27.2.1 探索三角形相似的条件（知识解读+达标检测）-2024-2025学年九年级数学下册《知识解读•题型专练》（人教版）

27.2.1 探索三角形相似的条件 【考点1 三边对应成比例，两三角形相似】 【考点2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似】 【考点3 两角对应相等，两三角形相似】 【考点4 选择或填充条件使两个三角形相似】 知识点 相似三角形的判定 1．判定方法（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似. 2．判定方法（2）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.　 3．判定方法（3）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 注意：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 判定方法（4）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 注意：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 【考点1 三边对应成比例，两三角形相似】 【典例1】如图，在中，，，，求证：．    【变式1-1】判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．    【考点2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似】 【典例2】如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 【变式2-1】如图，分别是的边上的点，，，，求证：．    【变式2-2】如图，是的边上的一点，，，，求证：． 【变式2-3】如图，，且，，求证：．    【考点3 两角对应相等，两三角形相似】 【典例3】如图，在中，点E为边上一点，连结：点F为线段上一点，且．求证：． 【变式3-1】如图，在中，为边上一点，连接为上一点，连接，且．求证：． 【变式3-2】如图，已知，求证：． 【变式3-3】如图，四边形是正方形，点G为边上一点，连接并延长，交的延长线于点F，连接交于点E，连接．求证： (1)； (2)． 【考点4 选择或填充条件使两个三角形相似】 【典例4】如图，中，点D是边上一点，，连接．从下列条件中，选择一个作为附加条件①；②；③，求证：． 【变式4-1】如图，点P在的边AC上，要使，还少一个条件，补充一个条件并说明理由． 【变式4-2】在①，②，③这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，使命题正确，并证明． 问题：如图，四边形的两条对角线交于点，若 （填序号） 求证：． 【变式4-3】如图，在△ABC和△ACD 中，AD⊥CD于点D，AC⊥BC于点C．请再添加一个条件，使，并加以证明． 一、单选题 1．如图小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知与都是等边三角形，点在边上（不与点、重合），与相交于点，那么与相似的三角形是（    ） A． B． C． D． 4．下列一定相似的两个图形是（    ） A．有一个角是的等腰三角形 B．有一个角是的三角形 C．等腰三角形 D．有一个角是的等腰三角形 5．下列各条件中，能判断的是（　　） A．， B． ， C．， D．，，， 6．下列说法正确的是（　　） A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是正方形 C．两条边对应成比例且有一个内角相等的两个三角形相似 D．对角线相等的四边形是矩形 7．如图，D是边上一点，能使的条件是（    ） A． B． C． D． 8．如图，为的直径，C为延长线上一点，过点C作的切线，切点为E，作于点D，连结，下列结论正确的是（    ） A．B是中点 B． C． D．平分 9．如图，，添加一个条件：① ；② ；③；④．其中能判定 的是（   ）．    A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题 10．如图，中，D、E分别是、的点，要使，需添加一个条件是 ．（只要写一个条件） 11．如图，直线，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F，若，，则DF的值为 ． 12．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，，，，为小正方形的顶点，则图中所形成的三角形中，相似的三角形是 ． 13．如图，在正方形中，E是边的中点，要依据“两边成比例且夹角相等”判定，还需添加的一个条件是 ． 三、解答题 14．如图，在中，是角平分线，点E是边上一点，且满足．求证：． 15．已知是中的角平分线，是上的一点，且，，．求证： (1)； (2)． 16．如图，，且，若，． (1)求的长； (2)求的值． 17．在矩形中，E为边上一点，把沿翻折，使点D恰好落在边上的点F． (1)求证： ； (2)若，，求的长； 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 27.2.1 探索三角形相似的条件 【考点1 三边对应成比例，两三角形相似】 【考点2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似】 【考点3 两角对应相等，两三角形相似】 【考点4 选择或填充条件使两个三角形相似】 知识点 相似三角形的判定 1．判定方法（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似. 2．判定方法（2）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.　 3．判定方法（3）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 注意：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 判定方法（4）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 注意：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 【考点1 三边对应成比例，两三角形相似】 【典例1】如图，在中，，，，求证：．    【答案】证明见详解； 【分析】本题考查三角形相似的判定，根据得到，从而得到，结合，得到，即可得到证明； 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式1-1】判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．    【答案】．理由见解析 【分析】根据，进行判断作答即可． 【详解】解：．理由如下： 由题意知，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【考点2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似】 【典例2】如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据正方形的性质，得出，，进而得出，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明． 【详解】解：，， ， 四边形是正方形， ，， ，， 又， ． 【变式2-1】如图，分别是的边上的点，，，，求证：．    【答案】见解析 【分析】首先求出的长，再求出，根据即可证明． 