27.2.2 相似三角形的性质及其运用（知识解读+达标检测）-2024-2025学年九年级数学下册《知识解读•题型专练》（人教版）

27.2.2 相似三角形的性质及其运用 【考点1 利用相似三角形的性质求解】 【考点2 利用相似求坐标】 【考点3 在网格中画与已知三角形相似的三角形】 【考点4 相似三角形的判定与性质综合】 【考点5 相似三角形--动点问题】 【考点6 相似三角形的综合问题】 知识点1 相似三角形的性质 性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例. 性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 注意：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 性质3：相似三角形周长的比等于相似比 如图一： ∽，则 由比例性质可得： 图一 性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图二，∽，则分别作出与的高和，则 图二 注意：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 知识点3 射影定理 射影定理：如图，Rt△ABC，∠C＝90º，CD⊥AB 则，1．CD2＝AD·BD 2．BC2＝BD·AB AC2＝AD·AB 很容易推出：． AC·BC＝AB·CD． BC2＋AC2＝AB2． ． AC＋BC＜AB＋CD． 用图中小写字母a、b、c、p、q、h（常称为勾股六线段）表达以上关系： ① h2＝pq ；② a2＝pc ；③ b2＝qc ；④ ；⑤ ab＝ch ； ⑥ a2＋b2＝c2 ；⑦ ；⑧ a＋b＜c＋h；⑨ c＝p＋q． 利用上述关系式， “知二可求四” ，即在a、b、c、p、q、h这六个量中，已知两个量就可求出其余四个量来。同学们自己可任意设出两个量，练习求另外四个量（在设的时候，要注意构成直角三角形的基本条件：斜边大于直角边 【考点1 利用相似三角形的性质求解】 【典例1】如图，，，，，那么的值等于（   ） A．5 B．6 C．7 D．4 【变式1-1】如图，，和分别是和的高，若，，则与的面积的比为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】若，且＝．若的面积为8，则的面积是（    ） A． B．6 C．9 D．18 【变式1-3】如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上，若，则和的周长之比为（    ） A． B． C． D． 【考点2 利用相似求坐标】 【典例2】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为、，连接．动点P从点A开始在折线段上以每秒2个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒3个单位长度的速度向点A移动．设点P、Q移动的时间为t秒，当与相似时，点P的坐标是 ． 【变式2-1】如图，在平面直角坐标系中，已知，点A的坐标为，点B的坐标为．若a，b的值是关于x的一元二次方程的两个根，且． (1)直接写出___________，___________ (2)若点P在y轴上，且，求点P的坐标． 【变式2-2】如图，点，，将线段平移得到线段．若，，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】如图，点的坐标分别是，如果以点为顶点的直角三角形与相似，则点的坐标可能是下列的（    ） ①  ②  ③  ④    A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 【考点3 在网格中画与已知三角形相似的三角形】 【典例3】已知图1和图2中的每个小正方形的边长都是1个单位，请在方格纸上按要求画格点三角形： (1)在图1中画，使得，且相似比为； (2)在图2中画，使得，且面积比为． 【变式3-1】如图在的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，△ABC就是一个格点三角形，现从的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点联结成格点三角形，其中与相似的有(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-2】网格中每个小正方形的边长都是1． (1)将图①中的格点三角形平移，使点平移至点，画出平移后的三角形； (2)在图②中画一个格点三角形，使，且相似比为． 【变式3-3】如图，在方格纸中，点，，都在格点上，用无刻度直尺作图. (1)在图1中作一个，使与相似（相似比不为1，只需作一个即可）； (2)在图2中的线段上找一个点，使. 【考点4 相似三角形的判定与性质综合】 【典例4】已知：如图在中，，高，它的内接矩形（点E在边上，点H、G在边上，点F在边上），与边之比为，求的长． 【变式4-1】如图，中，点D在上，，若，，求的长． 【变式4-2】如图，在中，平分交于点D，． (1)求证： (2)若，，求的长． 【变式4-3】如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，． (1)求证：； (2)当，时，求的长． 【考点5 相似三角形--动点问题】 【典例5】在中，，，，现有动点从点出发，沿线段向点运动，动点从点出发，沿线段向点运动，连接．如果点的速度是，点的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为．    (1)求出的取值范围； (2)当时，，两点之间的距离是多少？ (3)当为多少时，以点，，为顶点的三角形与相似？ 【变式5-1】如图，，射线和线段互相垂直，为线段上一点，点在射线上，且，作，并截取 ，连接并延长交射线于点，设，，则(　　) A． B． C． D． 【变式5-2】如图所示，在中，，，．动点从点出发，以的速度沿向终点移动，同时动点从点出发，以的速度沿向终点移动，连接，设移动时间为．