、图2阴影部分的面积即可； （2）①由平方差公式进行计算即可； ②将原式化为，即，据此求解即可． 【解析】（1）解：图中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以有， 故答案为：； （2）解：①，即，而， ； ②原式 ． 21．阅读下列材料： 数学实验室： 在边长为的正方形纸片上剪去一个边长为的（）的小正方形，怎样计算图中阴影部分的面积？    思路：直接用大正方形面积减去小正方形面积，那么它的面积为 ； 思路：沿虚线将阴影部分剪开拼成图所示的长方形，那么它的面积为 ；由此得到公式 ． 【知识应用】如图，一“”形纸片，其面积为，各边长度如图所示，则 ， ． 【知识迁移】上面是通过不同的方法表示同一图形的面积，从而得出相应的等式．其实，通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．如图是棱长为的正方体，被如图所示的分割线分成块． （）用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为 ；（等号两边需化为最简形式） （）已知，，利用上面的知识求的值．    【答案】教材回顾：思路：；思路：，；知识应用：，；知识迁移：（）；（）． 【分析】教材回顾：思路：根据图形即可求；思路：根据图形即可求解； 知识应用：根据思路及图形可得方程组，解方程组即可求解； 知识迁移：（）用整体法和用分割法分别表示正方体的体积即可求解；（）把转化为，利用（）的结果计算即可求解； 本题考查了平方差公式的几何背景及应用，立方运算，正确识图是解题的关键． 【解析】解：教材回顾： 思路：由题意可得，图中阴影部分的面积为， 故答案为：； 思路：由题意可得，图中的长方形为，由此得到公式为， 故答案为：，； 知识应用：由思路及图形可得，， 解得， 故答案为：，； 知识迁移：（）正方体的体积用整体法可表示为，用分割法可表示为， ∴可得等式为， 故答案为：； （）∵， ∴ ， ， ∵，， ∴， ∴． 22．阅读下列文字：我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式，例如，由图可以得到 ．请解答下列问题： (1)小明同学打算用如图的x张边长为a的正方形纸片A和y张边长为b的正方形纸片 B，z张相邻两边长分别为a、b的长方形纸片 C拼出一个面积为的长方形，那么他总共需要 张纸片A、 张纸片B、 张纸片 C； (2)写出图中所表示的数学等式 ； (3)利用（2）中所得到的结论，解决下面的问题：已知 求的值． 【答案】(1)12；35；41 (2) (3)29 【分析】本题主要考查了整式乘以整式，完全平方公式的几何背景，通过不同的方法计算图形的面积，得到一个数学等式，利用此方法解答是解题的关键． （1）利用整式乘以整式的方法将式子展开，利用计算结果即可得出结论； （2）利用图形通过不同的方法计算图形的面积，可以得到数学等式； （3）利用（2）中的等式适当变形计算即可得出结论． 【解析】（1）解： ， 拼出了一个面积为的长方形，它总共需要12张纸片、35张纸片、41张纸片． 故答案为：12；35；41； （2）解：图2中的图片是边长为的正方形， 图2中的面积为：． 又图2中由1个边长为的正方形，1个边长为 的正方形，1个边长为的正方形，2个长为宽为的长方形，2个长为宽为的长方形，2个长为宽为的长方形组成， 图2中的面积为：． 图2中所表示的数学等式为：． 故答案为：； （3）解：， ． ，， ． 23．通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． 如图1是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． (1)根据上述过程，写出、、之间的等量关系： ； (2)类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个恒等式．观察图3，把一个大正方体分割成如图所示的小长方体和小正方体，从中可以得到一个恒等式： ； (3)两个正方形，如图4摆放，边长分别为x，y，若这两个正方形面积之和为，且，求图中阴影部分面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式， （1）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示图2的面积即可； （2）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示图3的面积即可； （3）设正方形的边长m，正方形的边长为n，由于两个正方形面积之和为，且得，，用代数式表示阴影部分的面积代入计算即可得； 掌握完全平方公式的结构是解题的关键． 