第三章第02讲 坐标与轴对称（2考点+6题型+过关检测）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（北师大版）

第02讲 坐标与轴对称 课程标准 学习目标 ①探索图形坐标变化的过程 ②掌握坐标与轴对称之间的关系 1．探索图形坐标变化的过程； 2．了解掌握图形坐标变化与图形轴对称之间的关系； 知识点01 坐标系中点关于x轴,y轴对称 （1）点关于x轴的对称点是，即横坐标不变，纵坐标互为相反数． （2）点关于y轴的对称点是，即纵坐标不变，横坐标互为相反数． 总结：点关于哪条坐标轴对称则哪个坐标不变，另外一个坐标变为原来的相反数． 【即学即练1】 1．（2024七年级下·北京·专题练习）在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（　　） A． B． C． D． 2．（2024·浙江·三模）在平面直角坐标系中，点与点关于y轴对称，则m的值为（    ） A． B． C．2 D．4 3．（23-24八年级下·黑龙江佳木斯·期中）如图，在直角坐标系中，的位置如图所示，请回答下列问题： (1)请直接写出，，三点的坐标； (2)画出关于轴对称的； (3)在轴上找到一点，使的周长最小，直接写出这个周长的最小值． 知识点02 坐标系中点的关于某点或某直线对称 （1）点关于坐标原点的对称点是，即横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数． （2）点关于点的对称点是． （3）点关于的对称点是． （4）点关于的对称点是． （5）点关于一三象限的平分线的对称点为． （6）点关于二四象限的平分线的对称点为． 【即学即练2】 1．（2024·山西长治·模拟预测）如果点和点关于直线对称，则的值是（    ） A． B． C． D．5 2．（23-24九年级上·河北沧州·期末）如果点和点关于直线对称，则的值是（    ） A． B． C． D． 题型01 关于x轴、y轴对称的点的坐标 【典例1】（22-23八年级下·浙江金华·开学考试）点关于x轴对称的点的坐标为 ． 【变式1】（23-24七年级下·上海·阶段练习）平面直角坐标系中，与点关于y轴对称的点的坐标为 ． 【变式2】（23-24八年级上·全国·单元测试）点，，若，关于轴对称，则 ， ；若，关于轴对称，则 ， ． 【变式3】（23-24八年级上·四川达州·期末）若点在轴上，则点关于轴对称的点为 ． 题型02 利用x轴、y轴对称的点的坐标求参数 【典例2】（23-24八年级下·福建泉州·期中）点的坐标是，且点关于轴对称的点的坐标是，则 ， ． 【变式1】（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知点，点关于x轴对称，则的值是 【变式2】（2024·湖南娄底·模拟预测）在平面直角坐标系中，若点与点关于y轴对称，则 ． 【变式3】（23-24八年级下·河北沧州·期末）已知点和关于y轴对称，则的值为 ． 题型03 求点关于某直线的对称点 【典例3】（2024·江苏常州·二模）点关于直线对称的点的坐标是 ． 【变式1】（24-25八年级上·全国·课后作业）点关于直线对称的点的坐标为 ． 【变式2】（23-24九年级下·四川成都·开学考试）已知点和点B是坐标平面内的两个点，它们关于直线对称 ． 【变式3】（23-24八年级上·全国·单元测试）点关于第一象限角平分线的对称点的坐标为 ． 题型04 作图——轴对称变换 【典例4】（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点上． (1)画出与关于y轴对称的图形，点A、B、C的对应点分别为； (2)求（1）中得到的的面积． 【变式1】（22-23八年级上·河南信阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，． (1)在图中作出关于y轴对称的； (2)写出的坐标； (3)求的面积． 【变式2】（23-24八年级下·辽宁盘锦·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都边长为1的正方形网格的格点上． (1)写出A，B，C的坐标_______； (2)画出关于x轴对称的； (3)的面积为_______． 【变式3】（23-24八年级上·河南许昌·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)作出关于y轴对称的，并写出各顶点的坐标； (2)将向右平移6个单位，作出平移后的； (3)观察和，它们是否关于某条直线对称？若是，请画出这条对称轴． 题型05 利用轴对称求平面直角坐标系中线段和最小值问题 【典例5】（23-24八年级上·江西吉安·期末）在平面直角坐标系中，的顶点坐标． (1)在图中作出关于轴对称的图形； (2)在轴上找一点，使最短，在图中标出点的位置并写出点坐标． 【变式1】（23-24八年级下·云南昭通·期末）如图，在平面直角坐标系中，，是直线上的两点，点P是x轴上的一个动点，则的最小值为 ． 【变式2】（23-24八年级上·广东深圳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中作出关于x轴的对称图形； (2)请直接写出点C关于y轴的对称点的坐标： ； (3)在y轴上找一点P，使得周长最小，并求出P点坐标．（保留作图痕迹） 【变式3】（23-24九年级下·浙江台州·开学考试）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）． (1)在图中作出关于直线的对称图形； (2)在上找一点P，使得的距离最短，在图中作出P点的位置；（保留作图痕迹） (3)若点B坐标为，点坐标为，则上一点的对应点坐标表示为 　　． 