【详解】解：， ， ，， ， 又， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【变式2-2】如图，是的边上的一点，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的证明，根据相似三角形的判定方法，两边对应成比例和夹角相等即可得出结论． 【详解】证明：，， ， ， ， 为公共角， ． 【变式2-3】如图，，且，，求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定，先求出，， 再证明即可． 【详解】证明：，且，， ， ，且， ， ， ， 又∵， 【考点3 两角对应相等，两三角形相似】 【典例3】如图，在中，点E为边上一点，连结：点F为线段上一点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质、平行线的性质、相似三角形的判定，根据平行四边形的性质可得，再根据平行线的性质可得，，利用等量代换可得，再根据相似三角形的判定即可得证． 【详解】证明：在中，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式3-1】如图，在中，为边上一点，连接为上一点，连接，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定和平行四边形的性质，由平行四边形的性质得，，得到，然后由，得到，然后根据相似三角形的判定可得结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式3-2】如图，已知，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟悉相似三角形的判定定理是解题的关键，已经有一角相等，只需再证一角相等即可；由等式的性质得出，即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴， 即， ∵， ∴． 【变式3-3】如图，四边形是正方形，点G为边上一点，连接并延长，交的延长线于点F，连接交于点E，连接．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定． （1）证明，即可； （2）根据平行得到，再根据，即可得证． 掌握正方形的性质，证明三角形全等和相似，是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵正方形， ∴， 又， ∴， ∴； （2）∵正方形， ∴， ∴， 又， ∴． 【考点4 选择或填充条件使两个三角形相似】 【典例4】如图，中，点D是边上一点，，连接．从下列条件中，选择一个作为附加条件①；②；③，求证：． 【答案】②，见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键．可添加根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；或添加利用两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定其相似． 【详解】证明：选择① ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式4-1】如图，点P在的边AC上，要使，还少一个条件，补充一个条件并说明理由． 【答案】补充一个条件（答案不唯一）理由见解析 【分析】由两个角分别对应相等的两个三角形相似，可补充，再证明即可． 【详解】解：补充，理由如下： ∵ ∴． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，掌握“两个角分别对应相等的两个三角形相似”是解本题的关键． 【变式4-2】在①，②，③这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，使命题正确，并证明． 问题：如图，四边形的两条对角线交于点，若 （填序号） 求证：． 【答案】①，证明见解析或②，证明见解析． 【分析】若选择条件①，可利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； 若选择条件②，可利用两角相等的两个三角形相似． 【详解】解：选择条件①的证明为： ∵， ∴， 又∵， ∴； 选择条件②的证明为： ∵， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，能熟记相似三角形的判定定理，并正确识图是解题关键． 【变式4-3】如图，在△ABC和△ACD 中，AD⊥CD于点D，AC⊥BC于点C．请再添加一个条件，使，并加以证明． 【答案】添加条件：AB//CD，证明见解析（答案不唯一） 【分析】要证，通过观察发现两个三角形已经具备一组角相等，即，此时，可添加一组角相等即可． 【详解】添加条件：． 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理及正确找到对应角是解题的关键，此题是开放题，答案不唯一． 一、单选题 1．如图小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了相似三角形的判定以及勾股定理．根据网格中的数据求出钝角等于，钝角的夹边比为，再利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似判断即可． 【详解】解：观察题图，钝角等于，钝角的夹边比为， 选项A、C和D中，钝角都小于，故排除选项A、C和B； 选项B中，钝角等于，钝角的夹边比为， 故选：B． 2．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定，先根据求出，再根据相似三角形的判定方法解答． 【详解】解：∵， ∴， A．添加，不能判定，故本选项符合题意； B．添加，可用两角法判定，故本选项不符合题意； C．添加，可用两角法判定，故本选项不符合题意； D．添加，可用两边及其夹角法判定，故本选项不符合题意； 故选：A． 3．如图，已知与都是等边三角形，点在边上（不与点、重合），与相交于点，那么与相似的三角形是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．根据等边三角形的性质和相似三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：与都是等边三角形， ， 又， ， 与相似的三角形是， 故选：D． 4．下列一定相似的两个图形是（    ） A．有一个角是的等腰三角形 B．有一个角是的三角形 C．等腰三角形 D．有一个角是的等腰三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定．解题的关键是掌握相似三角形的判定定理．本题根据相似三角形的判定定理进行求解即可． 【详解】解：A、的角可能是顶角，也可能是底角，没有交代清楚，不能判定两个图形相似，不符合题意； B、有一个角是的三角形没指明是等腰三角形，不能判定两个图形相似，不符合题意； C、等腰三角形没有交代顶角相等或底边比等于腰的比，不能判定两个图形相似，不符合题意； D、有一个角是的等腰三角形可根据两角对应相等可判定两个图形相似，符合题意． 故选D． 5．下列各条件中，能判断的是（　　） A．， B． ， C．， D．，，， 【答案】C 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，解答的关键是熟记相似三角形的判定条件：两角对应相等的两个三角形相似：两组对应边成比例且其夹角相等的两个三角形相似；根据相似三角形的判定条件对各选项进行分析即可． 【详解】A、，，只有一角一边，不能判断两个三角形相似，故A不符合题意； B、 ，，不是与的夹角，不能判断两个三角形相似，故B不符合题意； C、由可得，再由得，利用两组对应边成比例且其夹角相等的两个三角形相似，可判断，故C符合题意； D、由，得，则得，故D不符合题意； 故选：C． 6．