专题27.2.2 相似三角形的性质（6个考点）（题型专练+易错精练）-2024-2025学年九年级数学下册《知识解读•题型专练》（人教版）

专题27.2.2 相似三角形的性质 （6个考点） 【考点1 利用相似三角形的性质求解】 【考点2 利用相似求坐标】 【考点3 在网格中画与已知三角形相似的三角形】 【考点4 相似三角形的判定与性质综合】 【考点5 相似三角形--动点问题】 【考点6 相似三角形的综合问题】 【考点1 利用相似三角形的性质求解】 1．已知一个三角形的三边长为6，7，9，与它相似的另一个三角形的最小边长为3，那么三角形的周长为 ． 2．如图，已知中，，在中，，且，，则 时，图中的两个直角三角形相似． 3．若以点为顶点的三角形与相似，且，则 ． 4．如图，与相似，则 ， ． 5．如图，在矩形中，点E，F分别在边上，，，，，则的长为 ． 6．如图，与是位似图形，点O是位似中心，，若，则 ． 7．两个相似三角形的相似比是，小三角形的周长为，大三角形的周长是 ． 8．在平行四边形中，，，E是的中点，在上取一点F，使，则的长为 ． 9．如图，与是以点O为位似中心的位似图形，，若，则 ． 10．如图，，若，，，则的长是 ．    【考点2 利用相似求坐标】 11．如图，在平面直角坐标系中，点B、C在y轴上，△ABC是等边三角形，AB=4，AC与x轴的交点D的坐标是（，0），则点A的坐标为（ ） A．（1，2） B．（2，2） C．（2，1） D．（2，2） 12．如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是(     ) A．（，3）、（﹣，4） B．（，）、（﹣，4） C．（，）、（﹣，4） D．（，3）、（﹣，4） 13．已知:如图,点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1）.若以C，D，E（E在格点上）为顶点的三角形与△ABC相似，则满足条件的点E的坐标共有(   ) A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 14．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点在轴上，时，点C的坐标是 ． 15．已知点A(2，0)，点B(b，0)(b＞2)，点P是第一象限内的动点，且点P的纵坐标为，若△POA和△PAB相似，则符合条件的点P坐标为 ． 【考点3 在网格中画与已知三角形相似的三角形】 16．网格中每个小正方形的边长都是1． (1)在图1中画一个格点，使，且相似比为2：1； (2)在图2中画一个格点，使，且相似比为． 17．如图，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，是格点三角形（顶点在方格顶点处）． (1)在图1中画出一个格点，使得与相似，周长之比为2：1； (2)在图2中画出一个格点，使得与相似，面积之比为2：1． 18．如图，在方格中，的顶点都在格点上，请按要求画图形． (1)在图1中画一个格点，使，且相似比为． (2)在图2中画一条格点线段，将分为． 19．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点均在格点上， 仅用无刻度的直尺在给定网格中画图（保留作图痕迹）． (1)在图1中画，使得与的相似比为． (2)在图2中画出的重心O． 20．已知图①和图②中的每个小正方形的边长都是1个单位，请在方格纸上按要求画出格点三角形． (1)在图①中画，使得，且相似比为； (2)在图②中画，使得，且周长比为． 21．网格中每个小正方形的边长都是1． (1)将图①中的格点平移，使点A平移至点，画出平移后的三角形； (2)在图②中画一个格点，使，且相似比为． (3)在图③中画一个格点，使，且相似比为． 【考点4 相似三角形的判定与性质综合】 22．如图，在中，点，分别在边，上，，已知，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 23．如图， ，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 24．如图，在矩形中，，，点、、分别在线段、、上，且，则 ． 25．如图，在中，以为直径的与相切于点A，与相交于点D，F是上一点，且，连接．若，求的长． 26．如图，在等腰中，，以为直径的与交于点D，，垂足为E，的延长线与的延长线交于点F． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，，求的长． 27．已知矩形ABCD，点E、F分别在AD、DC边上运动，连接BF、CE，记BF、CE交于点P. (1)如图1，若，，于P， ①求证：； ②求线段的长度； (2)如图2，若，，求. 28．如图，已知是的直径，点P在的延长线上，切于点D，过点B作，交的延长线于点C，连接并延长，交于点E． (1)求证：； (2)若，点A是的中点，求线段的长． 30．如图，在和中，，，且．连接，． (1)求证：． (2)在图2中，点B，D，E在同一直线上，且点D在上，若，，求的值（用含a，b的代数式表示）． 31．如图，在正方形中，点M是边上的一点(不与B、C重合)，延长使得，连接与边交于点E． (1)①求证：；②求的度数； (2)若平分，求证：； (3)和相交于O点，当时，求的值． 32．如图，在中，，点是的中点，连接，分别过点、点作、的平行线交于点，连接，交于点，交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)设，当发生变化时，探究的值是否为定值，并说明理由． 33．如图所示，在平行四边形中，点是边上一点，点是边的中点， (1)求证：； (2)如果平分，求证：． 34．已知：如图1，在中，，，点D在线段上，连接，作线段的垂直平分线分别交、于点E、F． (1)如图1，若，，求 的值； (2)把改为，其它条件不变，如图2，求证： 【考点5 相似三角形--动点问题】 35．