2024-2025学年人教版九年级上学期第一次月考卷 考试范围：一元二次方程、二次函数 2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教版）

2024-2025学年人教版九年级上学期第一次月考卷 考试范围：一元二次方程、二次函数、共26题 （考试时间：90分钟、试卷满分：100分） 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．下列方程是关于x的一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．若方程的一个根是-3，则k的值是（    ） A．-1 B．1 C．2 D．-2 3．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为（    ） A．0或4 B．4或8 C．8 D．4 4．一元二次方程的解是（    ） A． B． C．， D．， 5．一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根 6．下列关于x的方程有实数根的是（  ） A． B． C． D． 7．用公式法解一元二次方程时，首先要确定，，的值，下列叙述中，正确的是（　　） A． B． C． D． 8．某抛物线的图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为，则原抛物线的解析式为(   ) A． B． C． D． 9．已知二次函数，当时，y随着x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，当时，y的值为（    ） A． B． C． D．0 10．对于实数a、b，如果定义新运算，则下列结论正确的有（　　） ①5*3=1；②当x=-1时，[(-2)*x]*7=-21；③； ④若、是一元二次方程的两个根，则或-17； ⑤若、是一元二次方程的两个根，，则m的值为-3或-6． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二．填空题：（本大题共8题，每题2分，满分16分） 11．已知，是一元二次方程的两根，则 ． 12．已知一元二次方程的两根为，则 ． 13．若二次函数的图象与轴有且只有一个公共点，则 ． 14．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，4），则抛物线的表达式为 ． 15．一元二次方程的两根为、，则 ． 16．某商店购进一批单价为元的日用商品，如果以单价元销售，那么月内可售出件，根据销售经验，提高销售单价会导致销量的减少，即销售单价每提高元，每月销售量相应减少件，请写出利润与单价之间的函数关系式 ． 17．定义：在平面直角坐标系中，我们将横、纵坐标都是整数的点称为“整点”． （1）抛物线与轴围成的区域内（不包括抛物线和轴上的点）整点有 个； （2）若抛物线与轴围成的区域内（不包括抛物线和轴上的点）恰好有个“整点”，则的取值范围是 ． 18．已知二次函数y = ax2 + bx + c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b < 0；②4a + 2b + c < 0；③a - b + c > 0；④（a+c）2 < b2．其中正确的结论是 ．    三．解答题：（本大题共8题，19-23题每题6分，24-26题每题8分，满分54分） 19．已知关于x的方程2x2+kx-1=0. (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)若方程的一个根是-1，求方程的另一个根． 20．把的图象向上平移个单位，向左平移个单位    (1)求新图象的解析式、顶点坐标和对称轴； (2)画出图象； (3)求平移后的函数的最大值或最小值，并求对应的的值． 21．某商厦今年一月份销售额为50万元，二月份由于经营不善，销售额下降10%，后来加强管理，月销售额大幅上升，到四月份销售额增加到64.8万元，求三、四月份平均每月增长的百分率是多少？ 22．某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．设每个房间的房价每天增加x元（x为10的正整数倍）． (1)设一天订住的房间数为y，求出y关于x的函数表达式． (2)x定为多少元时，宾馆可获得最大利润？最大利润是多少元？ 23．“低碳生活，绿色出行”，年1月某公司向深圳市投放共享单车辆 (1)若1月份到4月份新投放单车数量的月平均增长率相同，3月份新投放共享单车辆．请问该公司4月份在深圳市新投放共享单车多少辆？ (2)考虑到自行车市场需求不断增加，某商城准备用不超过元的资金再购进A，B两种规格的自行车辆，已知A型车的进价为元/辆，售价为元/辆，B型车进价为元/辆，售价为元/辆，假设所进车辆全部售完，为了使利润最大，该商城应如何进货？ 24．根据以下素材，解决生活问题 【素材背景】某超市购进200箱的A款牛奶，进价为每箱40元．若每箱售价为60元，每天可销售50箱．