专题2 圆锥曲线中“定”的问题　讲义——2024届高三数学二轮复习

专题---圆锥曲线里定的问题再探究 明天成功的你一定会感谢今天努力的你------跫音未响 专题2------圆锥曲线中的一些“定”的问题 例1. 已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，且过两点. （1） 求椭圆的方程； （2） 设过点的直线交椭圆于两点，过点且平行于轴的直线与线段交于点，点满足，证明：直线过定点. 例2. 已知在抛物线上. （1） 求该抛物线的方程； （2） 是抛物线上的两个动点，如果直线的斜率之和为，证明：直线过定点. 例3. 如图，已知抛物线的焦点为，过点作一条不经过的直线，若直线与抛物线交于异于原点的两点，点在轴下方，且在线段上. （1） 试判断：直线的斜率之积是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由； （2） 过点作的垂线交直线于点，若的面积为，求点的坐标. 练习1. 已知为双曲线的焦点，点在上. （1） 求的方程； （2） 点在上，直线与轴分别交于两点，点在直线上，若，证明：存在定点，使得为定值. 练习2. 已知抛物线的焦点为，圆的方程为，若直线与轴交于点，与抛物线交于点，且. （1） 求抛物线和圆的方程； （2） 过焦点的直线与抛物线交于两点，与圆交于两点，点在轴同侧，求证：为定值. 练习3. 已知椭圆的离心率为，且过点. （1） 求该椭圆的方程； （2） 点在椭圆上，且，为垂足.证明：存在定点，使得为定值. 例4. 已知椭圆的离心率为，短轴长为. （1） 求该椭圆的方程； （2） 设分别为椭圆的左右顶点，若过点且斜率不为的直线与椭圆交于两点，直线相交于点，证明：点在定直线上. 例5. 已知椭圆的左右焦点分别为，分别为左右顶点，直线与椭圆交于两点，当时，是椭圆的上顶点，且的周长为. （1） 求该椭圆的方程； （2） 设直线相交于点，证明：点在定直线上； （3） 设直线的斜率分别为，证明：为定值. 例6. 已知分别为离心率的椭圆的左右顶点，为椭圆上顶点，且. （1） 求该椭圆的方程； （2） 若动直线过点，且与椭圆交于两点，点关于轴对称，求证：直线恒过定点. 针对练习1. 已知抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与抛物线交于两点，且. （1） 求抛物线的方程； （2） 过点的直线交抛物线于，点为的中点，轴交抛物线于点，且.证明：动点在定直线上. 针对练习2. 已知椭圆过点，且离心率为. （1） 求该椭圆的方程； （2） 记椭圆上下顶点分别为，过点斜率为的直线与椭圆交于两点，证明：直线的交点在定直线上，并求出该定直线的方程. 针对练习3. 已知抛物线，点为的焦点，过点的直线交抛物线于两点. （1） 设在抛物线的准线上的投影分别为，线段的中点为，证明：. （2） 在轴上是否存在一点，使得直线斜率之和为定值？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$