求当为何值时，以，，为顶点的三角形与相似?    【变式5-3】如图，在中，，，，动点从点出发以的速度向点移动，动点从点从出发以的速度向点移动，如果、同时出发，当他们移动多少秒时，以、、为顶点的三角形与相似？    【考点6 相似三角形的综合问题】 【典例6】如图，在中，，于，作于，是中点，连交于点． （1）求证：； （2）若，，求的值． 【变式6-1】如图，△ABC中，点D，E分别是BC，AB上的点，CE，AD交于点 F，BD＝AD，BE＝EC．    (1)求证：△ABD∽△CBE； (2)若CD＝CF，试求∠ABC的度数． 【变式6-2】如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E，点F分别在线段AB，AD上，且∠EFD＝∠BDF． （1）求证：△AFE∽△ADC． （2）若，，且∠AFE＝∠C，探索BE和DF之间的数量关系． 【变式6-3】如图，矩形ABCD中AB＝2，AD＝4，动点F在线段CD上运动（不与端点重合），过点D作AF的垂线，交线段BC于点E． （1）证明：△ADF∽△DCE； （2）当CF＝1时，求EC的长． 1．两个相似三角形对应边上的高之比为，则它们的面积比为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，是的平分线，在的延长线上取一点，使得，连接．则（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，且，，则为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，已知四边形是平行四边形，点是的中点，连接，相交于点，过作的平行线交于点，若，则的值是（    ） A．6 B．5 C．8 D．4 5．如图，在中，、分别是边，的中点．若的面积为，则四边形的面积为（    ） A． B．1 C． D．2 6．如图，点是边上一点，连接，使，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，点是的重心，连接，若，则线段长度为（    ） A．4 B．5 C．6 D．9 8．如图，矩形的面积为24，它的对角线与双曲线相交于点，且，则的值为 ． 9．如图，在菱形中，点E 在边上，射线交的延长线于点F，若，，则的长为（    ） A．1 B． C． D．2 10．如图，正方形的边长为，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，与轴交于点．若点恰好是的中点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 11．如图，中，为边上的点，且，已知的面积为4，则的面积为（    ） A．6 B．8 C．9 D．12 12．如图，分别在边上，若，，，则的长为 ． 13．如图，在平行四边形中，平分，交于点，若，则 ．    14．如图，已知等腰三角形中，，点P从点B出发沿以的速度向点A运动；同时点Q从点C出发沿以的速度向点B运动，在运动过程中，当与相似时， ． 15．如图，E为上一点，若，，求证： (1)； (2)． 16．在中，．现有动点P从点A出发，沿向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段也向点B方向运动．如果点P的速度是秒，点Q的速度是秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为ｔ秒，求： (1)用含t的代数式表示的面积S； (2)当秒时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？ (3)当t为多少秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似？ 17．如图，在中，于D，作于E，F是中点，连交于点G． (1)求证：； (2)若，求的值． 18．如图，点，，，均在上，且．与相交于点，，． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 19．如图，在中，D为上一点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 20．如图，已知矩形中，是上的一点，过点作交边于点，交的延长线于点，且． (1)求证：； (2)若，矩形的周长为32，求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 27.2.2 相似三角形的性质及其运用 【考点1 利用相似三角形的性质求解】 【考点2 利用相似求坐标】 【考点3 在网格中画与已知三角形相似的三角形】 【考点4 相似三角形的判定与性质综合】 【考点5 相似三角形--动点问题】 【考点6 相似三角形的综合问题】 知识点1 相似三角形的性质 性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例. 性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 注意：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 性质3：相似三角形周长的比等于相似比 如图一： ∽，则 由比例性质可得： 图一 性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图二，∽，则分别作出与的高和，则 图二 注意：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 知识点3 射影定理 射影定理：如图，Rt△ABC，∠C＝90º，CD⊥AB 则，1．CD2＝AD·BD 2．BC2＝BD·AB AC2＝AD·AB 很容易推出：． AC·BC＝AB·CD． BC2＋AC2＝AB2． ． AC＋BC＜AB＋CD． 用图中小写字母a、b、c、p、q、h（常称为勾股六线段）表达以上关系： ① h2＝pq ；② a2＝pc ；③ b2＝qc ；④ ；⑤ ab＝ch ； ⑥ a2＋b2＝c2 ；⑦ ；⑧ a＋b＜c＋h；⑨ c＝p＋q． 