题型06 轴对称的几何变换综合题 【典例6】（23-24七年级下·全国·假期作业）如图①，已知正方形的边长为6，，点为正方形边上的动点，动点从点出发，沿着运动到点时停止，设点经过的路程为，的面积为． (1)如图②，当时，______________； (2)如图③，当点在边上运动时，______________； (3)当时，的值为______________； (4)当点在边上运动时，是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【变式1】（23-24八年级下·湖南永州·期中）阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】平面内两点，则由勾股定理可得，这两点间的距离．例如．如图1，，则．             【直接应用】 (1)已知 ，求P、Q两点间的距离； (2)如图2，在平面直角坐标系中的两点，P为x轴上任一点，求的最小值； (3)利用上述两点间的距离公式，求代数式 的最小值是多少？ 【变式2】（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图，在中，，点为的中点，连接．点在射线上运动，当点不与点重合时，连接．设． (1)的长为________； (2)当是直角三角形时，求的值； (3)当是轴对称图形时，求的面积； (4)如图，作点关于直线的对称点，连接，当点三点共线时，直接写出的值． 一、单选题 1．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级上·山东烟台·期末）下列判断正确的是（    ） A．点关于轴的对称点坐标为点 B．点关于轴的对称点坐标为点 C．点与点关于轴的对称 D．点与点关于轴的对称 3．（23-24八年级上·四川泸州·期中）已知点与点关于轴对称，则的值为（　　　） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·山东枣庄·期中）如果点和点关于直线（平行于y轴的直线，直线上的每个点的横坐标都是1）对称，则的值是（ ） A． B．1 C． D．5 5．（23-24八年级上·西藏昌都·期末）如图，在的正方形网格中有4个格点A，B，C，D，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称．则原点是（    ）    A．点A B．点B C．点C D．点D 二、填空题 6．（24-25九年级上·湖南株洲·开学考试）若点与点关于轴对称，则点的坐标为 ． 7．（21-22八年级上·全国·单元测试）点关于第一、三象限的角平分线对称的点的坐标为 ． 8．（22-23八年级下·四川成都·期中）已知点关于轴的对称点在第三象限，为整数，则点的坐标为 ． 9．（21-22八年级上·全国·单元测试）一只电子跳蚤从点开始，先以轴为对称轴跳至点，紧接着又以轴为对称轴跳至点，则点坐标为 ． 10．（23-24八年级上·广西柳州·期末）如图，在平面直角坐标系中，，为边上一动点，为边上一动点，点的坐标为．当的周长最小时，点到直线的距离为，则的周长的最小值为 ． 三、解答题 11．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，的顶点坐标分别为，，．将关于轴对称后得到，且点、、的对应点分别为、、． (1)请在图中画出； (2)点C与之间的距离为______． 12．（23-24八年级上·四川达州·期末）如图的平面直角坐标系中：（每个小正方形的边长为单位“1”）． (1)请画出关于x轴对称的图形，其中点A，B，C的对称点分别为点、、． (2)请写出：点A关于y轴对称的点的坐标________；点B关于y轴对称的点的坐标________；点C关于y轴对称的点的坐标________； (3)试计算：的周长． 13．（22-23八年级上·内蒙古呼伦贝尔·开学考试）已知：方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点C的坐标为． (1)请以y轴为对称轴，画出与对称的 (2)直接写出三角形面积为______； (3)x轴上存在一点Q，使与的和最小，请画出Q点位置 14．（23-24八年级上·云南·阶段练习）如图，在直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，请回答下列问题： (1)画出关于x轴的对称图形． (2)直接写出的坐标． (3)点P是y轴上一点且，请求出点P的坐标． 15．（2024八年级下·全国·专题练习）平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点，交y轴于点，a、b满足． (1)求A、B两点的坐标； (2)如图1，D为上一点，连接，过点O作交于E，若，求点D的坐标； (3)如图2，点B、Q关于x轴对称，M为x轴上A点右侧一点，过点M作交直线于点N，是否存在点M，使，若存在，求点M的坐标，若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 坐标与轴对称 课程标准 学习目标 ①探索图形坐标变化的过程 ②掌握坐标与轴对称之间的关系 1．探索图形坐标变化的过程； 2．了解掌握图形坐标变化与图形轴对称之间的关系； 知识点01 坐标系中点关于x轴,y轴对称 （1）点关于x轴的对称点是，即横坐标不变，纵坐标互为相反数． （2）点关于y轴的对称点是，即纵坐标不变，横坐标互为相反数． 总结：点关于哪条坐标轴对称则哪个坐标不变，另外一个坐标变为原来的相反数． 【即学即练1】 1．（2024七年级下·北京·专题练习）在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了直角坐标系点的对称性质，比较简单．平面直角坐标系中任意一点，关于轴的对称点的坐标是，据此即可求得点关于轴对称的点的坐标． 【详解】解：根据轴对称得，点关于轴对称的点的坐标是． 故选：D 2．