专题27.2.1 相似三角形的判定（4个考点）（题型专练+易错精练）-2024-2025学年九年级数学下册《知识解读•题型专练》（人教版）

专题27.2.1 相似三角形的判定（4个考点） 【考点1 三边对应成比例，两三角形相似】 【考点2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似】 【考点3 两角对应相等，两三角形相似】 【考点4 选择或填充条件使两个三角形相似】 【考点1 三边对应成比例，两三角形相似】 1．如图，在边长为1的正方形网格中，和都是格点三角形．求证：． 2．已知：在和中， ．求证：． 3．判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．    【考点2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似】 4．如图，在正方形中，E为边的中点，点F在边上，且，求证：． 5．如图，，且，求证：． 6．如图，，作，D在异侧，且，，E是延长线上一点，连接交于点F．求证：． 7．在和中，，，求证：．    8．如图，四边形的对角线与相交于点，，，，．求证：与是相似三角形．    【考点3 两角对应相等，两三角形相似】 9．如图，，，求证：． 10．如图，在平行四边形中，过点作 垂足为．连接 为线段上一点，且．求证：．   11．如图，在中，． (1)在图中作出的平分线，交于点D．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，求证：． 12．如图，四边形是菱形，点G是延长线上一点，连接，分别交、于点E、F，连接． (1)求证：； (2)求证：． 13．如图，在中，，，点D，E分别是，上的点，且，求证：.    14．如图，在中，，D，E分别是，上的点，且，求证：．    15．如图，四边形为菱形，点在的延长线上，．求证：． 16．如图，在中，点D在边上，点E在边上，．求证：．    17．如图，在和中，于A，于D，相交于点O，，求证：．    18．如图，在中和中，，，，和相似吗？为什么？    19．如图，平行四边形，交点E，连接，F为上一点，且．求证：．    20．如图，在中，，，请用尺规作图法在边上求作一点D，使得．（保留作图痕迹，不写作法）    【考点4 选择或填充条件使两个三角形相似】 21．如图，在中，点D，E分别在边，上，则不一定能判断的是（   ） A． B． C． D． 22．如图，点P在的边上，要判断，添加一个条件，下列不正确的是（   ） A． B． C． D． 23．如图，与相交于点 O，要使与相似，可添加的一个条件是（     ） A． B． C． D． 24．如图，点P在的边上，要判断，添加一个条件，不正确的是（    ） A． B． C． D． 25．如图，点D在的边上，添加下列条件后不能判定与相似的是（    ）    A． B． C． D． 26．如图，在和中，，要使与相似，还需要满足下列条件中的（    ） A． B． C． D． 27．直线与的边相交于点，与边相交于点，下列各条件： ①，②，③，④，⑤，能够判断的是 ． 28．已知，添加一个条件使得，则添加的条件是 ． 29．如图，在与中，点、分别在边、上，且，若___________，则．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明． 30．已知：中，，，用尺规求作一条过点B的直线，使得截出的一个三角形与相似并证明．（保留作图痕迹，不写作法） 31．如图，中，点D是边AB上一点，点E为外一点，，连接BE．从下列条件中：①；②．选择一个作为添加的条件，求证：． 32．如图，点D、E为外两点，给出下列信息：①；②；③． 请从上述三条信息中选择两条作为补充条件，余下的一条作为结论组成一个真命题，并说明理由．你选择的补充条件是______，结论是______．（填写序号） 33．如图，在中，，点D在边上（点D不与A，C重合）．若再增加一个条件能使，则这个条件是______；结合你所添加的条件，证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题27.2.1 相似三角形的判定（4个考点） 【考点1 三边对应成比例，两三角形相似】 【考点2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似】 【考点3 两角对应相等，两三角形相似】 【考点4 选择或填充条件使两个三角形相似】 【考点1 三边对应成比例，两三角形相似】 1．如图，在边长为1的正方形网格中，和都是格点三角形．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理与网格问题，三角形相似的判定，先根据勾股定理求出、、、，得出，即可证明． 【详解】解：∵，，， ，，， ∴，，， ∴， ∴． 2．已知：在和中， ．求证：． 【答案】见解析 【分析】直接在线段（或它的延长线）上截取，得出，再证明，进而得出答案． 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定，正确得出是解题关键． 【详解】证明：在线段（或它的延长线）上截取，过点D作，交于点E， ∵，∴， ∴， 又，， ∴，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． 3．判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．    【答案】．理由见解析 【分析】根据，进行判断作答即可． 【详解】解：．理由如下： 由题意知，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【考点2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似】 4．如图，在正方形中，E为边的中点，点F在边上，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质：熟练掌握正方形的性质，熟记两边成比例且夹角相等的两个三角形相似是解题的关键；由正方形的性质得出，设，得出，证出，即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是正方形 设 ∵E为边的中点， ∴ 5．如图，，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”；先根据，得出，再根据对应边成比例，即可解答． 【详解】证明：， ， 即 ， ， ， ． 6．如图，，作，D在异侧，且，，E是延长线上一点，连接交于点F．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据两边对应成比例且夹角相等即可证明．本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】证明：∵AB＝AC，AD＝CD， ∴， ∵， ∴． 7．在和中，，，求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”是解题的关键． 由，可得，由，可得，进而结论得证． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵，， ∴． 8．如图，四边形的对角线与相交于点，，，，．求证：与是相似三角形．    【答案】见解析 【分析】对应边成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形，由此证明即可． 【详解】证明： ，，，， ， ． ， 与是相似三角形． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形判定定理：对应边成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形． 【考点3 两角对应相等，两三角形相似】 9．如图，，，求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据两个角分别相等的三角形为相似三角形，据此即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ 10．如图，在平行四边形中，过点作 垂足为．连接 为线段上一点，且．求证：．   【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定，根据平行四边形的性质可得，结合， ，即可得出，进而可证出． 【详解】解：四边形是平行四边形，    ， ， ， ． ∴． 11．如图，在中，． (1)在图中作出的平分线，交于点D．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了角的平分线尺规作图，三角形相似的判定． （1）根据角平分线的尺规作图的基本要求画图即可． （2）根据三角形相似的判定解答即可． 【详解】（1）根据基本步骤作图如下： 则即为所求． （2）∵ 的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 12．如图，四边形是菱形，点G是延长线上一点，连接，分别交、于点E、F，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据菱形的性质可得，，然后证明即可得出结论； （2）根据平行线的性质可得，结合（1）中结论可得，然后根据相似三角形的判定定理得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （2）∵四边形是菱形， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，相似三角形的判定，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键． 13．如图，在中，，，点D，E分别是，上的点，且，求证：.    【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据，结合外角定理可得，即可证明； 【详解】证明：∵，， ∴， ∵是的一个外角， ∴， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴ 14．如图，在中，，D，E分别是，上的点，且，求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定．等边对等角，得到，利用外角的性质，推出，即可得证．熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 15．如图，四边形为菱形，点在的延长线上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据菱形的性质得出，根据题意，等量代换得出，进而根据公共角，即可得证． 【详解】证明：四边形为菱形，为对角线， ． ， ． 又， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 16．如图，在中，点D在边上，点E在边上，．求证：．    【答案】证明见解析 【分析】根据两个角分别对应相等的两个三角形相似证明即可． 【详解】证明：∵，， ∴； 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定方法是解本题的关键． 17．如图，在和中，于A，于D，相交于点O，，求证：．    【答案】见解析 【分析】先根据直角三角形的性质，得，再根据相似三角形的判定即可． 【详解】证明：∵于A，于D， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， , ∴， ∴． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是本题的关键． 18．如图，在中和中，，，，和相似吗？为什么？    【答案】和相似，理由见解析 【分析】先利用三角形内角和定理求出，则，再由即可证明和相似． 【详解】解：和相似，理由如下： ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴和相似． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，三角形内角和定理，熟知两组角对应相等的三角形相似是解题的关键． 19．如图，平行四边形，交点E，连接，F为上一点，且．求证：．    【答案】见解析 【分析】由平行四边形的性质结合等角的补角相等，可得出、，利用平行线的性质可得出，进而即可证出． 【详解】证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴ ∵ ∴； ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定、平行四边形的性质，解题的关键是根据平行四边形的性质结合等角的补角相等，找出． 20．如图，在中，，，请用尺规作图法在边上求作一点D，使得．（保留作图痕迹，不写作法）    【答案】见解析 【分析】 作的平分线交于点，点即为所求， 【详解】解：如图所示，作的平分线交于点，点即为所求，    理由如下， ∵在中，，， ∴ ∵是的平分线， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了作角平分线，三角形内角和定理，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键． 【考点4 选择或填充条件使两个三角形相似】 21．如图，在中，点D，E分别在边，上，则不一定能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握其判定方法是解题的关键．可利用有两组角对应相等的两个三角形相似判断A、B选项，利用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似判断C选项，从而解题． 【详解】解：A、，， ，不符合题意； B、，， ，不符合题意； C、， ， ， ，不符合题意； D、，， 无法证明，符合题意； 故选：D． 22．如图，点P在的边上，要判断，添加一个条件，下列不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可． 