27.1 图形的相似（知识解读+达标检测）-2024-2025学年九年级数学下册《知识解读•题型专练》（人教版）

27.1 图形的相似 【考点1 比例性质】 【考点2 比例线段】 【考点3 成比例线段】 【考点4 黄金分割比】 【考点5 由平行线判断成比例的线段】 【考点6 由平行截线求相关相关线段的长或比值】 【考点7 相似图形】 【考点8相似多边形的性质】 知识点1 比例线段 1．线段的比： 如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n ，或写成． 2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 3．比例的基本性质： （1）若a:b=c:d ，则ad=bc； （2）若a:b=b:c ，则 =ac（b称为a、c的比例中项）． 【考点1 比例性质】 【典例1】若，则 ． 【变式1-1】．若，则的值是（    ） A． B． C．12 D． 【变式1-2】已知，则的值为（    ） A． B． C． D．19 【变式1-3】已知，则（    ） A． B． C． D． 【考点2 比例线段】 【典例2】已知线段a，b满足，且． (1)求a，b的值； (2)若线段x是线段a，b的比例中项，求x的值． 【变式2-1】小红的爸爸是汽车制造厂的工程师．他要将一个长毫米、宽毫米的零件画在一张纸（）上，适合的比例尺是（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】线段的比例中项为 ． 【变式2-3】点在线段上，若  ，则 ． 【考点3 成比例线段】 【典例3】下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A．1、2、3、4 B．2、3、4、5 C．3、4、6、9 D．2、3、4、6 【变式3-1】下面四组线段中不能成比例线段的是（   ） A．3、6、2、4 B．4、6、5、10 C．1、2、3、6 D．25、20、4、5 【变式3-2】下列四组线段中，是成比例线段的一组是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】下列四组长度的线段中，是成比例线段的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 知识点2 黄金分割比 1.黄金分割的定义： 点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比. 注意：≈0.618AB(叫做黄金分割值). 2.作一条线段的黄金分割点： 如图，已知线段AB，按照如下方法作图： （1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB. （2）连接AD，在DA上截取DE=DB. （3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点. 注意：一条线段的黄金分割点有两个. 【考点4 黄金分割比】 【典例4】射影中有一种拍摄手法叫黄金分割构图法，其原理是：如图，将正方形的边取中点，以为圆心，线段为半径作圆，其与边的延长线交于点，这样就把正方形延伸为黄金矩形，若，则 ． 【变式4-1】如图，点P是线段的黄金分割点，且，若，则的长度是（    ） A． B． C． D．1 【变式4-2】宽与长的比是黄金分割数 的矩形叫做黄金矩形，古希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计．如图，已知四边形是黄金矩形，若长 则该矩形的面积为 ．(结果保留根号) 【变式4-3】如图，在中，，，以为圆心，为半径，两弧交于点，此时，点为线段的黄金分割点，若，则的长为 ． 知识点3 平行线分线段成比例 类型1 平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等. 几何语言： 图一 拓展： 1） .如果一组等距的平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等； 2） .经过三角形一边中点且平行于另一边的直线平分第三边； 图二 3）经过梯形一腰中点并平行于底边的直线必过另一腰中点并等于两底和的一半。 图三 类型2 平行线分线段成比例定理 （1）定理1：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,截得的对应线段成比例. 图四 图五 （2）定理2：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应线段成比例 知识点4 相似三角形的相关概念 在和中，如果 我们就说与相似，记作 ∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”. 注意： (1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′； (2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等. 【考点5 由平行线判断成比例的线段】 【典例5】在中，点分别在边、上，下列比例式中能判定的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，已知直线，下列结论中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，已知，那么下列结论成立的是（　　） A． B． C． D． 【考点6 由平行截线求相关相关线段的长或比值】 【典例6】如图，中，，于点，在上，，交于点，．若，求的长． 【变式6-1】已知直线，被直线a，b，c所截，截得线段的长度如图所示.