超市也可采取降价促销措施来提高利润，经过营销部的市场调研反馈：若A款牛奶单价每降1元，每天可多售出5箱． 【问题解决】 思考1：第一天超市决定按原价每箱60元出售，则第一天售出A款牛奶所获利润为______元． 思考2：第二天超市采取降价促销措施，为了使第二天的利润比第一天增加，又要让顾客实现最优惠，问第二天A款牛奶的每箱售价为多少元？ 思考3：第三天超市仍采取降价促销措施，既要销售完这批剩余的A款牛奶，又要使超市利益最大化，问销售完200箱的A款牛奶所获的总利润为多少元？ 25．如图，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，于y轴交于点C（0，3），顶点为D． （1）求该抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）请计算以A、B、D、C为顶点的四边形的面积； （3）在x坐标轴上是否存在点Q，使得Q点到C、D两点的距离之和最短，若存在，请直接写出Q点坐标，若不存在，请说明理由． 26．羽毛球作为国际球类竞技比赛的一种，发球后羽毛球的飞行路线可以看作是抛物线的一部分.建立如图所示的平面直角坐标系，羽毛球从发出到落地的过程中竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系. 某次发球时，羽毛球的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 0 2 4 6 8 … 竖直高度 1 1 … 请根据上述数据，解决问题： (1)直接写出羽毛球飞行过程中竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系； (2)已知羽毛球场的球网高度为，当发球点距离球网时，羽毛球_________（填“能”或“不能”）越过球网. ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版九年级上学期第一次月考卷 考试范围：一元二次方程、二次函数、共26题 （考试时间：90分钟、试卷满分：100分） 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．下列方程是关于x的一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据含有一个未知数且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程进行判断即可． 【详解】解：A．当时，该方程不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B．该方程是分式方程，故本选项不合题意； C．该方程是一元二次方程，故本选项符合题意； D．该方程含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，正确掌握一元二次方程的特点是解本题的关键． 2．若方程的一个根是-3，则k的值是（    ） A．-1 B．1 C．2 D．-2 【答案】B 【分析】把代入，即可得出的值. 【详解】 方程的一个根是-3， ， ， . 故选：B. 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，掌握“使一元二次方程的左右两边相等的未知数的值是方程的解”是解题的关键. 3．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为（    ） A．0或4 B．4或8 C．8 D．4 【答案】D 【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式，建立方程，求出值即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得，（舍去）． ∴k的值为4， 故选：D． 【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程的根与有如下关系：（1）⇔方程有两个不相等的实数根；（2）⇔方程有两个相等的实数根；（3）⇔方程没有实数根． 4．一元二次方程的解是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】利用因式分解法解答，即可求解． 【详解】解：， ， ∴， 解得：，． 故选：C 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法——直接开平方法，因式分解法，配方法，公式法是解题的关键． 5．一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当时，方程有无实数根”是解题的关键． 根据方程的系数结合根的判别式，可得出，进而可得出该方程没有实数根． 【详解】解：，，， ， ∴一元二次方程没有实数根． 故选：B． 6．下列关于x的方程有实数根的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别找出a、b、c代入△=b2-4ac计算，再根据计算的结果进行判断． 