如图，在钝角中，，，点D从A点出发沿以的速度向B点移动，点E从C点出发沿以的速度向A点移动，如果两点同时移动，经过 秒时，与相似． 36．如图，在中，，点P从B点出发沿方向以每秒1个单位移动，点Q从A出发沿方向以每秒2个单位移动，当它们到达A、C后停止运动．试问经过几秒后，与相似？请说明理由． 37．如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为，动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么何时由P，B，Q三点连成的三角形与相似？ 38．如图，在中，，设P，Q分别为上的动点，在点P自点A沿方向以每秒的速度向点C做匀速移动的同时，点Q自点B沿方向以每秒的速度向点A做匀速移动，当Q点到达A点时，P点就停止移动．设P，Q移动的时间为t秒． (1)当t为何值时，？ (2)能否与相似？若能，求出t的值；若不能，请说明理由． 39．如图，在等腰三角形中，厘米，厘米，动点从点出发，在边上以每秒3厘米的速度向点运动，同时动点从点出发，在边上以每秒2厘米的速度向点运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动时间为秒，连结． (1)请用含的代数式表示：______，______． (2)若三角形与三角形相似，求此时的值． (3)直接写出三角形是直角三角形时的值． 40．如图1，在中，，，，点P从点C出发沿线段以每秒的速度运动，同时点Q从点B出发沿线段以每秒的速度运动．设运动时间为t秒． (1)填空： ______； (2)t为何值时，与相似； 41．如图，在矩形中，，，动点P从点A出发，沿边以的速度向点B匀速移动，动点Q从点D出发，沿边以的速度向点A匀速移动，一个动点到达端点时，另一个动点也停止运动，点P，Q同时出发，设运动时间为． (1)当t为何值时，的面积为？ (2)当t为何值时，以A，P，Q为顶点的三角形与相似？ 42．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度运动，点从点沿边向点以的速度运动．若点、点同时出发，当某点到终点时，另一点立即停止运动．运动时间为．    (1)_________，_________；（用含的代数式表示） (2)请计算当点运动多少秒时，以、、为顶点的三角形与相似． 【考点6 相似三角形的综合问题】 43．如图，在边长为的菱形中，，将菱形沿折叠，使点的对应点落在对角线上．若，则的长为 ，的长为 cm． 44．如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG． （1）求证：四边形EFDG是菱形； （2）求证EG2＝GF•AF； （3）若AG＝3，EG＝，求BE的长． 45．如图，已知正方形，点E在的延长线上，连结交对角线于点G，交于点F． （1）若，求的值； （2）求证：； （3）若，求n关于m的关系式． 46．【问题情境】如图1，已知△ABC和△DCE为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC，DC=CE，则线段BD、AE的数量关系为 ，线段BD、AE的位置关系为 ． 【类比探究】如图2，已知△ABC和△DCE中满足∠BAC=∠DEC，AB=AC，DE=EC，AC=2BC，试说明AE与BD具有怎样的数量关系． 【灵活运用】如图3，已知矩形ABCD中有一点P，连接AP，BP，DP，∠ADB=30°，AP=，BP=2，∠APB=120°，求PD的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题27.2.2 相似三角形的性质 （6个考点） 【考点1 利用相似三角形的性质求解】 【考点2 利用相似求坐标】 【考点3 在网格中画与已知三角形相似的三角形】 【考点4 相似三角形的判定与性质综合】 【考点5 相似三角形--动点问题】 【考点6 相似三角形的综合问题】 【考点1 利用相似三角形的性质求解】 1．已知一个三角形的三边长为6，7，9，与它相似的另一个三角形的最小边长为3，那么三角形的周长为 ． 【答案】11 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据题意可得相似三角形的相似比，再根据周长比等于相似比即可解题． 【详解】解：一个三角形的三边长为6，7，9，与它相似的另一个三角形的最小边长为3， 又， ， 的的周长， 故答案为：11． 2．如图，已知中，，在中，，且，，则 时，图中的两个直角三角形相似． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似． 先利用勾股定理计算出，再根据相似三角形的判定方法进行讨论，当时，当时，然后利用比例性质求出对应的的长即可． 【详解】解：，，，， ， 当时， ，即， ； 当时， ，即， ， 故答案为：或． 3．若以点为顶点的三角形与相似，且，则 ． 【答案】2或 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，分两种情况进行讨论：当时，当时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：当时，如图所示： ∴； 当时，如图所示： ； 综上分析可知：的值为2或． 故答案为：2或． 4．如图，与相似，则 ， ． 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的性质．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用．由与相似，为钝角，分与两种情况讨论，继而求得答案． 【详解】解：∵与相似，为钝角， ∴， ∴当时， ，即， ； 当时， ， ， 不存在此种情况， ． 故答案为：． 5．