利用上述关系式， “知二可求四” ，即在a、b、c、p、q、h这六个量中，已知两个量就可求出其余四个量来。同学们自己可任意设出两个量，练习求另外四个量（在设的时候，要注意构成直角三角形的基本条件：斜边大于直角边 【考点1 利用相似三角形的性质求解】 【典例1】如图，，，，，那么的值等于（   ） A．5 B．6 C．7 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据，得出，然后再代入数据求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， 解得：． 故选：B． 【变式1-1】如图，，和分别是和的高，若，，则与的面积的比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是相似三角形的性质“相似三角形对应高的比等于相似比”．根据相似三角形的性质可直接得出结论． 【详解】解：∵， 和分别是和的高，，， 其相似比为：， 与的面积的比为； 故选：． 【变式1-2】若，且＝．若的面积为8，则的面积是（    ） A． B．6 C．9 D．18 【答案】D 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键． 根据相似三角形的性质可直接得出结论． 【详解】解：∵，且＝． ∴ ∵的面积为8， ∴的面积为18， 故选：D． 【变式1-3】如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上，若，则和的周长之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据位似变换的概念得到，，得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的周长比等于相似比解答即可．本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，熟记相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键． 【详解】解：， ， ∵和是以点为位似中心的位似图形 ∴，， ∴ ， ∴和的周长之比为， 故选：C． 【考点2 利用相似求坐标】 【典例2】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为、，连接．动点P从点A开始在折线段上以每秒2个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒3个单位长度的速度向点A移动．设点P、Q移动的时间为t秒，当与相似时，点P的坐标是 ． 【答案】或 【分析】由题意易得，然后可分情况进行讨论：①当时，有；②当时，有；进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵点A，B的坐标分别为、， ∴，， ∴， 当与相似时，则可分： ①当时，有，如图所示： ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∴； ②当时，有，如图所示： ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∴； 综上所述：当与相似时，或； 故答案为或． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【变式2-1】如图，在平面直角坐标系中，已知，点A的坐标为，点B的坐标为．若a，b的值是关于x的一元二次方程的两个根，且． (1)直接写出___________，___________ (2)若点P在y轴上，且，求点P的坐标． 【答案】(1)2，3 (2) 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可得； （2）先求出的长，再根据相似三角形的性质即可得． 【详解】（1）解：， 因式分解，得， 解得或， 的值是关于的一元二次方程的两个根，且， ， 故答案为：2，3． （2）解：由（1）可知，， ， ， ，， ， 解得， 又，且点在轴上， ． 【点睛】本题考查了解一元二次方程、相似三角形的性质、点坐标，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 【变式2-2】如图，点，，将线段平移得到线段．若，，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形的变换—平移，相似三角形的判定和性质，过点作轴于点，先证明，根据相似三角形的性质可得，求出点的坐标，构造相似三角形是解题的关键． 【详解】解：过点作轴于点，如图所示： 则， ∵点，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴点坐标为， 故选：A． 【变式2-3】如图，点的坐标分别是，如果以点为顶点的直角三角形与相似，则点的坐标可能是下列的（    ） ①  ②  ③  ④    A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断． 【详解】解：在中，，，则是等腰直角三角形， ， ①、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ②、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ③、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ④、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； 故选：D．    【考点3 在网格中画与已知三角形相似的三角形】 【典例3】已知图1和图2中的每个小正方形的边长都是1个单位，请在方格纸上按要求画格点三角形： (1)在图1中画，使得，且相似比为； (2)在图2中画，使得，且面积比为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了作相似三角形， （1）根据相似比得出各边均扩大2倍，通过计算求出扩大后三角形三边长再连接各点即可； （2）由面积的比得两三角形相似比为，画出所有对应边为原来倍的三角形即可． 