【解析】（1）解：图2“整体”上是边长为的正方形，因此面积为，图2中间“小正方形”的边长为，因此面积为，四个小长方形的面积和为， 所以有， 故答案为：； （2）解：图3“整体”上是棱长为的正方体，因此体积为，分割成的8个部分的体积和为， 所以有， 故答案为：； （3）解：设正方形的边长m，正方形的边长为n， 由于两个正方形面积之和为，且， ∴，， ∵， 即， ∴， ∵， ∴或（舍去）， ∴ ＝． 模块6：完全平方公式-最值问题 24．教科书中这样写道：“我们把整式及叫做完全平方式”，如果一个整式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值等． 例如：求代数式的最小值．． ∴当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)当x为何值时，代数式有最小值，求出这个最小值； (2)a,b为何值时，整式有最小值，求出最小值； (3)当a,b为什么关系时，代数式有最小值，并求出这个最小值． 【答案】(1)当时，有最小值，最小值是 (2)当时，有最小值，最小值是5 (3)当时，有最小值，最小值是3 【分析】（1）根据完全平方公式解答即可． （2）利用完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可． （3）利用完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性计算，得到答案． 本题考查了完全平方公式的应用，因式分解，实数非负性的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【解析】（1）解：， ∴当时，有最小值，最小值是． （2）解：， ∴当时，有最小值，最小值是5． （3）解： ， ∴当时，有最小值，最小值是3． 25．阅读下列材料： 我们把整式及叫做完全平方公式，如果一个整式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如，求代数式的最小值． ，可知当时，有最小值，最小值是． 再例如：求代数式的最大值． ，可知当时，有最大值，最大值是． (1)【直接应用】代数式的最小值为______； (2)【类比应用】若整式，求的最小值； (3)【知识迁移】如图，学校打算用长米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），求围成的菜地的最大面积． 【答案】(1) (2) (3)平方米 【分析】本题主要考查了配方法的应用，偶次方的非负性，列代数式等知识点，熟练掌握配方法的一般步骤是解题的关键． （1）仿照阅读材料，利用配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答即可； （2）利用配方法把原式进行变形，含、的项分别结合，根据偶次方的非负性解答即可； （3）设垂直于墙的一边长为米，则另一边长为米，于是菜地的面积为，再利用配方法把原式进行变形，根据阅读材料解答即可． 【解析】（1）解：， 当时，代数式有最小值，最小值为； 故答案为：； （2）解： ， 当且时，有最小值，的最小值为； （3）解：设垂直于墙的一边长为米，则另一边长为米， 菜地的面积为： ， 当时，有最大值，最大值为， 围成的菜地的最大面积为平方米． 模块7：新定义题 26．问题提出： （1）数学课上王老师在黑板上写了如下式子： 小丽同学想到刚学的平方差公式，她的方法是： ， 求出 ． 问题解决：（2）请借鉴小丽的方法求出的值． 迁移应用：定义一种新运算：． （3） ． （4）求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）13；（4） 【分析】本题考查了平方差公式在计算中的应用，根据材料中的方法正确运用平方差公式是解题的关键．依次按照平方差公式计算即可． （1）依次按照平方差公式计算即可； （2）结合题意构造平方差公式的形式进行求解即可； （3）按照平方差公式计算即可； （4）由，得，则，……可知，结合题意构造平方差公式的形式进行求解即可． 【解析】解：（1） ， 故答案为：； （2） ； （3）， 故答案为：13； （4）∵， ∴，则，…… ∴， ． 27．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为智慧数．例如，，，，因此3，5，7这三个数都是“智慧数”． 小组活动任务：从1开始，第2024个智慧数是哪个数呢? 某数学兴趣小组的研究过程如下： 【阶段一】 特殊情况探讨：，，，，，…… 【阶段二】 一般性探究：同学们想到设是正整数， ， ∴除1外，所有的奇数都是智慧数． 又∵①　　　， ∴除4外，所有能被②　　　整除的偶数都是智慧数． ∴还需要讨论被4除余2的数是否是智慧数． 如果是智慧数，那么必有两个正整数和，使得，即 …… 【阶段三】 总结与归纳：把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有③　　　个智慧数外，其余各组都有④　　　个智慧数，而且每组中第⑤　　　个不是智慧数． 