若，则x的值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，是的中线，点E在上，交于点F，若，则为（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】如图：直线，若，，，则的长是（    ）    A．4 B．5 C．6 D．8 知识点5 相似图形 在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 注意： 　 (1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两 个图形是全等； 知识点6 相似多边形 1.相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形． 注意：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2） 相似多边形对应边的比称为相似比． 2.相似多边形的性质 ① 相似三角形对应高的比、对应 角平分线 的比和对应中线的比都等于 相似比。 ② 相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方（或相似比等于面积比的 算术平方根）。 ③相似多边形的 对应角 相等，对应边的比相等。 【考点7 相似图形】 【典例7】下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（    ）    A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁 【变式7-1】下列图标中，不是相似图形的是（    ） A．B． C．D． 【变式7-2】下面几对图形中，相似的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】下列说法正确的是（    ） A．等边三角形都是相似三角形 B．矩形都是相似图形 C．各边对应成比例的多边形是相似多边形 D．边长相等的菱形都相似 【考点8 相似多边形的性质】 【典例8】如图，在矩形中，，，点E，F分别在，上，且，矩形与矩形相似，则矩形的面积为（    ） A．16 B． C． D． 【变式8-1】若两个相似多边形的面积之比为，则它们的相似比为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】如图，有两个形状相同、大小不等的“中国梦”图片，依据图中标注的数据，可得x的值为（    ） A．15 B．12 C．10 D．8 【变式8-3】如图，在边长为1的正方形构成的网格中，四边形和四边形的相似比是（    ）    A． B． C． D． 1．若线段a，b，c，d是成比例线段，且，，，则（ ） A． B．8 C．2 D．3 2．若，，则的值是（    ） A．2 B． C．3 D． 3．已知，，，，下列各式中，一定正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 5．下列说法中，错误的是（   ） A．全等图形一定是相似图形 B．两面大小不等的标准国旗一定相似 C．两个等腰直角三角形一定相似 D．两个直角三角形一定相似 6．如图，C为线段的黄金分割点，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 7．如图，已知，，，那么的长等于（    ）    A． B． C． D． 8．若线段，，则线段，的比例中项为（    ） A． B． C．6 D． 9．如图，是的中线，点E在上，交于点F，若，则为（   ） A． B． C． D． 10．若，则的值为 ． 11．如图，四边形四边形，则的大小是 ． 12．若两个相似图形的周长比为，则它们的面积比为 ． 13．数学中，把这个比例称为黄金分割比例．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是的黄金分割点（），若线段的长为，则的长为 cm． 14．如图，点是矩形的对角线的中点，交于点，若，则的长为 ． 15．若，则的值是 ． 16．如图，取一张长为a，宽为b的矩形纸片，将它对折两次后得到一张小矩形纸片，若要使小矩形纸片与原矩形纸片相似，则 ． 17．如图，若直线，它们依次交直线于点和点． (1)如果，求的长； (2)如果，求的长． 18．阅读材料： 角平分线分线段成比例定理：如图1，在中，平分，则． 下面是这个定理的部分证明过程： 证明：如图2，过点C作，交的延长线于点E．…… 解决问题： (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余过程； (2)如图3，在中，是角平分线，，，，求的长． 19．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即将整体一分为二，较小部分与较大部分之比等于较大部分与整体之比．如图，是线段上一点，若，且满足，则称是线段的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长米，主持人从舞台侧进入，他至少走多少米，恰好站在舞台的黄金分割点上？ 20．【背景知识】 宽与长的比等于的矩形称为黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界上很多著名建筑，为了取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊帕特农神庙等． （1）经测量帕特农神庙的长约为30米，求它的宽度是多少米?（结果保留根号） 【实验操作】 折一个黄金矩形 第一步：在矩形纸片的一端利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：如图2，将正方形折成两个相等的矩形，再将其展平； 第三步：折出内侧矩形的对角线，并将折到图3所示的处； 第四步：展平纸片，按照所得的点D折出，得到矩形（如图4）．          