【详解】（1）解：如图：即为所求． ； （2）解：如图：即为所求． ． 【变式3-1】如图在的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，△ABC就是一个格点三角形，现从的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点联结成格点三角形，其中与相似的有(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，根据三边对应成比例的三角形相似进行求解即可． 【详解】解：如图所示，由网格的特点可知， ， ∴， ∴， 同理可证明， ∴从的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点联结成格点三角形，其中与相似的有3个， 故选C． 【变式3-2】网格中每个小正方形的边长都是1． (1)将图①中的格点三角形平移，使点平移至点，画出平移后的三角形； (2)在图②中画一个格点三角形，使，且相似比为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作和，使，． ，，再连结即得； （2）作和，使， ，，再连结即得． 本题主要考查了画格点三角形，解决问题的关键是熟练掌握平移性质，相似三角形性质． 【详解】（1）由平移知，，． 作，，使，， 再连结即可． 如图①，即为所求． （2）当相似比为时，， ， 作，，使， 再连结即可． 如图②，即为所求． 【变式3-3】如图，在方格纸中，点，，都在格点上，用无刻度直尺作图. (1)在图1中作一个，使与相似（相似比不为1，只需作一个即可）； (2)在图2中的线段上找一个点，使. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图—相似变换，勾股定理以及勾股定理逆定理等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）用勾股定理以及勾股定理逆定理判断出，，从而即可得出； （2）构造相似比为的相似三角形即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，即为所求， ，，，， ， ，， ，，，， ， 即为所求； （2）解：如图，点即为所求， ， 由图可得：， ， ， ，， ． 【考点4 相似三角形的判定与性质综合】 【典例4】已知：如图在中，，高，它的内接矩形（点E在边上，点H、G在边上，点F在边上），与边之比为，求的长． 【答案】 【分析】设矩形的长，则宽，易证四边形是矩形，则，根据矩形的性质得出，推出，根据相似三角形的性质计算即可得解． 【详解】解：设矩形的长，则宽， 四边形是矩形， ，， ， 是的高， ， 四边形是矩形， ， ， （相似三角形对应边上的高的比等于相似比）， ，， ， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质的运用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比． 【变式4-1】如图，中，点D在上，，若，，求的长． 【答案】 【分析】此题主要考查相似三角形的判定与性质，证明,故，即可得到∴，求出的长. 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴或（舍去）． 【变式4-2】如图，在中，平分交于点D，． (1)求证： (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)3． 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意证明，即可证明三角形相似； （2）根据三角形相似的性质得到，计算即可． 【详解】（1）证： 平分 ， （2）解： 即 【变式4-3】如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，． (1)求证：； (2)当，时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先由菱形的性质得出，再根据两个角相等的三角形相似证明即可； （2）直接利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：四边形为菱形， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ，， ， ， 负值舍去． 【考点5 相似三角形--动点问题】 【典例5】在中，，，，现有动点从点出发，沿线段向点运动，动点从点出发，沿线段向点运动，连接．如果点的速度是，点的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为．    (1)求出的取值范围； (2)当时，，两点之间的距离是多少？ (3)当为多少时，以点，，为顶点的三角形与相似？ 【答案】(1) (2) (3)为或 【分析】本题是动点问题，考查了勾股定理，相似三角形的性质等知识，掌握这些知识是关键．注意相似有两种情况，考虑要周到． （1）分别求出点P、Q在各自边上运动的时间范围，即可确定t的范围； （2）当时，可分别求得的长度，由勾股定理即可求得P，Q两点之间的距离； （3）分两种情况：；，利用相似三角形的性质即可求得t的值． 【详解】（1）解：由运动知，，． ∵，点P在线段上运动， ∴， ∴． ∵，点Q在线段上运动， ∴， ∴， ∴． （2）当时，，， 在中，根据勾股定理，得． （3）∵以点C，P，Q为顶点的三角形与相似，且， ∴①当时， ∴， ∴， ∴．          ②当时， ∴， ∴， ∴．         综上，当t为或时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似． 