请你完成以下任务： （1）下列偶数中是智慧数的是　　　； A．2018    B．2022    C．2024    D．2026 （2）请将【阶段二】【阶段三】中的①~⑤分别补充完整； （3）请完成【阶段二】“……”部分的研究； （4）在正整数中，从1开始，第2024个智慧数是　　　． 【答案】（1）C；（2）①；②4；③1；④3；⑤二；（3）见解析；（4）2701 【分析】（1）除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数； （2）根据平方差公式即可求解； （3）根据平方差公式即可求解； （4）综合（1）和（2）可得，除1外，所有的奇数都是智慧数；除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数． 【解析】解：（1）A、， B、， C、， D、， 是智慧数的是C． 故答案为：C； （2）一般性探究：同学们想到设是正整数， ， ∴除1外，所有的奇数都是智慧数． 又∵， ∴除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数． 总结与归纳：把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数． 故答案为：①；②4；③1；④3；⑤二； （3）如果是智慧数，那么必有两个正整数和，使得，即． 因为和这两个数的奇偶性相同， 所以①式中等号右边要么是4的倍数，要么是奇数， 而左边一定是偶数，但一定不是4的倍数， 可见等式左、右两边不相等， 所以不是智慧数，即被4除余2的正整数都不是智慧数． （4）把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数， 又， 第2022个智慧数在（组），并且是第1个数，即． 故答案为：2701． 【点睛】本题考查了同余问题，新定义“智慧数”以及平方差公式的运用，解题关键是根据题目条件挖掘素材，得到方法，解决该类型题时，只要仿照文中给定的办法即可得出结论． 模块8：整式的除法难点分析 28．因为，所以．这说明能被整除，同时也说明整式有一个因式为；另外，当整式的值为．阅读上述材料回答问题： （1）由可知，当_时，整式的值为； （2）一般地，如果一个关于字母的整式当时，的值为，那么与代数式之间有一定的关系，这种关系是：_____； （3）已知关于的整式能被整除，试求的值． 【答案】（1）2或－1；（2）整式M能被整除；（3）k的值为3 【分析】（1）根据题意可知当因式或的值为0时，整式的值为0，由此可得答案； （2）当时，的值为，由此可判断是整式M的一个因式； （3）根据题意可知是整式的一个因式，结合（1）（2）两问可知当时，，由此可得k的值． 【解析】解：（1）∵， ∴当或时，， 即：当或时，， 故答案为：2或－1； （2）根据题意可知：是整式M的一个因式， 故答案为：整式M能被整除； （3）根据题意可知：当时，， 即：当时，， 则， 解得， 答：k的值为3． 【点睛】本题考查了整式的除法，是一道推理题，掌握好整式的除法法则是解题的关键． 29．我们学过单项式除以单项式、整式除以单项式，那么整式除以整式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数. 例：计算，可依照的计算方法用竖式进行计算.因此. (1)的商是______，余式是______. (2)利用上述方法解决：若整式能被整除，求值. (3)已知一个长为，宽为的长方形A，若将它的长增加6，宽增加a就得到一个新长方形B，此时长方形B的周长是A周长的2倍（如图）.另有长方形C的一边长为，若长方形B的面积比C的面积大76，求长方形C的另一边长. 【答案】(1)，． (2) (3) 【分析】（1）根据整式除以整式的法则计算． （2）根据整式除以整式的法则计算． （2）通过面积关系求长方形的边长． 【解析】（1）解：用竖式计算如下， 的商是，余式是． ∴答案为：，． （2）整式能被整除，则 ∴a+4-（-2）=0，-b-（-2）=0． ∴a=-6，b=2． ∴ab=（-6）2=36． （3）长方形A的周长为：2（x+2+x-2）=4x． 长方形B的周长为：2（x-2+a+x+2+6）=4x+2a+12． ∵长方形B的周长是A周长的2倍． ∴4x+2a+12=8x． ∴a=2x-6． ∴长方形B的面积为：（x+2+6）（x-2+2x-6）=（x+8）（3x-8） =3x2+16x-64． ∴长方形C的面积为：3x2+16x-140． ∴长方形C的另一边长为：（3x2+16x-140）÷（x+10）=3x-14． ∴长方形C的另一边长为：3x-14． 【点睛】本题考查整式除以整式，抓住整除的定义找到系数的关系是求解本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$