【问题思考】 （2）若的长为2，请证明：矩形是黄金矩形； （3）在（2）的条件下，以图3中的折痕为边，构造黄金矩形，直接写出这个矩形的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 27.1 图形的相似 【考点1 比例性质】 【考点2 比例线段】 【考点3 成比例线段】 【考点4 黄金分割比】 【考点5 由平行线判断成比例的线段】 【考点6 由平行截线求相关相关线段的长或比值】 【考点7 相似图形】 【考点8相似多边形的性质】 知识点1 比例线段 1．线段的比： 如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n ，或写成． 2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 3．比例的基本性质： （1）若a:b=c:d ，则ad=bc； （2）若a:b=b:c ，则 =ac（b称为a、c的比例中项）． 【考点1 比例性质】 【典例1】若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了比例的性质，设，代入代数式进行计算，即可解答． 【详解】解：设 ∴，，， ∴ 故答案为：． 【变式1-1】．若，则的值是（    ） A． B． C．12 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了比例的性质，直接根据比例的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 【变式1-2】已知，则的值为（    ） A． B． C． D．19 【答案】A 【分析】本题考查了比例的性质：常用的性质有内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质．根据比例的性质，由，得，则设，得到，，然后把，，代入中进行分式的运算即可． 【详解】解：∵， ∴， 设，得到，， ∴， 故选：A． 【变式1-3】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握等比性质是解题的关键．利用等比性质，进行计算即可解答． 【详解】解： ， ， ， 故选：A． 【考点2 比例线段】 【典例2】已知线段a，b满足，且． (1)求a，b的值； (2)若线段x是线段a，b的比例中项，求x的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据可得，再代入计算即可得； （2）根据比例中项的定义求解即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 【变式2-1】小红的爸爸是汽车制造厂的工程师．他要将一个长毫米、宽毫米的零件画在一张纸（）上，适合的比例尺是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了比例尺的计算方法，图上距离和实际距离已知，依据“比例尺=图上距离:实际距离”即可求得适合的比例尺.，解题的关键要掌握比例尺的计算方法． 【详解】解：∵零件的实际长度为，零件的图上长度为，即， ∴适合的比例尺， 故选：． 【变式2-2】线段的比例中项为 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例中项的定义，根据比例中项的定义列出方程，解方程即可求解，理解比例中项的定义是解题的关键． 【详解】解：设它们的比例中项是， 则， ∴, ∵线段的长度是正数， ∴， ∴比例中项为， 故答案为：． 【变式2-3】点在线段上，若  ，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的比；根据题意，设，根据题意可得，进而即可求解． 【详解】解：∵ 设 ∴ ∴ 故答案为：． 【考点3 成比例线段】 【典例3】下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A．1、2、3、4 B．2、3、4、5 C．3、4、6、9 D．2、3、4、6 【答案】D 【分析】本题考查比例线段，理解比例线段的概念，注意在线段相乘时，要让最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等进行判断． 根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【详解】解：A、，故此选项中四条线段不成比例，故本选项不符合题意； B、，故此选项中四条线段不成比例，故本选项不符合题意； 、，故此选项中四条线段不成比例，故本选项不符合题意； 、，故此选项中四条线段成比例，故本选项符合题意， 故选：D． 【变式3-1】下面四组线段中不能成比例线段的是（   ） A．3、6、2、4 B．4、6、5、10 C．1、2、3、6 D．25、20、4、5 【答案】B 【分析】本题考查了成立比例的线段，在四条线段中，如果其中的两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．根据两内项之积等于两外项之积逐项分析即可． 【详解】解：A、，能成比例，不符合题意； B、，不能成比例，符合题意； C、，能成比例，不符合题意； D、，能成比例，不符合题意； 故选：B． 【变式3-2】下列四组线段中，是成比例线段的一组是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断． 