下列说法正确的是（　　） A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是正方形 C．两条边对应成比例且有一个内角相等的两个三角形相似 D．对角线相等的四边形是矩形 【答案】A 【分析】本题考查矩形、菱形、相似三角形的判定定理，根据菱形的判定定理、相似三角形的判定定理、矩形的判定定理依次对选项进行判断即可．掌握各判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故此选项符合题意； B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故此选项不符合题意； C、两条边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故此选项不符合题意； D、对角线相等且平分的四边形是矩形，故此选项不符合题意； 故选：A． 7．如图，D是边上一点，能使的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定方法是解题的关键．根据相似三角形的判定方法“两边对应成比例，其两边夹角相等，两三角形相似”逐一判断即可． 【详解】解：由题意得， 当时，不能证明，故A选项不符合题意； 当时，不能证明，故B选项不符合题意； 当时，则，能证明，故C选项符合题意； 当，即时，不能证明，故D选项不符合题意； 故选C． 8．如图，为的直径，C为延长线上一点，过点C作的切线，切点为E，作于点D，连结，下列结论正确的是（    ） A．B是中点 B． C． D．平分 【答案】D 【分析】证明是等腰三角形，可判断A；运用反证法可证明可判断B；无法证明和相似，故可判断C；证明即可判断D． 【详解】解：连接如图， ∴ ∴ ∵， ∴是等腰三角形， ，不一定等于， ∴不一定成立，即点不一定是中点，故选项A错误，不符合题意； 假设，则有 ∵ ∴， ∴ ∵ ∴，即 ∴ 而 ∴，故选项B错误，不符合题意； 在和中， 是直角三角形，是钝角三角形， 故和不相似，则， ∴，故选项C错误，不符合题意； ∵， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴， ∴平分，故选项D正确， 故选：D． 【点睛】本题主要考查切线的性质，直角三角形的性质，平行线的判定与性质相似三角形的判定定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 9．如图，，添加一个条件：① ；② ；③；④．其中能判定 的是（   ）．    A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理“两角分别对应相等，两三角形相似；两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”， 先根据，得出，再由相似三角形的判定定理对各项逐一判断即可． 【详解】解：，， ①添加，则，本项符合题意； ②添加，则，本项符合题意； ③添加；无法判断，本项不合题意； ④添加；则，本项符合题意； 故选：B． 二、填空题 10．如图，中，D、E分别是、的点，要使，需添加一个条件是 ．（只要写一个条件） 【答案】或或 【分析】 由是公共角，根据相似三角形的判定方法，即可得要使，可添加：或或等． 此题考查了相似三角形的判定．此题属于开放题，答案不唯一．注意掌握两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似与有两组角对应相等的两个三角形相似是解此题的关键． 【详解】 解：是公共角， 要使，可添加：或或等． 故答案为：如或或等（此题答案不唯一）． 11．如图，直线，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F，若，，则DF的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，正确理解平行线分线段成比例定理是解答本题的关键．由得，再根据平行线分线段成比例定理，得到，得到方程并求解，即得答案． 【详解】， ， ， ， ， 解得． 故答案为：． 12．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，，，，为小正方形的顶点，则图中所形成的三角形中，相似的三角形是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理和相似三角形的判定，可利用正方形的边把对应的线段表示出来，利用两边比值以及夹角相等的两个三角形相似即可证明． 【详解】解：， 由题意可知：，， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 13．如图，在正方形中，E是边的中点，要依据“两边成比例且夹角相等”判定，还需添加的一个条件是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理和正方形的性质。 由于与都是直角三角形，根据如果两个三角形有两组对应边的比相等，并且它们的夹角也相等，则当时能得到，即可得到． 【详解】∵四边形是正方形， ∴， ∴与都是直角三角形， ∴当时能得到， ∵E是的中点， ∴， ∵在正方形中，， ∴，即， ∴，即． 故答案为： 三、解答题 14．如图，在中，是角平分线，点E是边上一点，且满足．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，角平分线的定义，由角平分线的定义得出，根据相似三角形的判定方法可得出结论． 【详解】证明：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴． 15．已知是中的角平分线，是上的一点，且，，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定、三角形的外角性质，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，两角对应相等的两个三角形相似． （1）根据两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，可得答案； （2）根据两个角对应相等的两个三角形相似，可得答案． 【详解】（1）证明：是中的角平分线， ． ， ， ； （2）证明：， ． ， ， ，又， ． 16．如图，，且，若，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明是解此题的关键． （1）由得出，由相似三角形的性质可得，设的长为，则，代入计算即可得出答案； （2）由相似三角形的性质可得，即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， ． 设的长为． ，， ， ， ， ； （2）解：， ． 17．在矩形中，E为边上一点，把沿翻折，使点D恰好落在边上的点F． (1)求证： ； (2)若，，求的长； 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据同角的余角相等判断出，即可得出结论； （2）由折叠知，，根据勾股定理求出，进而得出，设，则，最后根据勾股定理即可得出答案． 【详解】（1）∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠知，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）∵四边形是矩形， ∴，，， 由折叠知，， 在中，， 根据勾股定理得，， ∴， 设，则， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∴， ∴， 即的长为； 【点睛】此题考查了矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定方法和勾股定理是解本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$