【变式5-1】如图，，射线和线段互相垂直，为线段上一点，点在射线上，且，作，并截取 ，连接并延长交射线于点，设，，则(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，过点作于点，证明，根据相似三角形的性质结合已知得出，，证明，得出，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，    ∵ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 即 整理得：． 故选：A． 【变式5-2】如图所示，在中，，，．动点从点出发，以的速度沿向终点移动，同时动点从点出发，以的速度沿向终点移动，连接，设移动时间为．求当为何值时，以，，为顶点的三角形与相似?    【答案】当时，以，，为顶点的三角形与相似 【分析】在中，根据勾股定理，求出的值，用含的代数式表示出、，当时，，当时，，即可求解， 本题考查了相似三角形的性质与判定，解题的关键是：分情况讨论． 【详解】解：在中，，，， 根据勾股定理，得：， ，， ①当时，，即：，解得：， ②当时，，即：，解得：（不合题意，舍去）， 故答案为：当时，以，，为顶点的三角形与相似． 【变式5-3】如图，在中，，，，动点从点出发以的速度向点移动，动点从点从出发以的速度向点移动，如果、同时出发，当他们移动多少秒时，以、、为顶点的三角形与相似？    【答案】秒或秒 【分析】本题综合考查相似三角形的性质以及一元一次方程的应用问题，若两三角形相似，则由相似三角形性质可知，其对应边成比例，据此可解出两三角形相似时所需时间，本题运用了分类讨论的思想，解题时应注意解答后的验证．解题的关键是掌握相似三角形的性质． 【详解】解：设当移动秒时，两三角形相似， ∵动点从点出发以的速度向点移动，动点从点从出发以的速度向点移动，，，， ∴的取值范围为，，， ∴， （1）当时，则， ∴， 解得：； （2）当时，则， ∴， 解得：， 验证可知（1）（2）两种情况下所求的的值均满足条件， 综上所述，当运动时间为秒或秒时，以、、为顶点的三角形与相似． 【考点6 相似三角形的综合问题】 【典例6】如图，在中，，于，作于，是中点，连交于点． （1）求证：； （2）若，，求的值． 【答案】（1）证明见详解；（2） 【分析】（1）只要证明△DAE∽△CAD，可得，推出AD2＝AC•AE即可解决问题； （2）利用直角三角形斜边中线定理求出DF，再根据DF∥AC，可得，由此可得，再利用第一问的结论，即可解决问题； 【详解】（1）证明：∵AD⊥BC于D，作DE⊥AC于E， ∴∠ADC＝∠AED＝90°， ∵，于， ∴∠DAE＝∠DAC， ∴△DAE∽△CAD， ∴， ∴AD2＝AC•AE， ∵AC＝AB， ∴AD2＝AB•AE． （2）解：如图，连接DF． ∵AB＝5，∠ADB＝90°，BF＝AF， ∴DFAB， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝DC， ∴DF∥AC， ∴， ∴ ∵AD2＝AB•AE． ∴ ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型． 【变式6-1】如图，△ABC中，点D，E分别是BC，AB上的点，CE，AD交于点 F，BD＝AD，BE＝EC．    (1)求证：△ABD∽△CBE； (2)若CD＝CF，试求∠ABC的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由已知可得∠BAD＝∠BCE，结合∠B＝∠B，可以得到； （2）设∠B＝x ，则由（1）和已知条件可以得到关于x的方程，解方程即可得到问题解答． 【详解】（1）证明：∵BD＝AD，BE＝EC ∴∠B＝∠BAD，∠B＝∠BCE   ∴∠BAD＝∠BCE 而∠B＝∠B， ∴△ABD∽△CBE （2）解：设∠B＝，由（1）可知∠B＝∠BAD＝∠BCE＝， ∴∠ADC＝ 又∵CD＝CF ∴∠ADC＝∠DFC＝   ∴    ∴ 即    【点睛】本题考查相似三角形的综合问题，熟练掌握三角形相似的判定方法、等腰三角形的性质、三角形内角和定理及方程思想方法的应用是解题关键． 法的应用是解题关键． 【变式6-2】如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E，点F分别在线段AB，AD上，且∠EFD＝∠BDF． （1）求证：△AFE∽△ADC． （2）若，，且∠AFE＝∠C，探索BE和DF之间的数量关系． 【答案】（1）证明见解析；（2）EB=2FD． 【分析】（1）由角平分线的性质得出∠BAD=∠DAC，再根据∠EFD=∠BDF得出∠AFE=∠ADC，进而根据两角分别相等的三角形相似可证； （2）由（1）中的相似及∠AFE=∠C得出∠AEF=∠AFE，进而根据等角对等边得出AE=AF，再根据及△AFE∽△ADC得出，再由，得出，即可得到结果． 【详解】解：（1）∵AD为∠BAC的平分线， ∴∠BAD=∠DAC， ∵∠EFD=∠BDF， ∴180°-∠EFD=180°-∠BDF， ∴∠AFE=∠ADC， 又∵∠BAD=∠DAC， ∴△AFE∽△ADC； （2）由（1）得，△AFE∽△ADC， ∴∠AEF=∠C， ∵∠AFE=∠C， ∴∠AEF=∠AFE， ∴AE=AF， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴EB=2FD． 【点睛】本题考查相似三角形的性质及判定．第（1）问能根据角的等量代换得出角相等及熟练掌握相似三角形的判定是解题关键；第（2）问根据相似得出比例式及根据比例式得出线段的关系是解的关键． 【变式6-3】如图，矩形ABCD中AB＝2，AD＝4，动点F在线段CD上运动（不与端点重合），过点D作AF的垂线，交线段BC于点E． （1）证明：△ADF∽△DCE； （2）当CF＝1时，求EC的长． 【答案】（1）见解析；（2）． 【分析】（1）根据相似三角形的判定得出即可； （2）根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】证明：（1）四边形是矩形， ，． 又， ，， ； （2）， ， ，， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟悉相似三角形的性质是解题关键． 1．两个相似三角形对应边上的高之比为，则它们的面积比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形性质．