根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【详解】解：A、， ， 四条线段不成比例，故本选项不符合题意； B、， ， 四条线段成比例，故本选项符合题意； C、， ， 四条线段不成比例，故本选项不符合题意； D、， ， 四条线段不成比例，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式3-3】下列四组长度的线段中，是成比例线段的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】C 【分析】此题考查了比例线段，理解成比例线段的定义是解题的关键．如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，则四条线段叫成比例线段．根据比例性质对选项一一分析，排除错误答案即可． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项符合题意； D、，故选项不符合题意． 故选：C． 知识点2 黄金分割比 1.黄金分割的定义： 点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比. 注意：≈0.618AB(叫做黄金分割值). 2.作一条线段的黄金分割点： 如图，已知线段AB，按照如下方法作图： （1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB. （2）连接AD，在DA上截取DE=DB. （3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点. 注意：一条线段的黄金分割点有两个. 【考点4 黄金分割比】 【典例4】射影中有一种拍摄手法叫黄金分割构图法，其原理是：如图，将正方形的边取中点，以为圆心，线段为半径作圆，其与边的延长线交于点，这样就把正方形延伸为黄金矩形，若，则 ． 【答案】/ 【分析】 本题考查了黄金分割，矩形的性质，正方形的性质，设，根据正方形的性质可得，则，然后根据黄金矩形的定义可得，从而可得，最后进行计算即可解答，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键. 【详解】解：设， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是黄金矩形， ∴， ∴， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴， 故答案为：． 【变式4-1】如图，点P是线段的黄金分割点，且，若，则的长度是（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查黄金分割，根据黄金分割的定义可得，由此可解． 【详解】解：点P是线段的黄金分割点，且， ，即， ， 故选A． 【变式4-2】宽与长的比是黄金分割数 的矩形叫做黄金矩形，古希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计．如图，已知四边形是黄金矩形，若长 则该矩形的面积为 ．(结果保留根号) 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，解题的关键是掌握黄金矩形的定义．根据黄金矩形的定义，长 ，求出宽，再求出面积即可． 【详解】解：∵四边形是黄金矩形， ∴， ∵长， ∴宽， ∴矩形的面积为． 故答案为：． 【变式4-3】如图，在中，，，以为圆心，为半径，两弧交于点，此时，点为线段的黄金分割点，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是黄金分割的概念，本题中经分析，因为点为线段的黄金分割点，所以把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项，即 ，把代入计算，即可作答． 【详解】解：，，以为圆心，为半径，两弧交于点， ∵点为线段的黄金分割点， ∴是和的比例中项， ， ∵ ∴ 故答案为： 知识点3 平行线分线段成比例 类型1 平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等. 几何语言： 图一 拓展： 1） .如果一组等距的平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等； 2） .经过三角形一边中点且平行于另一边的直线平分第三边； 图二 3）经过梯形一腰中点并平行于底边的直线必过另一腰中点并等于两底和的一半。 图三 类型2 平行线分线段成比例定理 （1）定理1：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,截得的对应线段成比例. 图四 图五 （2）定理2：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应线段成比例 知识点4 相似三角形的相关概念 在和中，如果 我们就说与相似，记作 ∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”. 注意： (1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′； (2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等. 【考点5 由平行线判断成比例的线段】 【典例5】在中，点分别在边、上，下列比例式中能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理逐项判断即可． 【详解】解：如图： A、当时，不能判定，故不符合题意； B、当时，能判定，故符合题意； C、当时，不能判定，故不符合题意； D、当时，不能判定，故不符合题意； 故选：B． 【变式5-1】如图，已知直线，下列结论中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，熟练掌握两直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例是解题的关键．