如图，在矩形中，点E，F分别在边上，，，，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】此题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握是解题的关键．根据相似三角形性质得到，把，，代入，即得的值． 【详解】∵， ∴， ∵，，， ∴． 故答案为：3． 6．如图，与是位似图形，点O是位似中心，，若，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据位似图形的概念得到，，证明，求出，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：， ， 与是位似图形， ，， ， ， ，即， 解得：， 故答案为：8． 7．两个相似三角形的相似比是，小三角形的周长为，大三角形的周长是 ． 【答案】28 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，理解和掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．根据相似三角形的性质可知，周长比等于相似比，由此即可求解． 【详解】解：根据题意得，相似比为， ∴大三角形的周长是， 故答案为：28 ． 8．在平行四边形中，，，E是的中点，在上取一点F，使，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的性质，熟练应用相似三角形的性质是解题关键．利用平行四边形的性质得出，，再利用相似三角形的性质,即可得出答案． 【详解】，E是的中点， ， 在平行四边形中，， ，， ， ， ， 解得． 故答案为：． 9．如图，与是以点O为位似中心的位似图形，，若，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查的是位似变换，根据位似图形的概念得到，，得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵与是以点O为位似中心的位似图形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：8． 10．如图，，若，，，则的长是 ．    【答案】 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据得到即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， 故答案为：． 【考点2 利用相似求坐标】 11．如图，在平面直角坐标系中，点B、C在y轴上，△ABC是等边三角形，AB=4，AC与x轴的交点D的坐标是（，0），则点A的坐标为（ ） A．（1，2） B．（2，2） C．（2，1） D．（2，2） 【答案】C 【详解】过点A作AE⊥OB于E，如图： ∵点B、C在y轴上，△ABC是等边三角形，AB=4，AC与x轴的交点D的坐标是（，0）， ∴AE=2， ∵AE∥OD， ∴△COD∽△CEA， ∴， 可得：， 解得：OC=1， OE=EC﹣OC=2﹣1=1， 所以点A的坐标为（2，1）， 故选C． 12．如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是(     ) A．（，3）、（﹣，4） B．（，）、（﹣，4） C．（，）、（﹣，4） D．（，3）、（﹣，4） 【答案】D 【详解】试题分析：分别过点A、点B和点C作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，然后根据三角形全等和相似分别得出点B和点C的坐标. 考点：(1)、三角形全等的应用；(2)、三角形相似的应用. 13．已知:如图,点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1）.若以C，D，E（E在格点上）为顶点的三角形与△ABC相似，则满足条件的点E的坐标共有(   ) A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】A 【详解】根据相似三角形的边长的关系可知△CDE与△ABC相似的图形中点E的位置如图所示： 因此这样的点有6个. 故选A 考点：相似三角形 14．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点在轴上，时，点C的坐标是 ． 【答案】 【分析】先通过条件证明，然后根据相似三角形对应边成比例即可求出CO，从而得到点C的坐标． 【详解】解：如图， ∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴, 由点的坐标为，点的坐标为，可知AO=4，BO=2， ∴，即CO=1， ∴点C的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，坐标系内点的坐标，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 15．已知点A(2，0)，点B(b，0)(b＞2)，点P是第一象限内的动点，且点P的纵坐标为，若△POA和△PAB相似，则符合条件的点P坐标为 ． 【答案】 【分析】如图，分类讨论：（1）；（2），根据相似三角形的相似比列式计算出b的值，写出点P的坐标即可． 【详解】由题意可得：OA=2，OB=b，AP=， 如图：（1）当时， ， OA=AB=2， b=4， P(2，)； （2）当时， ， ， 解得：b=9±， P(2，3±)； 综上：P的坐标为：(2，)，(2，3±)． 故答案为：(2，)，(2，3±)． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，分类讨论，根据相似三角形的性质求出对应边的长度进而写出点的坐标是解题关键． 