【详解】A．△=，方程没有实数根； B．△=，方程没有实数根； C．△=，方程有两个不相等的实数根； D．由，得：，∵，∴方程没有实数根； 故选C． 7．用公式法解一元二次方程时，首先要确定，，的值，下列叙述中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据等式的性质进行变形，再得出、、的值即可． 【详解】， 移项，得， 这里， 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程和一元二次方程的一般形式，能正确化成一元二次方程的一般形式是解本题的关键． 8．某抛物线的图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为，则原抛物线的解析式为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】易得新抛物线的顶点，然后得到经过平移后的原抛物线的顶点，根据平移不改变二次项的系数可得原抛物线解析式． 【详解】解：新抛物线的解析式是， 顶点为， 向左平移2个单位，再向上平移3个单位可得原抛物线顶点， 原抛物线顶点为， 原抛物线的解析式是． 故选B． 【点睛】本题考查抛物线的平移问题；用到的知识点为：抛物线的平移，看顶点的平移即可；抛物线的平移，不改变二次项的系数；关键是得到原抛物线的顶点坐标． 9．已知二次函数，当时，y随着x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，当时，y的值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据二次函数，当时，y随着x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，将代入函数解析式求出y的值即可． 【详解】解：∵二次函数，当时，y随着x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， 当时，， 故选：A． 10．对于实数a、b，如果定义新运算，则下列结论正确的有（　　） ①5*3=1；②当x=-1时，[(-2)*x]*7=-21；③； ④若、是一元二次方程的两个根，则或-17； ⑤若、是一元二次方程的两个根，，则m的值为-3或-6． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】根据新定义进行运算，整式的混合运算及一元二次方程根与系数的关系，即可一一判定． 【详解】解：①，故①正确； ②当x=-1时，， ，故②正确； ③， 当时，，； 当时，，， 综上，，故③正确； ④、是一元二次方程的两个根， ，， 当时，， 当时，， 故若、是一元二次方程的两个根，则或-17， 故④正确； ⑤、是一元二次方程的两个根， ，， 当时，， 解得m=-3； 当时，， 解得m=-6； 综上，m的值为-3或-6，故⑤正确． 故正确的有5个， 故选：D． 【点睛】本题考查了新定义运算，有理数及整式的混合运算，一元二次方程根与系数的关系，理解题意，采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 二．填空题：（本大题共8题，每题2分，满分16分） 11．已知，是一元二次方程的两根，则 ． 【答案】7 【分析】首先根据一元二次方程的根与系数的关系得出，，再代入到中即可得到答案． 【详解】，是一元二次方程的两根， ，， ， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解本题的关键． 12．已知一元二次方程的两根为，则 ． 【答案】3 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，然后运用完全平方公式进行运算即可． 【详解】解：对于一元二次方程， 根据一元二次方程的根与系数的关系可得，， 所以． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系以及运用完全平方公式进行运算，掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键． 13．若二次函数的图象与轴有且只有一个公共点，则 ． 【答案】 【分析】二次函数的图象与x轴有且只有一个公共点，则对应的△=0，据此即可求解． 【详解】解：依题意有 解得， 故答案为: 【点睛】此题考查二次函数与x轴的交点的个数的判断，当△=0时有一个交点，即顶点在x轴上；当△＞0时，有2个交点；当△＜0时，没有交点． 14．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，4），则抛物线的表达式为 ． 【答案】 【分析】利用待定系数法问题可解． 【详解】解：抛物线过点，， 设抛物线表达式为：， 把代入得， ， 抛物线表达式为：， 故答案是：． 【点睛】本题考查二次函数的解析式、解题的关键是掌握待定系数法进行求解． 15．一元二次方程的两根为、，则 ． 