根据平行线分线段成比例即可进行解答． 【详解】解： ， ，， ， 选项A、B、C正确，不符合题意， 故选：D． 【变式5-2】如图，已知，那么下列结论成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题关键．根据平行线分线段成比例即可解答． 【详解】解：， ， 故A，C，D不正确， 故选：B． 【考点6 由平行截线求相关相关线段的长或比值】 【典例6】如图，中，，于点，在上，，交于点，．若，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了三线合一定理，平行线分线段成比例定理，先由三线合一定理得到，再由平行线分线段成比例定理得到，，同理得到，则，则，据此可得答案． 【详解】解：，， ， 又， ， ， ，， ， ， ，即． 解得，． 【变式6-1】已知直线，被直线a，b，c所截，截得线段的长度如图所示.若，则x的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理：由平行截线求相关线段的长或比值，先根据，得出，再计算即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 故选：C 【变式6-2】如图，是的中线，点E在上，交于点F，若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作，交于点，根据平行线分线段成比例可得点是的中点，从而可得，然后再利用平行线分线段成比例可得，从而可得，即可解答． 【详解】解：过点作，交于点， ，点是的中点， ， ， 点是的中点， ， ， ， ， ， 故选：A 【变式6-3】如图：直线，若，，，则的长是（    ）    A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】此题考查了平行线分线段成比例：一组平行线截两条直线，所截对应线段成比例．根据，得到，代入数值求出，即可求出的长． 【详解】解：∵， ∴，而，，， ∴， 解得， ∴， 故选：C． 知识点5 相似图形 在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 注意： 　 (1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两 个图形是全等； 知识点6 相似多边形 1.相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形． 注意：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2） 相似多边形对应边的比称为相似比． 2.相似多边形的性质 ① 相似三角形对应高的比、对应 角平分线 的比和对应中线的比都等于 相似比。 ② 相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方（或相似比等于面积比的 算术平方根）。 ③相似多边形的 对应角 相等，对应边的比相等。 【考点7 相似图形】 【典例7】下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（    ）    A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁 【答案】D 【分析】本题考查相似图形，根据对应角相等，对应边对应成比例的图形是相似图形结合正方形的性质，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，只有选项甲和丁中的对应角相等，且对应边对应成比例，它们的形状相同，大小不同，是相似形． 故选D． 【变式7-1】下列图标中，不是相似图形的是（    ） A．B． C．D． 【答案】C 【分析】本题考查相似图形，解题的关键是理解相似图形的定义．根据相似图形的定义判断即可． 【详解】解：选项A，B，D是相似图形，选项C不是相似图形． 故选：C． 【变式7-2】下面几对图形中，相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似图形的形状相同，进行判断即可． 【详解】解：A，B，D三个选项中的图形形状不同，不相似，C选项中的两个图形形状相同，相似； 故选：C． 【变式7-3】下列说法正确的是（    ） A．等边三角形都是相似三角形 B．矩形都是相似图形 C．各边对应成比例的多边形是相似多边形 D．边长相等的菱形都相似 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似图形的判定，掌握相似多边形的各边对应成比例、各角对应相等是解题的关键． 根据各边对应成比例、各角对应相等的多边形是相似多边形逐项判断即可解答． 【详解】解：A、等边三角形的三边对应成比例，等边三角形都是相似三角形，故符合题意； B、矩形的长和宽不一定对应成比例，矩形不一定都相似，故不符合题意； C、多边形各边对应成比例，但多边形的各角不一定对应相等，各边对应成比例的多边形不一定是相似多边形，故不符合题意； D、菱形的各角不一定对应相等，边长相等的菱形不一定都相似，故不符合题意． 故选：． 【考点8 相似多边形的性质】 【典例8】如图，在矩形中，，，点E，F分别在，上，且，矩形与矩形相似，则矩形的面积为（    ） A．16 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查相似图形的性质，相似图形的对应边成比例，面积比等于相似比的平方．证明，从而可得答案． 【详解】解：∵矩形矩形，，， ∴，， ∴， 故选：C． 【变式8-1】若两个相似多边形的面积之比为，则它们的相似比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多边形相似的性质．