根据相似三角形对应高的比等于相似比，面积比是相似比的平方求解即可． 【详解】解：两个相似三角形对应高之比为， 它们的相似比为， 面积比． 故选：D． 2．如图，在中，，是的平分线，在的延长线上取一点，使得，连接．则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线，过点作交于点，证明出，得到是的中位线，根据已知条件及全等三角形的判定即可求出结果． 【详解】如解图，过点作交于点， ∴ ∴ ， ∴ ∴ 是的中位线， ，， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ． 故答案选：C． 3．如图，在中，，且，，则为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意证明出，然后得到，然后代数求解即可． 此题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定． 【详解】∵， ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∴． 故选：B． 4．如图，已知四边形是平行四边形，点是的中点，连接，相交于点，过作的平行线交于点，若，则的值是（    ） A．6 B．5 C．8 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，形似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质即可得解，由四边形是平行四边形，得，在证明，，利用相似三角形的性质即可得解． 【详解】解：∵是的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 解得， 故选：． 5．如图，在中，、分别是边，的中点．若的面积为，则四边形的面积为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】此题重点考查三角形的中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出△ABC的面积是解题的关键．先根据三角形的中位线定理证明，则，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出的面积，即可由求出四边形的面积． 【详解】解：∵D、E分别为、的中点， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 6．如图，点是边上一点，连接，使，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查的是相似三角形的判定和性质，能够发现隐含条件公共角是解答此题的关键．由已知条件：，，可判定，再根据相似三角形的性质进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，即：， 故选：D． 7．如图，在中，，点是的重心，连接，若，则线段长度为（    ） A．4 B．5 C．6 D．9 【答案】C 【分析】本题考査三角形的重心，直角三角形斜边的中线，关键是由重心的性质得到，D是中点． 延长交于D，由重心的性质得到，D是中点，求出，由直角三角形斜边中线的性质得到． 【详解】解：延长交于D， 点G是的重心， ，D是中点， ， ， ，D是中点， 故选：C． 8．如图，矩形的面积为24，它的对角线与双曲线相交于点，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，相似三角形的判定和性质以及矩形的性质等知识，解题的关键是理解反比例函数系数k的几何意义，掌握相似三角形的判定和性质．根据矩形的性质可得，再利用相似三角形的判定和性质可得出，进而求出，再由反比例函数系数k的几何意义求出k的值即可． 【详解】解：如图所示，过点D作于点E， ∵四边形是矩形， ，， ， ， ， ∵， ， ∴， ∴， 又∵反比例函数图像在第二象限， ∴， ∴， 故答案为：． 9．如图，在菱形中，点E 在边上，射线交的延长线于点F，若，，则的长为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】此题考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．由菱形的性质得，，可证明，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∵点F在直线上， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 10．如图，正方形的边长为，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，与轴交于点．若点恰好是的中点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，过点作轴于点，根据是的中点，可得，在中，运用勾股定理可得，根据题意可得，由此可算出，，因为点在第四象限，由此即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 是的中点，， ， 在中， ， ∵， ∴， ，即， ，， ， 点在第四象限， 点的坐标为． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，坐标与图形的综合，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 11．如图，中，为边上的点，且，已知的面积为4，则的面积为（    ） A．6 B．8 C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，先由平行四边形的性质得到，再证明得到，接着根据已知条件得到，则，据此可得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为4， ∴的面积为9， 故选：C． 12．