【答案】14 【分析】先将原方程展开并化简得，再由根与系数关系得，，然后将展开，得，即可整体代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵方程的两根为、， ∴，， ∴． 故答案为：14． 【点睛】本题主要考查一元二次函数根与系数的关系，代数式求值，熟练掌握：，是一元二次方程的两根时，，是解题关键． 16．某商店购进一批单价为元的日用商品，如果以单价元销售，那么月内可售出件，根据销售经验，提高销售单价会导致销量的减少，即销售单价每提高元，每月销售量相应减少件，请写出利润与单价之间的函数关系式 ． 【答案】 【分析】单价为x元,单价提高了(x-30)元.原来每月能售出400件,每涨价1元,月销售量就减少20件.涨(x-30)元,那么月销售量就减少20×(x-30)件,为400-20×(x-30).利润=每件利润×数量即可求得解析式; 根据利润y>0,月销售量>,可得到函数自变量的取值范围. 【详解】单价是x元,则销量是: 400-20×(x-30), 每件的盈利是(x-20)元, 则利润y=(x-20) =-20x²+1400x-20000, 根据x-20>0且400-20(x-30)>0,解得:20<x<50.故答案为. 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是：根据题意,找到所求量的等量关系是解决问题的关键.难点是根据题意得到相应的数量的代数式. 17．定义：在平面直角坐标系中，我们将横、纵坐标都是整数的点称为“整点”． （1）抛物线与轴围成的区域内（不包括抛物线和轴上的点）整点有 个； （2）若抛物线与轴围成的区域内（不包括抛物线和轴上的点）恰好有个“整点”，则的取值范围是 ． 【答案】 ； 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键， （）根据二次函数与坐标轴交点问题即可求解； （）根据二次函数图象的性质即可求解． 【详解】（）如图， 当时，个“整点”， 当时，个“整点”， 当时，个“整点”， 一共有个“整点”， 故答案为：； （）如图， 由得，根据图形可知， 当时，个“整点”， 当时，个“整点”， 当时，个“整点”， 若恰好有个“整点”，则抛物线经过时，， 抛物线经过时，， 抛物线经过时，， 的取值范围是， 故答案为：． 18．已知二次函数y = ax2 + bx + c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b < 0；②4a + 2b + c < 0；③a - b + c > 0；④（a+c）2 < b2．其中正确的结论是 ．    【答案】①③④ 【分析】利用抛物线对称轴在y轴右侧对①进行判断； 利用x=2时，y>0可对②进行判断； 利用x=-1时，y<0可对③进行判断； 根据x=1和x=-1的值，结合绝对值的意义，则可对④进行判断． 【详解】①图象开口向上，对称轴在y轴右侧，能得到：a＞0，＞0，则b＜0 正确． ②∵对称轴为直线x=1，∴x=2与x=0时的函数值相等， ∴当x=2时，y=4a+2b+c＞0 错误． ③当x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0， 正确． ④∵a﹣b+c＞0， ∴a+c＞b ∵当x=1时，y=a+b+c＜0 ∴a+c＜﹣b ∴b＜a+c＜﹣b ∴|a+c|＜|b| ∴（a+c）2＜b2 正确． 故答案为①③④． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左； 当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）． 三．解答题：（本大题共8题，19-23题每题6分，24-26题每题8分，满分54分） 19．已知关于x的方程2x2+kx-1=0. (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)若方程的一个根是-1，求方程的另一个根． 【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）计算得到根的判别式大于0，即可证明方程有两个不相等的实数根； （2）利用根与系数的关系可直接求出方程的另一个根. 【详解】解：(1)∵△=k2+8＞0， ∴不论k取何值，该方程都有两个不相等的实数根； (2)设方程的另一个根为x1， 则， 解得：， ∴方程的另一个根为. 【点睛】本题是对根的判别式和根与系数关系的综合考查，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根． 20．把的图象向上平移个单位，向左平移个单位    (1)求新图象的解析式、顶点坐标和对称轴； (2)画出图象； (3)求平移后的函数的最大值或最小值，并求对应的的值． 【答案】(1)解析式为，顶点坐标为，对称轴为 (2)见解析 (3)当时，函数存在最大值，最大值为 【分析】（1）根据平移规律“上加下减，左加右减”写出平移后的抛物线的解析式即可； （2）根据抛物线解析式列表，并作函数图象即可； （3）结合函数图象即可求解． 