熟练掌握两个相似多边形的面积之比等于相似比的平方是解题的关键． 根据两个相似多边形的面积之比等于相似比的平方求解作答即可． 【详解】解：由题意知，若两个相似多边形的面积之比为，则它们的相似比为， 故选：A． 【变式8-2】如图，有两个形状相同、大小不等的“中国梦”图片，依据图中标注的数据，可得x的值为（    ） A．15 B．12 C．10 D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似图形的性质，相似图形的对应线段的比相等．利用相似多边形的对应边的比相等，对应角相等分析． 【详解】解：这两个图形两个形状相同， 即两个图形相似， 则对应线段的比相等， 因而， ． 的值是． 故选：D 【变式8-3】如图，在边长为1的正方形构成的网格中，四边形和四边形的相似比是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质与判定，利用勾股定理求出两个四边形对应边的边长，可得，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，，，，，，，，， ∴， ∴四边形和四边形的相似比是， 故选；C． 1．若线段a，b，c，d是成比例线段，且，，，则（ ） A． B．8 C．2 D．3 【答案】B 【分析】此题考查了比例线段，掌握比例线段的性质是本题的关键．根据四条线段成比例，列出比例式，再把，，代入计算即可． 【详解】解：线段a，b，c，d是成比例线段， ， ，，， ， ， 故选：． 2．若，，则的值是（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例的性质．根据比例的性质，可用表示，，根据分式的性质，可得答案． 【详解】解：由，，得 ，． ， 故选：B． 3．已知，，，，下列各式中，一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质，最小项与最大项的积等于其余两项的积，根据题意要求，将个数化为一个等积式，再化为比例式即可，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， 故选：． 4．如图，，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线等分线段定理，由可得，代入已知条件计算即可求解，掌握平行线等分线段定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即， 解得， 故选：． 5．下列说法中，错误的是（   ） A．全等图形一定是相似图形 B．两面大小不等的标准国旗一定相似 C．两个等腰直角三角形一定相似 D．两个直角三角形一定相似 【答案】D 【分析】本题考查的是相似图形的定义，“相似图形的形状相同，但大小不一定相同”．根据相似图形的定义，结合选项中提到的图形，对选项一一分析，选出正确答案． 【详解】解：A、全等图形一定是相似图形，故本选项不符合题意； B、两面大小不等的标准国旗一定相似，故本选项不符合题意； C、等腰直角三角形形状相同，只是大小不同，一定相似，故本选项不符合题意； D、两个直角三角形的锐角不一定相等，则两个直角三角形不一定相似，故本选项符合题意； 故选：D． 6．如图，C为线段的黄金分割点，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了黄金分割的定义，先根据黄金分割的定义得出，即可解答． 【详解】解：∵点C为线段的黄金分割点，，， ∴， ∴， 故选：A． 7．如图，已知，，，那么的长等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线分得的线段成比例的相关知识，熟练掌握这个定理是解答本题的关键． 由平行关系得到线段对应成比例，再根据比例关系求出的长． 【详解】∵ ∴，即， ∴， ∴． 故选B． 8．若线段，，则线段，的比例中项为（    ） A． B． C．6 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查比例线段的定义，根据成比例线段的定义解得即可． 【详解】设线段，的比例中项为， 则， 解得： 又因为为线段， 所以． 故选：C． 9．如图，是的中线，点E在上，交于点F，若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作，交于点，根据平行线分线段成比例可得点是的中点，从而可得，然后再利用平行线分线段成比例可得，从而可得，即可解答． 【详解】解：过点作，交于点， ，点是的中点， ， ， 点是的中点， ， ， ， ， ， 故选：A 10．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，由题意得出，代入计算即可得出答案，熟练掌握比例的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 11．如图，四边形四边形，则的大小是 ． 【答案】/95度 【分析】此题主要考查了全等图形．利用全等图形的定义可得，然后再利用四边形内角和为可得答案． 【详解】解：四边形四边形， ， ， 故答案为：． 12．若两个相似图形的周长比为，则它们的面积比为 ． 【答案】 【分析】此题考查了相似图形的性质，由两个相似图形，其周长之比为，根据相似图形的周长的比等于相似比，即可求得其相似比，又由相似图形的面积的比等于相似比的平方，即可求得答案，注意熟记定理是关键． 【详解】解：∵两个相似图形的周长比为， ∴其相似比为， ∴其面积比为， 故答案为：． 13．数学中，把这个比例称为黄金分割比例．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是的黄金分割点（），若线段的长为，则的长为 cm． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割．根据黄金分割的定义进行计算即可解答． 【详解】解：点是的黄金分割点，线段的长为， ， ， 故答案为：． 14．如图，点是矩形的对角线的中点，交于点，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理．先求出，后求，然后用勾股定理求即可． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， ， 为的中点， ， 是的中点， 是的中位线， ， ， ， ， ， ， 为的中点， ． 故答案为：． 15．若，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了比例的性质，根据已知得到，代入分式化简即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴ 故答案为： 16．如图，取一张长为a，宽为b的矩形纸片，将它对折两次后得到一张小矩形纸片，若要使小矩形纸片与原矩形纸片相似，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质和相似多边形的性质，能根据相似得出比例式是解此题的关键．根据相似四边形的性质得出比例式，再求出答案即可． 【详解】解：对折两次后得到的小矩形纸片的长为b，宽为， ∵小矩形纸片与原矩形纸片相似， ∴=， 又∵， ，即． 故答案为： 17．如图，若直线，它们依次交直线于点和点． (1)如果，求的长； (2)如果，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理； （1）由平行线分线段成比例定理得到：：，代入有关数据，即可； （2）由平行线分线段成比例定理推出：：：，得到：：，即可求出长，得到的长． 【详解】（1）解： ， ：：， ，，， ：：， ； （2）∵， ：：， ：：， ：：， ， ， ． 18．阅读材料： 角平分线分线段成比例定理：如图1，在中，平分，则． 下面是这个定理的部分证明过程： 证明：如图2，过点C作，交的延长线于点E．…… 解决问题： (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余过程； (2)如图3，在中，是角平分线，，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，角平分线的定义，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解决问题的关键． （1）过点作，交的延长线于点，由，可求证，，，可得，即可求解； （2）根据（1）中的结论即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，，． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵是角平分线， ∴． ∵，，， ∴，解得，经检验符合题意． 故的长为． 19．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即将整体一分为二，较小部分与较大部分之比等于较大部分与整体之比．如图，是线段上一点，若，且满足，则称是线段的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长米，主持人从舞台侧进入，他至少走多少米，恰好站在舞台的黄金分割点上？ 【答案】米 【分析】本题考查了黄金分割，分式方程的应用，设米，则米，把数据代入，得到关于的分式方程，解方程即可求解，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解题的关键． 【详解】解：设米，则米， ∵， ∴， 整理得，， 解得，， 经检验，，为分式方程的解， ∵， ∴， 答：他至少走米，恰好站在舞台的黄金分割点上． 20．【背景知识】 宽与长的比等于的矩形称为黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界上很多著名建筑，为了取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊帕特农神庙等． （1）经测量帕特农神庙的长约为30米，求它的宽度是多少米?（结果保留根号） 【实验操作】 折一个黄金矩形 第一步：在矩形纸片的一端利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：如图2，将正方形折成两个相等的矩形，再将其展平； 第三步：折出内侧矩形的对角线，并将折到图3所示的处； 第四步：展平纸片，按照所得的点D折出，得到矩形（如图4）．          【问题思考】 （2）若的长为2，请证明：矩形是黄金矩形； （3）在（2）的条件下，以图3中的折痕为边，构造黄金矩形，直接写出这个矩形的面积． 【答案】（1）（米）；（2）见详解；（3）或． 【分析】（1）由题意得帕特农神庙宽的与长的比等于，已知长为30，则可以求出宽． （2）若的长为2，由折纸的过程可知，，．求得，则，则可得，进而可求得，即可得证． （3）分为黄金矩形的长和黄金矩形的宽，两种情况，进行讨论求解即可． 本题考查黄金分割，掌握黄金矩形的定义，是解题的关键． 【详解】（1）由题意得帕特农神庙宽与长的比等于， ∴它的宽为： （米）． （2）证明：， 由题意得，，， ， ， ， ， ∴矩形是黄金矩形． （3）由折叠的性质可得， 又， ， ∴ ， 又， ， ． 当 为黄金矩形的长时，则宽为， 则面积为． 当 为黄金矩形的宽时，则长为， 则面积为． 综上，矩形的面积为：或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$