【详解】解：A、当时， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； B、当时， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； C、当时， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； D、当时，无法得到，故此选项符合题意． 故选：D． 23．如图，与相交于点 O，要使与相似，可添加的一个条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定．根据相似三角形的判定方法，进行判断即可． 【详解】解：（对顶角相等）， A、当时，则与相似，符合题意； B、当时，无法证明与相似，不符合题意； C、当时，无法证明与相似，不符合题意； D、，无法证明与相似，不符合题意； 故选：A． 24．如图，点P在的边上，要判断，添加一个条件，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可． 【详解】解：A、当时， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； B、当时， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； C、当时， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； D、当时，无法得到，故此选项符合题意． 故选：D． 25．如图，点D在的边上，添加下列条件后不能判定与相似的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定，由是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得A与B正确；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得C正确，继而求得答案，掌握三角形相似的判定方法是解题的关键． 【详解】∵是公共角， ∴当或时，（有两角对应相等的三角形相似），故A与B正确，不符合题意； 当时，（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似），故C正确，不符合题意； 当时，不是夹角，故不能判定与相似，故D错误，符合题意． 故选：D． 26．如图，在和中，，要使与相似，还需要满足下列条件中的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形相似的判定，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似解答即可． 【详解】∵， ∴， ∵， ， 故选A． 27．直线与的边相交于点，与边相交于点，下列各条件： ①，②，③，④，⑤，能够判断的是 ． 【答案】②⑤ 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 根据相似三角形的判定方法，分别进行判定即可得出答案． 【详解】解：①∵， ∴，故此选项错误； ②，可以根据相似三角形的判定方法中的平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，判断出，故此选项正确； ③，缺少夹角相等，故不能判定，故此选项错误； ④，又∵， ∴，故此选项错误； ⑤可以变形为：， 又∵， ∴，故此选项正确； 故正确的有2个． 故答案为：②⑤． 28．已知，添加一个条件使得，则添加的条件是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查相似三角形的判定，由可得．只需还有一对角对应相等或夹边对应成比例即可得证．掌握相似三角形的判定是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即， 当或或时，． 故答案为：或或． 29．如图，在与中，点、分别在边、上，且，若___________，则．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明． 【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 根据相似三角形的判定定理证明即可． 【详解】解：若选①， 证明：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴． 选择②，不能证明． 若选③， 证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 30．已知：中，，，用尺规求作一条过点B的直线，使得截出的一个三角形与相似并证明．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见详解 【分析】作∠ABC的角平分线，交AC于点D，再根据两角对应相等即可． 【详解】解：如图，直线BD即为所求． 证明：∵，， ∴∠ABC=∠ACB=72°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠BCD=36°， ∴∠BCD=∠A， ∵∠C=∠A， ∴ 【点睛】本题主要考查了角平分线的作法，以及三角形相似的判定，解题的关键是三角形相似的判定． 31．如图，中，点D是边AB上一点，点E为外一点，，连接BE．从下列条件中：①；②．选择一个作为添加的条件，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键．可添加根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；或添加利用两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定其相似． 【详解】证明：选择① ∵， ∴， ∵， ∴． 或选择② ∵， ∴， ∵， ∴． 32．如图，点D、E为外两点，给出下列信息：①；②；③． 请从上述三条信息中选择两条作为补充条件，余下的一条作为结论组成一个真命题，并说明理由．你选择的补充条件是______，结论是______．（填写序号） 【答案】见详解 【分析】分别将条件进行组合，判断是否为真命题，再根据三角形相似的判定方法证明即可． 【详解】（1）条件：①②，结论③； （2）条件：①③，结论②； （3）条件：②③，结论①； 以上三个命题均是真命题． 选择（1）进行证明， 证明：，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定及性质，掌握相似的判定方法是解题的关键． 33．如图，在中，，点D在边上（点D不与A，C重合）．若再增加一个条件能使，则这个条件是______；结合你所添加的条件，证明． 【答案】（答案不唯一），见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定方法即可求解． 【详解】解：（答案不唯一） 证明：在和中， ∴．（有两角对应相等的两个三角形相似） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$