【考点3 在网格中画与已知三角形相似的三角形】 16．网格中每个小正方形的边长都是1． (1)在图1中画一个格点，使，且相似比为2：1； (2)在图2中画一个格点，使，且相似比为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据相似三角形的性质，把的边长扩大2倍即可 （2）根据相似三角形的性质，把的边长扩大倍即可 【详解】（1）如图所示， （2）如图所示，,，, ∴，， ∴ 【点睛】本题考查作图与相似变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题 17．如图，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，是格点三角形（顶点在方格顶点处）． (1)在图1中画出一个格点，使得与相似，周长之比为2：1； (2)在图2中画出一个格点，使得与相似，面积之比为2：1． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据相似三角形的性质，把的边长扩大2倍即可． （2）根据相似三角形的性质，把的边长扩大倍即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作． （2）如图，即为所求作． 【点睛】本题考查作图﹣相似变换，相似三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 18．如图，在方格中，的顶点都在格点上，请按要求画图形． (1)在图1中画一个格点，使，且相似比为． (2)在图2中画一条格点线段，将分为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是复杂作图，同时考查了相似三角形的判定与性质，熟练的利用相似三角形的性质作图是解本题的关键； （1）由勾股定理可得，，，，，，再利用相似三角形的判定方法可得； （2）如图，取格点，连接，满足，，连接与交于点，则由相似三角形的性质可得，可得线段即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求； ． （2）如图，线段即为所求； ． 19．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点均在格点上， 仅用无刻度的直尺在给定网格中画图（保留作图痕迹）． (1)在图1中画，使得与的相似比为． (2)在图2中画出的重心O． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图-相似变换，三角形的重心，正确地作出图形是解题的关键． （1）根据相似三角形的性质作出图形即可； （2）根据三角形重心的定义即可得到结论． 【详解】（1）如图所示，即为所求； （2）如图所示，点即为所求． 20．已知图①和图②中的每个小正方形的边长都是1个单位，请在方格纸上按要求画出格点三角形． (1)在图①中画，使得，且相似比为； (2)在图②中画，使得，且周长比为． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【分析】本题考查相似三角形性质及判定，勾股定理求线段长． （1）根据相似比得出各边均扩大2倍，通过计算求出扩大后三角形三边长再连接各点即可； （2）根据相似比等于周长比得出将各边扩大倍，通过计算得到扩大后各边长度，连接各点即可得到图形； 【详解】（1）解：∵，且相似比为， ∴应将中各边均扩大2倍画出图形， ∵， ∴， 画图如下： ； （2）解：∵，且周长比为， ∴应将中各边均扩大倍画出图形， ∵， ∴， 在图中找出对应线段长，画图如下： ． 21．网格中每个小正方形的边长都是1． (1)将图①中的格点平移，使点A平移至点，画出平移后的三角形； (2)在图②中画一个格点，使，且相似比为． (3)在图③中画一个格点，使，且相似比为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了格点画相似三角形， （1）连接，作平行且相等于平行且相等于，找到对应点，顺次连接即可； （2）先求出三角形的三边，再让三边长分别乘以，得到新的三角形的三边长，画出三角形即可； （3）先求出三角形的三边，再让三边长分别乘以，得到新的三角形的三边长，画出三角形即可． 利用勾股定理得到需求的三角形的边长在格点中如何画出，是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：如图所示，即为所求： （3）解：如图所示，即为所求： 【考点4 相似三角形的判定与性质综合】 22．如图，在中，点，分别在边，上，，已知，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，线段和差，由得，再根据相似三角形的性质，线段和差即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 23．如图， ，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，根据可证，，利用相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】解： ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故选C． 24．如图，在矩形中，，，点、、分别在线段、、上，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，能通过构造辅助线构造相似三角形是解决本题的关键．过点作于点，交于点，求出，证，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 又 ， ， ， ， ， 故答案为：． 25．如图，在中，以为直径的与相切于点A，与相交于点D，F是上一点，且，连接．