（2024·浙江·三模）在平面直角坐标系中，点与点关于y轴对称，则m的值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，根据关于y轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数得到，解之即可． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点与点关于y轴对称， ∴， ∴， 故选：D． 3．（23-24八年级下·黑龙江佳木斯·期中）如图，在直角坐标系中，的位置如图所示，请回答下列问题： (1)请直接写出，，三点的坐标； (2)画出关于轴对称的； (3)在轴上找到一点，使的周长最小，直接写出这个周长的最小值． 【答案】(1)，， (2)见解析 (3)图见解析；周长最小为 【分析】本题考查了坐标与图形，作轴对称图形，轴对称的性质，勾股定理求两点之间的距离，掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据平面直角坐标系直接写出点的坐标； （2）根据题意作的各顶点关于轴对称的点，顺次连接即可； （3）连接，利用对称的性质可得，进而根据勾股定理求出和的长，即可求出周长的最小值． 【详解】（1）解：由平面直角坐标系中点的位置可知，、、三点的坐标分别为：，，； （2）解：如图，作的各顶点关于轴对称的点，顺次连接得到，即为所求作三角形； （3）解：连接，则， ，， ， 即的周长最小值为． 知识点02 坐标系中点的关于某点或某直线对称 （1）点关于坐标原点的对称点是，即横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数． （2）点关于点的对称点是． （3）点关于的对称点是． （4）点关于的对称点是． （5）点关于一三象限的平分线的对称点为． （6）点关于二四象限的平分线的对称点为． 【即学即练2】 1．（2024·山西长治·模拟预测）如果点和点关于直线对称，则的值是（    ） A． B． C． D．5 【答案】C 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查坐标与图形变化对称，根据两点关于直线对称，可求出，的值，进而解决问题． 【详解】因为点和点关于直线对称， 所以，， 则，， 所以． 故选：C． 2．（23-24九年级上·河北沧州·期末）如果点和点关于直线对称，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、坐标与图形变化——轴对称、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了坐标与图形变化，轴对称的性质，熟练掌握轴对称的相关性质是解答本题的关键． 根据题意，利用轴对称的性质构建方程组，求出，的值，由此得到答案． 【详解】解：根据题意得： 点和点关于直线对称， ， ， ， 故选：． 题型01 关于x轴、y轴对称的点的坐标 【典例1】（22-23八年级下·浙江金华·开学考试）点关于x轴对称的点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数进行求解即可． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标为， 故答案为：． 【变式1】（23-24七年级下·上海·阶段练习）平面直角坐标系中，与点关于y轴对称的点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中关于轴对称的点的坐标的特点，根据平面直角坐标系中任意一点，关于轴对称的点的坐标为，将的坐标代入从而得出答案． 【详解】解：根据关于轴、轴对称的点的坐标的特点， 点关于轴对称的点的坐标是． 故答案为：． 【变式2】（23-24八年级上·全国·单元测试）点，，若，关于轴对称，则 ， ；若，关于轴对称，则 ， ． 【答案】 2 5 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了坐标与图形变化旋转，关于轴、轴对称的点的坐标． （1）关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，依此即可求解． （2）关于轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，依此即可求解． 【详解】解：（1）若、关于轴对称，则，； 故答案为：2；5； （2）若、关于轴对称，则，． 故答案为：，． 【变式3】（23-24八年级上·四川达州·期末）若点在轴上，则点关于轴对称的点为 ． 【答案】 【知识点】已知点所在的象限求参数、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了关于x轴、y轴对称点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 根据x轴上的点的纵坐标为0列式求出m的值，从而求得点A的坐标，再根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答． 【详解】解：∵点在x轴上， ∴， 解得， ∴，， ∴点A的坐标为， ∴点A关于x轴对称的点为． 故答案为：． 题型02 利用x轴、y轴对称的点的坐标求参数 【典例2】（23-24八年级下·福建泉州·期中）点的坐标是，且点关于轴对称的点的坐标是，则 ， ． 【答案】 / 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题主要考查了关于x轴对称的点的坐标特点，掌握关于x轴对称的两个点的坐标：横坐标不变，纵坐标互为相反数成为解题的关键． 根据关于x轴对称的两个点的坐标：横坐标不变，纵坐标互为相反数进行解答即可． 【详解】解：∵点P的坐标是，且点P关于x轴对称的点的坐标是， ∴，即． 故答案为：，． 