【详解】（1）解：平移后的抛物线对应的函数解析式为，其顶点坐标为，对称轴为． （2）解：列表： ··· ··· ··· ··· 描点连线：    （3）解：如图所示：当时，函数存在最大值，最大值为． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的图象和性质，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减；并用规律求函数解析式是解题的关键． 21．某商厦今年一月份销售额为50万元，二月份由于经营不善，销售额下降10%，后来加强管理，月销售额大幅上升，到四月份销售额增加到64.8万元，求三、四月份平均每月增长的百分率是多少？ 【答案】三、四月份平均每月增长的百分率是20% 【分析】设三、四月份平均每月销售额增长的百分率是x．由题意得二月份的销售额是50(1-10%)，在此基础上连续两年增长，达到了64.8，列方程求解． 【详解】解：设三、四月份平均每月增长的百分率是x．则 50(1-10%)(1+x)²=64.8， 解方程得：1+x=± ∴x1=，x2=-(负数舍去)， ∴每月的增长率为20%， 答：三、四月份平均每月增长的百分率是20%． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，注意此题中的二月份的销售额实际上是50(1-10%)进而得出方程是解题关键． 22．某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．设每个房间的房价每天增加x元（x为10的正整数倍）． (1)设一天订住的房间数为y，求出y关于x的函数表达式． (2)x定为多少元时，宾馆可获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)当定为160元时，宾馆可获得最大利润，最大利润为11560 元 【分析】（1）根据每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲，列出函数表达式即可； （2）设宾馆的利润为w，根据题意，列出二次函数表达式，利用二次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得； （2）设宾馆的利润为w，依题意得 ； ， 当时，w有最大值为11560元． 答：当定为 160 元时，宾馆可获得最大利润，最大利润为11560元． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用．正确的求出函数解析式，利用二次函数的性质进行求解，是解题的关键． 23．“低碳生活，绿色出行”，年1月某公司向深圳市投放共享单车辆 (1)若1月份到4月份新投放单车数量的月平均增长率相同，3月份新投放共享单车辆．请问该公司4月份在深圳市新投放共享单车多少辆？ (2)考虑到自行车市场需求不断增加，某商城准备用不超过元的资金再购进A，B两种规格的自行车辆，已知A型车的进价为元/辆，售价为元/辆，B型车进价为元/辆，售价为元/辆，假设所进车辆全部售完，为了使利润最大，该商城应如何进货？ 【答案】(1)该公司4月份在深圳市新投放共享单车辆 (2)为使利润最大，该商城应购进辆A型车和辆B型车 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确理解题中的数量关系是解答本题的关键． （1）设平均增长率为x，根据1月份到4月份新投放单车数量的月平均增长率相同，3月份新投放共享单车辆列出方程，再求解即可； （2）设购进A型车m辆，则购进B型车辆，根据不超过元的资金再购进A，B两种规格的自行车辆，列出不等式，求出m的取值范围，然后求出利润W的表达式，根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）设平均增长率为x， 根据题意得， 解得或（不合题意，舍去）， 则四月份的销量为辆， 答：该公司4月份在深圳市新投放共享单车辆； （2）设购进A型车m辆，则购进B型车辆， 根据题意得， 解得， 利润， ， ∴W随着m的增大而减小， 当时，利润最大， 答：为使利润最大，该商城应购进辆A型车和辆B型车． 24．根据以下素材，解决生活问题 【素材背景】某超市购进200箱的A款牛奶，进价为每箱40元．若每箱售价为60元，每天可销售50箱．超市也可采取降价促销措施来提高利润，经过营销部的市场调研反馈：若A款牛奶单价每降1元，每天可多售出5箱． 【问题解决】 思考1：第一天超市决定按原价每箱60元出售，则第一天售出A款牛奶所获利润为______元． 思考2：第二天超市采取降价促销措施，为了使第二天的利润比第一天增加，又要让顾客实现最优惠，问第二天A款牛奶的每箱售价为多少元？ 思考3：第三天超市仍采取降价促销措施，既要销售完这批剩余的A款牛奶，又要使超市利益最大化，问销售完200箱的A款牛奶所获的总利润为多少元？ 