若，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了切线的性质，勾股定理，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的性质和判定，相似三角形的对应边成比例是求线段长的常用方法． 先根据切线的性质得为直角三角形，再根据勾股定理求出，进而求出，然后连接，结合“直径所对的圆周角是直角”证明，可得，即可求出． 【详解】解：∵为的直径，与相切于点， ∴． ∴为直角三角形． 设，则． ∵， ∴在中，由勾股定理，得． 解得． ∴，． 连接， ∵是的直径， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴，即． ∴． 26．如图，在等腰中，，以为直径的与交于点D，，垂足为E，的延长线与的延长线交于点F． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查切线的判定、圆周角定理的推论、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练应用相关知识点成为解题的关键． （1）连接，根据等腰三角形的性质和圆的性质可得、，即，可证，再结合即可证明结论； （2）连接，通过证明，然后根据相似三角形的性质及等量代换进行计算即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 27．已知矩形ABCD，点E、F分别在AD、DC边上运动，连接BF、CE，记BF、CE交于点P. (1)如图1，若，，于P， ①求证：； ②求线段的长度； (2)如图2，若，，求. 【答案】(1)①见详解② (2) 【分析】（1）①根据矩形的性质可得：，，，，结合四边形内角和可证得，②因为，所以得出，即可求得答案； （2）根据已知条件可证得，得出，进而得出，利用，即可得出答案． 本题是矩形综合题，考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，添加辅助线构造相似三角形是解题关键． 【详解】（1）解：① 四边形是矩形， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ②∵， ， ， ； （2）四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 28．如图，已知是的直径，点P在的延长线上，切于点D，过点B作，交的延长线于点C，连接并延长，交于点E． (1)求证：； (2)若，点A是的中点，求线段的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）连接，如图，根据切线的性质得到，则可判断，所以，结合，所以，然后根据等腰三角形的判定定理得到结论； （2）先由点A是的中点，得出，由（1）得，，则，运用勾股定理列式计算，再证明，把数值代入进行计算，即可作答． 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．勾股定理，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）证明：连接，如图， 切于点， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：∵点A是的中点 ∴ ∵， ∴ 在中， ∴， ∵ ∴ ∴ 即 ∴ 30．如图，在和中，，，且．连接，． (1)求证：． (2)在图2中，点B，D，E在同一直线上，且点D在上，若，，求的值（用含a，b的代数式表示）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形判定定理与相似三角形判定定理． （1）只需要证明．即可证明． （2）先根据对边对等角和三角形内角和定理得到．则．再证明．得到．则，据此可得答案． 【详解】（1）证明：， ． ，， ． ． （2）解：在图2中，点，，在同一直线上， ，，， ． ． ， ． ，即． ． ． ． 31．如图，在正方形中，点M是边上的一点(不与B、C重合)，延长使得，连接与边交于点E． (1)①求证：；②求的度数； (2)若平分，求证：； (3)和相交于O点，当时，求的值． 【答案】(1)①见解析；② (2)见解析 (3) 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识， （1）①四边形是正方形，，又由已知即可证明；②由得，，证明，即可得到答案； （2）证明，则，由即可得到结论； （3），由得到，则，得到，证明，则，即 ，得到，则，证明，得到，设，则，得到，即可得到答案． 【详解】（1）证明：①四边形是正方形， 又∵ ∴ ②由得， ∴， 即， ∴是等腰直角三角形， ∴； （2） 又∵平分， ； （3） 理由如下： ，设， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴，即 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 设，则 又∵ ∴ ∴ ∴． 32．如图，在中，，点是的中点，连接，分别过点、点作、的平行线交于点，连接，交于点，交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)设，当发生变化时，探究的值是否为定值，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)的值为定值，理由见解析 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，因为，得证四边形是矩形； （2）先由矩形的性质得证，则点是的中点．然后证明，代入数值化简，即可作答． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形． 