【变式1】（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知点，点关于x轴对称，则的值是 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查平面直角坐标系中关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系：关于横轴的对称点，横坐标不变，纵坐标变成相反数．两点的横坐标相等，纵坐标相加得0，即可得关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：∵点，点关于x轴对称， ∴； 解得：， ∴， 故答案为：． 【变式2】（2024·湖南娄底·模拟预测）在平面直角坐标系中，若点与点关于y轴对称，则 ． 【答案】9 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查坐标与对称，根据关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，求出的值，即可． 【详解】解：∵点与点关于y轴对称， ∴， ∴； 故答案为：9． 【变式3】（23-24八年级下·河北沧州·期末）已知点和关于y轴对称，则的值为 ． 【答案】1 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】此题考查了关于y轴对称的点坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标相等，及已知字母的值求代数式的值，正确理解关于y轴对称的点坐标特点求得是解题的关键 【详解】解：∵点和关于y轴对称， ∴， ∴， ∴ 故答案为1 题型03 求点关于某直线的对称点 【典例3】（2024·江苏常州·二模）点关于直线对称的点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题主要考查了关于垂直坐标轴的直线对称的点坐标．设点关于直线对称的点为，根据题意得出，即可求解． 【详解】设点关于直线对称的点为， ∴， 解得，， ∴． 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级上·全国·课后作业）点关于直线对称的点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】考查了平面直角坐标系中各种点对称的基本性质，解题的关键是对这些基本性质要有清晰的认识。根据题意，设出相关点的坐标，依据相关性质入手即可 【详解】解：当所求的点与点关于对称时，其对称点的坐标为 ∵， ∴对称点的坐标为， 故答案是：． 【变式2】（23-24九年级下·四川成都·开学考试）已知点和点B是坐标平面内的两个点，它们关于直线对称 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了坐标与图形变化-对称，熟记对称的性质并列出方程求出点B的横坐标是解题的关键．根据轴对称的定义列式求出点B的横坐标，然后解答即可． 【详解】解：设点B的横坐标为x， ∵点与点B关于直线对称， ∴， 解得， ∵点A、B关于直线对称， ∴点A、B的纵坐标相等， ∴点． 故答案为． 【变式3】（23-24八年级上·全国·单元测试）点关于第一象限角平分线的对称点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系；根据题意，关于第一象限角平分线的对称的两点坐标的关系，纵横坐标交换位置易得答案． 【详解】解：根据关于第一象限角平分线的对称的两点坐标的关系， 即点关于第一象限角平分线的对称点的坐标为； 可得答案为． 故答案为：． 题型04 作图——轴对称变换 【典例4】（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点上． (1)画出与关于y轴对称的图形，点A、B、C的对应点分别为； (2)求（1）中得到的的面积． 【答案】(1)见解析 (2)4.5 【知识点】画轴对称图形、坐标与图形、坐标与图形变化——轴对称、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查了利用轴对称变换在坐标系中作图，利用网格求面积： （1）直接利用关于y轴对称的性质得出对应点位置，顺次连接各个对应点即可； （2）利用割补法求解即可． 【详解】（1）如图所示，即为所求． （2）的面积． 【变式1】（22-23八年级上·河南信阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，． (1)在图中作出关于y轴对称的； (2)写出的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1)作图见详解 (2) (3)的面积为 【知识点】画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称、利用网格求三角形面积 【分析】本题主要考查坐标与图形，轴对称图形的作法，掌握平面直角坐标系的特点，轴对称图形的作法，“割补法”求图形面积是解题的关键． （1）根据轴对称图形的作法即可求解； （2）根据坐标与图形的特点即可求解； （3）根据网格，坐标，运用“割补法”即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， ∴即为所求图形； （2）解：根据（1）中的图示可得，； （3）解：， ∴的面积为． 【变式2】（23-24八年级下·辽宁盘锦·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都边长为1的正方形网格的格点上． (1)写出A，B，C的坐标_______； (2)画出关于x轴对称的； (3)的面积为_______． 【答案】(1) (2)图见解析 (3)9 【知识点】坐标与图形、坐标与图形变化——轴对称、画轴对称图形 【分析】本题考查坐标与轴对称： （1）直接写出三点坐标即可； （2）根据轴对称的性质，画出即可； （3）分割法求出三角形的面积即可． 