如图，分别在边上，若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先根据，得出，即，再根据，，得出，即可得出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 13．如图，在平行四边形中，平分，交于点，若，则 ．    【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质．根据平行四边形的性质、角平分线和相似三角形的判定可证，，从而可得，再由，，可得，从而可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ，，， ，则 ∴， ∴， ∵平分， ∴，则， ∴， ∵，，即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．如图，已知等腰三角形中，，点P从点B出发沿以的速度向点A运动；同时点Q从点C出发沿以的速度向点B运动，在运动过程中，当与相似时， ． 【答案】或20 【分析】本题考查了相似三角形的判定，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．分两种情况进行讨论．由等腰三角形的性质得出和对应相等，那么就要分成和为对应边以及和为对应边两种情况． 【详解】解：设运动时间为， 当时，有， 即， 解得：， ∴， 当时，有， 即， 解得：或（舍去）， ∴， 综上所述，当或时，与相似， 故答案为：或20． 15．如图，E为上一点，若，，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质等知识，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据，证明出； （2）由，得到，进而可证明出． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 16．在中，．现有动点P从点A出发，沿向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段也向点B方向运动．如果点P的速度是秒，点Q的速度是秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为ｔ秒，求： (1)用含t的代数式表示的面积S； (2)当秒时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？ (3)当t为多少秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似？ 【答案】(1) (2) (3)秒或秒 【分析】此题是相似形综合题，主要考查了直角三角形的面积公式，勾股定理，相似三角形的性质，解本题的关键时用分类讨论的思想和方程思想解决问题． （1）由点，点的运动速度和运动时间，又知的长，可将、用含的表达式求出，代入直角三角形面积公式求解； （2）在中，当秒，可知、的长，运用勾股定理可将的长求出； （3）应分两种情况：当时，根据，可将时间求出；当时，根据，可求出时间． 【详解】（1）解：由题意得， 则， ∴的面积为； （2）解：由题意得， 则， 当秒时，， 在中，由勾股定理得； （3）解：由题意得， 则， ∵． ∴①当时，， 即， 解得秒； ②当时，， 即， 解得秒． ∴秒或秒时，以点、、为顶点的三角形与相似． 17．如图，在中，于D，作于E，F是中点，连交于点G． (1)求证：； (2)若，求的值． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型． （1）只要证明，可得，推出即可解决问题； （2）利用直角三角形斜边中线定理求出，题根据，可得，由此可得，题利用第一问的结论，即可解决问题； 【详解】（1）证明：∵于，作于， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，连接． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 18．如图，点，，，均在上，且．与相交于点，，． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出、的度数，由圆周角定义求出，根据三角形的内角和即可求出结果； （2）由，，证明，求出，进而得到，证明，得，求出，进而即可得解． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）知，，， 故 ， ，，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查圆周角定理，三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的判定等知识点，灵活运用相似三角形的性质与判定，寻找线段的数量关系是解题的关键． 19．如图，在中，D为上一点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练应用相似三角形的判定与性质，正确推出比例线段是解题关键． （1）根据两角对应相等证明； （2）根据（1）的结论推，把有关线段的值代入计算即可． 【详解】（1）证明：， ； （2）解：， ． ， ， ， ． 20．如图，已知矩形中，是上的一点，过点作交边于点，交的延长线于点，且． (1)求证：； (2)若，矩形的周长为32，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)13 【分析】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明以及是解题关键． （1）证明，由全等三角形的性质即可证明结论； （2）设 ，结合矩形的周长解得的值，易得，，再证明，由相似三角形的性质即可获得答案． 【详解】（1）证明：∵四边形为矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：设 ， 由（1）可知，， ∴， ∵矩形的周长为32， ∴， 解得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$