在中，，点是的中点， ， ， 四边形是矩形； （2）解：的值为定值． 理由：四边形是矩形，点为的中点， ，， ， ， ， ， 点是的中点． 如图，过点作的平行线，交于点， 为的中点． ， ， ， ， ， 与的大小无关，即与的大小无关， 当发生变化时，的值为定值． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，本题的难点在于过点作的平行线，构造相似三角形，从而将线段与之间的关系表示出来． 33．如图所示，在平行四边形中，点是边上一点，点是边的中点， (1)求证：； (2)如果平分，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）延长交的延长线于，证明，得出，，由题意得出，再由等腰三角形的性质即可得出答案； （2）由角平分线的定义结合等腰三角形的性质得出，由平行四边形的性质得出，，，证明， 得出，结合，即可得证． 【详解】（1）证明：如图，延长交的延长线于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴． 34．已知：如图1，在中，，，点D在线段上，连接，作线段的垂直平分线分别交、于点E、F． (1)如图1，若，，求 的值； (2)把改为，其它条件不变，如图2，求证： 【答案】(1)3 (2)见解析 【分析】（1）连接，，证明，得到，即可求解． （2）证明，得到，又，所以，再证明，得到，即，即可得出结论． 【详解】（1）解：连接，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分线段， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． （2）证明：作交延长线于G，如图2， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∴ ∵垂直平分 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，余角的性质，平行线的性质，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 【考点5 相似三角形--动点问题】 35．如图，在钝角中，，，点D从A点出发沿以的速度向B点移动，点E从C点出发沿以的速度向A点移动，如果两点同时移动，经过 秒时，与相似． 【答案】3或 【分析】解答时，分和两种情况解答即可．本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：设经过，与相似． ∵，，点D从A点出发沿以的速度向B点移动，点E从C点出发沿以的速度向A点移动， ∴，，， 当时，则即， 解得； 当时，则即， 解得； 故答案为：3或． 36．如图，在中，，点P从B点出发沿方向以每秒1个单位移动，点Q从A出发沿方向以每秒2个单位移动，当它们到达A、C后停止运动．试问经过几秒后，与相似？请说明理由． 【答案】经过2或秒后，与相似，理由见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，先求出，再分时，时，两种情况利用相似三角形的性质建立方程求解即可． 【详解】解：经过2秒或后与相似，理由如下： 设点P、Q运动的时间为t，由题意得，， ∵， ∴， 当时， ∴，即 解得． 同理，当时， 综上所述，经过2或秒后，与相似． 37．如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为，动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么何时由P，B，Q三点连成的三角形与相似？ 【答案】经过2秒或秒时，与相似． 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．利用时间表示相应线段长和利用相似比列方程是解决此题的关键．分两种情况，利用相似三角形的判定建立方程求解即可； 【详解】解：设经过t秒时，以与相似，厘米， ， ∴当时，，即； 解得：， 当时，，即； 解得：， 即经过2秒或秒时，与相似． 38．如图，在中，，设P，Q分别为上的动点，在点P自点A沿方向以每秒的速度向点C做匀速移动的同时，点Q自点B沿方向以每秒的速度向点A做匀速移动，当Q点到达A点时，P点就停止移动．设P，Q移动的时间为t秒． (1)当t为何值时，？ (2)能否与相似？若能，求出t的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能，或 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，在解答时要注意进行分类讨论，不要漏解． （1）由勾股定理求出，当时，作，垂足为E，证明，由相似三角形的性质得出，得出，则可得出答案； （2）分与两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：∵中，， ∴， ∴， 如图，当时，作，垂足为E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴t为时，； （2）解：能． 当时，，即， 解得； 当时，，即， 解得； ∴或时，与相似． 39．如图，在等腰三角形中，厘米，厘米，动点从点出发，在边上以每秒3厘米的速度向点运动，同时动点从点出发，在边上以每秒2厘米的速度向点运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动时间为秒，连结． (1)请用含的代数式表示：______，______． (2)若三角形与三角形相似，求此时的值． (3)直接写出三角形是直角三角形时的值． 【答案】(1)10-2t，3t； (2)； (3)． 