【详解】（1）解：由图可知：； 故答案为：； （2）如图，即为所求； （3）由图可知：的面积为：； 故答案为：9． 【变式3】（23-24八年级上·河南许昌·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)作出关于y轴对称的，并写出各顶点的坐标； (2)将向右平移6个单位，作出平移后的； (3)观察和，它们是否关于某条直线对称？若是，请画出这条对称轴． 【答案】(1)见解析，，， (2)见解析 (3)是，对称轴见解析 【知识点】平移(作图)、画对称轴、画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了坐标平面内的图形变换，解题关键是熟练掌握轴对称和平移的特征及坐标变化规律，如何根据点的位置确定对称轴． （1）根据轴对称的性质画图并写出坐标即可； （2）根据平移的性质画图即可； （3）根据对称轴的性质画出图形即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； ∴，，； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示， 题型05 利用轴对称求平面直角坐标系中线段和最小值问题 【典例5】（23-24八年级上·江西吉安·期末）在平面直角坐标系中，的顶点坐标． (1)在图中作出关于轴对称的图形； (2)在轴上找一点，使最短，在图中标出点的位置并写出点坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，点坐标为 【知识点】画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化轴对称，轴对称最短路径问题， （1）根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同找到A、B、C对应点的位置，然后顺次连接即可； （2）根据轴对称的性质，连接，交y轴于点P，点P即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，点P即为所求； ∴点坐标为． 【变式1】（23-24八年级下·云南昭通·期末）如图，在平面直角坐标系中，，是直线上的两点，点P是x轴上的一个动点，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】两点之间线段最短、已知两点坐标求两点距离、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了线段和最小值问题，两点间连线段最短，点关于坐标轴对称，勾股定理；作关于轴的对称点，连接交轴于，此时取得最小值，，由勾股定理即可求解；利用两点间连线段最短找出取得最小值的条件是解题的关键． 【详解】解：作关于轴的对称点，连接交轴于， 由对称得：， ， 此时取得最小值， ， ， 故答案：． 【变式2】（23-24八年级上·广东深圳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中作出关于x轴的对称图形； (2)请直接写出点C关于y轴的对称点的坐标： ； (3)在y轴上找一点P，使得周长最小，并求出P点坐标．（保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2) (3)点P即为所求 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、写出直角坐标系中点的坐标、根据成轴对称图形的特征进行求解、画轴对称图形 【分析】本题考查了作图—轴对称变换，轴对称—最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质即可作出关于x轴的对称图形． （2）根据轴对称的性质即可写出点C关于关于y轴的对称点的坐标． （3）连接交y轴于点P，根据两点之间线段最短即可使得周长最小． 【详解】（1）如图所示，即为所求． （2）点C关于关于y轴的对称点的坐标． （3）如图，点P即为所求． 【变式3】（23-24九年级下·浙江台州·开学考试）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）． (1)在图中作出关于直线的对称图形； (2)在上找一点P，使得的距离最短，在图中作出P点的位置；（保留作图痕迹） (3)若点B坐标为，点坐标为，则上一点的对应点坐标表示为 　　． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3) 【知识点】最短路径问题、坐标与图形变化——轴对称、根据成轴对称图形的特征进行求解、画轴对称图形 【分析】本题考查了画对称轴图形，最短路线问题，轴对称的性质． （1）先找出点、、关于直线的对称点、、，再顺次连接、、即可； （2）根据对称的性质可得，故，当点，点，点三点共线时，的值最小为； （3）先根据对称的两点的坐标得出对称轴，再结合关于对称轴对称的两个点到对称轴的距离相等，求出点的横坐标，即可求解． 【详解】（1）解：如图：即为所求． （2）解：连接，与的交点即为所求点，如图： （3）解：∵点B坐标为，点坐标为， ∴点、关于直线对称， 故上一点的对应点的纵坐标为，横坐标为， 故点的坐标为． 故答案为：． 题型06 轴对称的几何变换综合题 【典例6】（23-24七年级下·全国·假期作业）如图①，已知正方形的边长为6，，点为正方形边上的动点，动点从点出发，沿着运动到点时停止，设点经过的路程为，的面积为． (1)如图②，当时，______________； (2)如图③，当点在边上运动时，______________； (3)当时，的值为______________； (4)当点在边上运动时，是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3 (2)18 (3)5或13 (4)存在；9 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、线段问题(轴对称综合题) 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、三角形面积公式．