【答案】思考1：1000；思考2：54元；思考3：3240元 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用： 思考1：售价与进价之差为每箱利润，乘以销量即为总利润； 思考2：设第二天A款牛奶的每箱售价为x元，则销量为箱，每箱利润为元，根据第二天的利润比第一天增加列一元二次方程，解方程即可； 思考3：先求出剩余牛奶的箱数，降价后的销量刚好等于该数时，可以使超市利益最大化，由此可解． 【详解】解：思考1：（元）， 即第一天售出A款牛奶所获利润为1000元， 故答案为：1000； 思考2：设第二天A款牛奶的每箱售价为x元， 由题意得：， 整理得， 解得，， 要让顾客实现最优惠， 第二天A款牛奶的每箱售价为54元． 思考3：第一天销量为：50箱，第二天销量为：（箱）， 第三天销量为：（箱）， 设第三天A款牛奶的每箱售价为y元， 则， 解得， 第三天售出A款牛奶所获利润为：（元）， （元）， 即销售完200箱的A款牛奶所获的总利润为3240元． 25．如图，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，于y轴交于点C（0，3），顶点为D． （1）求该抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）请计算以A、B、D、C为顶点的四边形的面积； （3）在x坐标轴上是否存在点Q，使得Q点到C、D两点的距离之和最短，若存在，请直接写出Q点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3，D（﹣1，4）；（2）9；（3）存在， Q（﹣，0）． 【分析】（1）由待定系数法求出抛物线的表达式，进而求出顶点D的坐标． （2）根据勾股定理证明是直角三角形，四边形ABCD的面积＝×BC×CD+×AB×OC，计算求解． （3）作点C关于x轴的对称点E（0，﹣3），连接DE，计算得出直线DE的解析式，DE交x轴于点Q，代入计算求出点Q的坐标． 【详解】解：（1）∵设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c， 将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得：， 解得 ∴抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3， ∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，当x＝﹣1时，y＝﹣x2﹣2x+3＝4， ∴点D的坐标为（﹣1，4）； （2）∵由点B、C、D的坐标可知，BC2＝18，CD2＝2，BD2＝20， ∴BC2+CD2＝BD2， ∴△BCD为直角三角形， ∴四边形ABCD的面积＝＝． （3）存在，Q（﹣，0），如图 作点C关于x轴的对称点E（0，﹣3），连接DE交x轴于点Q，则点Q为所求点， ∵设直线ED的表达式为y＝kx+b，将D、E两点坐标代入可得， ， 解得， ∴直线DE的表达式为y＝﹣7x﹣3， 令y＝﹣7x﹣3＝0，解得x＝﹣， ∴点Q的坐标为（﹣，0）． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查运用待定系数法求二次函数解析式，勾股定理的逆用，求多边形面积及两点间线段最短，运用数形结合的方法是解题关键． 26．羽毛球作为国际球类竞技比赛的一种，发球后羽毛球的飞行路线可以看作是抛物线的一部分.建立如图所示的平面直角坐标系，羽毛球从发出到落地的过程中竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系. 某次发球时，羽毛球的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 0 2 4 6 8 … 竖直高度 1 1 … 请根据上述数据，解决问题： (1)直接写出羽毛球飞行过程中竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系； (2)已知羽毛球场的球网高度为，当发球点距离球网时，羽毛球_________（填“能”或“不能”）越过球网. 【答案】(1)羽毛球飞行过程中竖直高度的最大值为； (2)能 【分析】（1）先根据表格中的数据求出抛物线的对称轴和顶点坐标，根据待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）把代入求出，然后进行判断即可． 【详解】（1）解：根据表格中的数据可知，当时，，当时，， ∴与关于对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线， 根据表格中的数据可知，当时，， ∴抛物线的顶点坐标为， 即羽毛球飞行过程中竖直高度的最大值为； 抛物线的关系式为， 把时，代入得：， 解得：， ∴抛物线的关系式为． （2）解：把代入得： ， ∵， ∴羽毛球能越过球网． 故答案为：能． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，求出抛物线的顶点坐标． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$