【分析】本题考查了动点问题的三角形相似、三角形为直角三角形、分类讨论等，熟练掌握相似的判定、直角三角形的判定是解题的关键． （1）根据点的运动速度和运动时间表示出对应线段即可； （2）分类讨论三角形相似的情况，对应列出等式求解即可； （3）分类讨论直角的情况，根据相似即可列出等式． 【详解】（1）解：由题意可得， （2）∵ 当时 ， 当时 即 综上所述当三角形与三角形相似时， （3）如图，过作 ， ， ∴ 当时， 即 由勾股定理有 即 解得：或（舍去） 当时， 如图 即 解得： 综上所述当三角形是直角三角形时． 40．如图1，在中，，，，点P从点C出发沿线段以每秒的速度运动，同时点Q从点B出发沿线段以每秒的速度运动．设运动时间为t秒． (1)填空： ______； (2)t为何值时，与相似； 【答案】(1) (2)秒或秒 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形相似的性质，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法． （1）根据勾股定理求出的值即可； （2）分两种情况进行讨论：当或时，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴． 故答案为：． （2）解：由题意可知：，，则， ∵， 当或时，与相似， 当时，， 解得，， 当时，， 解得，， 当或2.5秒时，与相似． 41．如图，在矩形中，，，动点P从点A出发，沿边以的速度向点B匀速移动，动点Q从点D出发，沿边以的速度向点A匀速移动，一个动点到达端点时，另一个动点也停止运动，点P，Q同时出发，设运动时间为． (1)当t为何值时，的面积为？ (2)当t为何值时，以A，P，Q为顶点的三角形与相似？ 【答案】(1)当时，的面积为 (2)当或时，以为顶点的三角形与相似 【分析】本题考查了矩形的性质、一元二次方程的几何应用、相似三角形的性质等知识，熟练掌握一元二次方程的几何应用和相似三角形的性质是解题关键． （1）先求出，再求出的长，然后利用直角三角形的面积公式建立方程，解方程即可得； （2）分两种请：①和②，利用相似三角形的性质求解即可得． 【详解】（1）解：∵在矩形中，，， ，， 由题意可知，，，点从点运动到点所需时间为，点从点运动到点所需时间为， ，， ∵的面积为， ， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：当时，的面积为． （2）解：①当时， 则，即， 解得，符合题意； ②当时， 则，即， 解得，符合题意， 综上，当或时，以为顶点的三角形与相似． 42．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度运动，点从点沿边向点以的速度运动．若点、点同时出发，当某点到终点时，另一点立即停止运动．运动时间为．    (1)_________，_________；（用含的代数式表示） (2)请计算当点运动多少秒时，以、、为顶点的三角形与相似． 【答案】(1)； (2)秒或秒 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形的面积， （1）根据路程＝速度×时间以及线段的和差，即可列出代数式； （2）分两种情况，或，分别得到关于的方程，求出的值，即可解决问题； 掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点从点开始沿边向点以的速度运动，点从点沿边向点以的速度运动，，， ∴，， 故答案为：；； （2）设点运动秒时，以、、为顶点的三角形与相似， ∵点从点开始沿边向点以的速度运动，点从点沿边向点以的速度运动，点、点同时出发，当某点到终点时，另一点立即停止运动，，， ∴点运动到终点所需时间为：， 点运动到终点所需时间为：， ∴的取值范围是：， ∵， ∴可分两种情况： 当时， ∴， ∴， ∴； 当时， ∴， ∴， ∴； ∴当点运动2.4秒或秒时，以、、为顶点的三角形与相似． 【考点6 相似三角形的综合问题】 43．如图，在边长为的菱形中，，将菱形沿折叠，使点的对应点落在对角线上．若，则的长为 ，的长为 cm． 【答案】 / 【分析】由折叠的性质可知，，，则，因为四边形是菱形，则，，则推出为等边三角形，则，，推出，又因为，则，则，因为，推出，则，设，，，则，求出；又因为 ，即 ，解得，又因为，即，则；推出 ． 【详解】解：由折叠的性质可知，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，， ∴， 即； 又∵， 即， 解得 ， ∵， 即， ∴； ∴ ） ， 故答案为：，． 【点睛】本题考查翻折变换，等边三角形的判定与性质，菱形的性质，相似三角形的判定及性质，解题的关键是掌握相关知识． 44．如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG． （1）求证：四边形EFDG是菱形； （2）求证EG2＝GF•AF； （3）若AG＝3，EG＝，求BE的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）． 【分析】（1）先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF=∠DFG，从而得到GD=DF，接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF； （2）连接DE，交AF于点O．由菱形的性质可知GF⊥DE，OG=OF=GF，接下来，证明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性质可证明DF2=FO•AF，于是可得到GE、AF、FG的数量关系； （3）过点G作GH⊥DC，垂足为H．利用（2）的结论可求得FG=4，然后再△ADF中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性质可求得GH的长，最后依据BE=AD-GH求解即可． 