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键． （1）由，可得，然后由，求得答案； （2）直接由，求得答案； （3）由已知得只有当点P在边或边上运动时，，然后分别求解即可求得答案； （4）作点A关于的对称点E，连接，交于点P，根据轴对称可知：，得出，根据两点之间线段最短，得出此时最小，即最小，说明最小，即的周长最小，利用三角形的面积公式求出即可得出x的值． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； 故答案为：3． （2）解：∵点P在边上运动， ∴； 故答案为：18． （3）解：由已知得只有当点P在边或边上运动时，， 当点P在边上运动时， ∵， ∴， 解得：， 即； 当点P在边上运动时， ∵， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，当时，或13； （4）解：存在； 作点A关于的对称点E，连接，交于点P，如图所示： 根据轴对称可知：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， ∴最小，即的周长最小， ∵， ∴， 则， 根据解析（2）可知，， ∴， ∴， 即 ∴， ∴此时． 【变式1】（23-24八年级下·湖南永州·期中）阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】平面内两点，则由勾股定理可得，这两点间的距离．例如．如图1，，则．             【直接应用】 (1)已知 ，求P、Q两点间的距离； (2)如图2，在平面直角坐标系中的两点，P为x轴上任一点，求的最小值； (3)利用上述两点间的距离公式，求代数式 的最小值是多少？ 【答案】(1) (2)的最小值为 (3) 【知识点】已知两点坐标求两点距离、线段问题(轴对称综合题) 【分析】本题三角形综合题，考查了最短路径，两点间的距离公式，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键． （1）由两点间的距离公式可求出答案； （2）利用轴对称求最短路线方法得出P点位置，进而求出的最小值． （3）把看成点到两点和的距离之和，求出两点和的距离便是的最小值． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）如图，作点B关于x轴对称的点C，连接，则， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴当A、P、C三点共线时，最小，即此时最小，最小值为的长， ∵， ∴， ∴的最小值为； （3）∵把看成点到两点和的距离之和， ∴两点和的距离便是的最小值， ∴最小值为：． 【变式2】（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图，在中，，点为的中点，连接．点在射线上运动，当点不与点重合时，连接．设． (1)的长为________； (2)当是直角三角形时，求的值； (3)当是轴对称图形时，求的面积； (4)如图，作点关于直线的对称点，连接，当点三点共线时，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)或 ； (3)或； (4)或． 【知识点】线段问题(轴对称综合题)、面积问题(轴对称综合题)、用勾股定理解三角形 【分析】（）由等腰三角形的性质求出，由勾股定理可求出答案； （）当时，点与点重合，当时，由勾股定理可求出答案； （）分三种情况，由等腰三角形的性质及勾股定理可得出答案； （）分两种情况，当在的延长线上时，当在的延长线上时，由轴对称的性质及勾股定理可得出答案． 【详解】（1）∵，，点为中点， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）当时，点与点重合，在中，， ∴， 当时， 在中，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故的值为或 ； （3）当时，点与点重合，不符合题意， 当时，， ∴， ∴， 当时，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上可知：的面积为或； （4）当在的延长线上时，如图， ∵点关于直线的对称点为点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在 中, ， ∴， ∴； 当在的延长线上时，如图， ∵，， ∴， ∵，， ∵， 在中，， ∴， ∴， 综上所述，或． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的判定，轴对称的性质，熟练掌握等腰三角形的性质、灵活运用分类讨论思想是解题的关键． 一、单选题 1．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】题考查了关于x轴对称的两个点的坐标特征，根据关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数，即可求解． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标为， 故选：D． 2．（22-23七年级上·山东烟台·期末）下列判断正确的是（    ） A．点关于轴的对称点坐标为点 B．点关于轴的对称点坐标为点 C．点与点关于轴的对称 D．