【详解】（1）证明：∵GE∥DF， ∴∠EGF=∠DFG． ∵由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF， ∴∠DGF=∠DFG． ∴GD=DF． ∴DG=GE=DF=EF． ∴四边形EFDG为菱形． （2）证明：如图1所示：连接DE，交AF于点O． ∵四边形EFDG为菱形， ∴GF⊥DE，， ∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA， ∴△DOF∽△ADF． ∴，即DF2=FO•AF． ∵， ∴； （3）如图2所示：过点G作GH⊥DC，垂足为H． ∵， ∴，整理得：FG2+3FG-10=0． 解得：FG=2，FG=-5（舍去）． ∵ ∴ ∵GH⊥DC，AD⊥DC， ∴GH∥AD． ∴△FGH∽△FAD． ∴，即， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查的是四边形与三角形的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、菱形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，利用相似三角形的性质得到DF2=FO•AF是解题答问题（2）的关键，依据相似三角形的性质求得GH的长是解答问题（3）的关键． 45．如图，已知正方形，点E在的延长线上，连结交对角线于点G，交于点F． （1）若，求的值； （2）求证：； （3）若，求n关于m的关系式． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】（1）证明△ABG∽△EDG，得到，根据，可得，即； （2）证明△ADG∽△FBG，得到，再根据AB∥DE，得到，通过等量代换可得结果； （3）根据△ADG∽△FBG，△ABG∽△EDG，推出，根据，可以推出，再根据，得到GE=nGF-AG，结合（2）中，得到nGF-AG=，令，则根据nGF-AG=x·GA，变形可得，证明△ABF∽△ECF，得到，推出x=m+1，结合可得m和n的关系． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD为正方形， ∴AB∥DE，AD∥BC，AB=AD=BC=DC， ∴△ABG∽△EDG， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵AD∥BC， ∴△ADG∽△FBG， ∴， ∵AB∥DE， ∴△ABG∽△EDG， ∴， ∴， ∴； （3）∵AD∥BC， ∴△ADG∽△FBG， ∴， ∵AB∥DE， ∴△ABG∽△EDG， ∴， 又∵，即， ∴， ∵，CF∥AD， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 则AG=AE-GE=nGF-GE， 则GE=nGF-AG， 由（2）可知：， ∴， ∴nGF-AG=， 令， 则nGF-AG=x·GA， 变形得：， ∴， 则， ∵AB∥CE， ∴△ABF∽△ECF， ∴， 又∵， ∴， 则， ∴，又∵BC=AD， ∴， ∴， 又∵， ∴x=m+1， ∵， ∴=， ∴m与n的关系为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，有一定的综合性，熟练运用相似三角形的性质，遇到线段比，通常联想到相似三角形，需熟练掌握． 46．【问题情境】如图1，已知△ABC和△DCE为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC，DC=CE，则线段BD、AE的数量关系为 ，线段BD、AE的位置关系为 ． 【类比探究】如图2，已知△ABC和△DCE中满足∠BAC=∠DEC，AB=AC，DE=EC，AC=2BC，试说明AE与BD具有怎样的数量关系． 【灵活运用】如图3，已知矩形ABCD中有一点P，连接AP，BP，DP，∠ADB=30°，AP=，BP=2，∠APB=120°，求PD的长． 【答案】【问题情境】相等，垂直；【类比探究】AE=2BD．【灵活运用】 【分析】【问题情境】根据∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC，DC=CE，证△BCD≌△ACE，利用全等三角形的性质，导角得出90°即可； 【类比探究】根据∠BAC=∠DEC，AB=AC，DE=EC，证△ABC∽△DCE，再证△BCD∽△ACE，利用相似三角形的性质可求； 【灵活运用】过点A作AN⊥AP,交BP延长线于点N，连接DN，证△PAB∽△NAD，得到∠DNP=90°和DN长，勾股定理即可求值． 【详解】【问题情境】相等，垂直； 延长BD交AE于点F, 交AC于点G， ∵∠ACB=∠DCE=90°， ∴∠DCB=∠ACE， ∵AC=BC，DC=CE， ∴△BCD≌△ACE， ∴BD=AE，∠DBC=∠EAC， ∵∠DGC=∠FGA， ∴∠GCB=∠AFG=90°， ∴BD⊥AE； 【类比探究】∵∠BAC=∠DEC，AB=AC，DE=EC， ∴， ∴△ABC∽△DCE， ∴ ∵∠BAC=∠DEC，AB=AC，DE=EC， ∴∠ACB=∠DCE， ∴∠DCB=∠ACE， ∴△ACE∽△BCD， ∴， ∴AE=2BD． 【灵活运用】过点A作AN⊥AP,交BP延长线于点N，连接DN， ∵∠APB=120°， ∴∠APN=60°，∠ANP=30°， ∴AP=，PN=2， ∵∠ADB=∠ANP=30°，∠DAB=∠NAP=90°， ∴△DAB∽△NAP， ∴，即， ∵∠PAB=∠NAD， ∴△PAB∽△NAD， ∴，∠BPA=∠DNA=120°， ∵∠ANP=30°， ∴∠DNP=90°， DN=BP=2， PD=， 【点睛】本题考查了相似三角形的综合问题，解题关键是熟练运用相似三角形的性质，恰当作辅助线，构建相似三角形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$