点与点关于轴的对称 【答案】C 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数，关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数．据此逐个判断即可． 【详解】解：A、点关于轴的对称点坐标为点，故A不正确； B、点关于轴的对称点坐标为点，故B不正确； C、点与点关于轴的对称，故C正确； D、点与点不关于轴的对称，故D不正确； 故选：C． 3．（23-24八年级上·四川泸州·期中）已知点与点关于轴对称，则的值为（　　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，根据：关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，得到，，再带入求值即可． 【详解】∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴， 故选：D． 4．（23-24八年级上·山东枣庄·期中）如果点和点关于直线（平行于y轴的直线，直线上的每个点的横坐标都是1）对称，则的值是（ ） A． B．1 C． D．5 【答案】A 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查轴对称的坐标变换，掌握关于平行于y轴的直线对称点的坐标变换规律是解题的关键． 根据轴对称的性质可得关于直线对称的两点，到直线的距离相等，纵坐标相等．据此得到，，即可求得a、b值，即可求解． 【详解】解：∵点和点关于直线对称， ∴，， 解得：， ∴， 故选：A． 5．（23-24八年级上·西藏昌都·期末）如图，在的正方形网格中有4个格点A，B，C，D，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称．则原点是（    ）    A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、坐标与图形 【分析】此题主要考查了关于轴的对称点的坐标，关键是掌握关于轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．利用关于坐标轴对称的点的坐标特点确定坐标原点位置即可． 【详解】解：如图：    以B为坐标原点建立坐标系，点A和点C关于y轴对称， 故选：B 二、填空题 6．（24-25九年级上·湖南株洲·开学考试）若点与点关于轴对称，则点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答． 【详解】解：点与点关于轴对称， 点的坐标为， 故答案为：． 7．（21-22八年级上·全国·单元测试）点关于第一、三象限的角平分线对称的点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，根据关于第一、三象限角平分线对称的点，横坐标和纵坐标互换，即两点关于第一、三象限角平分线对称，据此可得答案． 【详解】解：点关于第一、三象限的角平分线对称的点的坐标为， 故答案为：． 8．（22-23八年级下·四川成都·期中）已知点关于轴的对称点在第三象限，为整数，则点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】已知点所在的象限求参数、坐标与图形变化——轴对称 【分析】此题考查了关于轴对称点的性质以及各象限内点的坐标特点，直接利用关于轴对称的性质以及各象限内点的坐标特点得出的取值范围，进而得的值，据此即可得出答案，正确得出的取值范围是解题得关键． 【详解】解：点关于轴的对称点在第三象限， ∴点在第二象限， ∴， 解得， 为整数， ， ∴，， 故点的坐标为， 故答案为：． 9．（21-22八年级上·全国·单元测试）一只电子跳蚤从点开始，先以轴为对称轴跳至点，紧接着又以轴为对称轴跳至点，则点坐标为 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同进行求解即可． 【详解】解：由题意得，点与点B关于x轴对称， ∴， 由题意得，点与点C关于y轴对称， ∴， 故答案为：． 10．（23-24八年级上·广西柳州·期末）如图，在平面直角坐标系中，，为边上一动点，为边上一动点，点的坐标为．当的周长最小时，点到直线的距离为，则的周长的最小值为 ． 【答案】 【知识点】线段问题(轴对称综合题)、用勾股定理解三角形、坐标与图形 【分析】本题考查了坐标与图形、轴对称的性质、勾股定理，由题意得出，，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于，交于，连接、，由轴对称的性质可得：，，，， 从而得出此时的周长，为最小值，作于，则，再由勾股定理求出，，即可得出答案． 【详解】解： ∵点的坐标为， ∴，， 如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于，交于，连接、， ， 由轴对称的性质可得：，，，， ∴，此时的周长，为最小值， 作于， ∵当的周长最小时，点到直线的距离为， ∴， ∴，， ∴， ∴的周长的最小值为， 故答案为：． 三、解答题 11．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，的顶点坐标分别为，，．将关于轴对称后得到，且点、、的对应点分别为、、． (1)请在图中画出； (2)点C与之间的距离为______． 【答案】(1)见解析 (2)6 【知识点】画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】此题考查了作图一轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （）根据轴对称的性质作图即可； （）关于轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标不变，由此可得坐标，进而可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示， （2）∵， ∴关于轴的对称点， ∴点与点之间的距离为， 故答案为：． 12．（23-24八年级上·四川达州·期末）如图的平面直角坐标系中：（每个小正方形的边长为单位“1”）． (1)请画出关于x轴对称的图形，其中点A，B，C的对称点分别为点、、． (2)请写出：点A关于y轴对称的点的坐标________；点B关于y轴对称的点的坐标________；点C关于y轴对称的点的坐标________； (3)试计算：的周长． 【答案】(1)见解析 (2)，，； (3) 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、画轴对称图形、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化——轴对称，勾股定理，熟知关于坐标轴对称的点的坐标特点是解题的关键． （1）根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同，先找到点，，的对称点的位置，然后顺次连接即可； （2）根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数进行求解即可； （3）利用勾股定理求出三边的长即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：点关于轴对称的点的坐标为； 点关于轴对称的点的坐标为； 点关于轴对称的点的坐标； 故答案为：，，； （3）解：∵， ∴，，， ∴的周长． 所以的周长 13．（22-23八年级上·内蒙古呼伦贝尔·开学考试）已知：方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点C的坐标为． (1)请以y轴为对称轴，画出与对称的 (2)直接写出三角形面积为______； (3)x轴上存在一点Q，使与的和最小，请画出Q点位置 【答案】(1)见解析 (2)6 (3)见解析 【知识点】利用网格求三角形面积、坐标与图形变化——轴对称、画轴对称图形 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可． （2）利用三角形的面积公式计算即可． （3）取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，则点即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：三角形的面积为． 故答案为：6． （3）解：如图，取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接， 此时，为最小值， 则点即为所求． 14．（23-24八年级上·云南·阶段练习）如图，在直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，请回答下列问题： (1)画出关于x轴的对称图形． (2)直接写出的坐标． (3)点P是y轴上一点且，请求出点P的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、画轴对称图形、坐标与图形 【分析】（1）根据轴对称的性质即可画出关于x轴的对称图形． （2）结合（1）所画图形即可写出的坐标． （3）根据点P是y轴上一点且，利用割补法即可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：的坐标分别为：； （3）解：∵点P是y轴上一点， ∴设， ①如图，点P在点A下方，作轴于点M，作轴于点N， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； ②如图，点P在点A上方，作轴于点M，作轴于点N，则是边上的高， ∴ 解得． ∴点P的坐标为； ∴点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了利用轴对称变换作图，依据轴对称的性质得出对称点的位置是解决问题的关键． 15．（2024八年级下·全国·专题练习）平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点，交y轴于点，a、b满足． (1)求A、B两点的坐标； (2)如图1，D为上一点，连接，过点O作交于E，若，求点D的坐标； (3)如图2，点B、Q关于x轴对称，M为x轴上A点右侧一点，过点M作交直线于点N，是否存在点M，使，若存在，求点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在点，使 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、全等三角形综合问题、坐标与图形、利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、非负数的性质：算术平方根和绝对值，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意得：且，则，即可求解； （2）证明和，即可求解； （3）由，得到，证明，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴且， ∴， 当时，， ∴； （2）解：如图，作的角平分线交于点G，设交于点F， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即点； （3）解：存在，理由： 过点N作轴于点P，设交于点G， ∵， ∴， 由对称性知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点． 即存在点，使． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$