2024-2025学年江苏九年级上学期第一次月考卷 考试范围：一元二次方程、对称图形——圆 2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

2024-2025学年江苏九年级上学期第一次月考卷 考试范围：一元二次方程、对称图形——圆、共26题 （考试时间：90分钟、试卷满分：100分） 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．下列方程中，有实数根的是（    ） A． B． C． D． 2．已知关于x的方程的一个根为x=4， 则实数k的值为（  ） A． B． C．2 D．5 3．已知，，满足，，，则的值为（    ） A． B．5 C．6 D． 4．一元二次方程根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．不能确定 5．⊙O的弦AB的长为8cm，弦AB的弦心距为3 cm，则⊙O的直径为（ ） A．4 cm B．5 cm C．8 cm D．10 cm 6．小英家的圆形镜子被打碎了，她拿了如图（网格中的每个小正方形边长为1）的一块碎片到玻璃店，配制成形状．大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是（   ） A．2 B． C． D．3 7．如图，A、D是⊙上的两点，BC是直径，若∠D = 35°，则∠OCA的度数是（　　） A．35° B．55° C．65° D．70° 8．如图，是的切线，为切点．点在上，连接并延长交于点．若，则（    ）    A．35° B．45° C．55° D．65° 9．据报道，为推进某市绿色农业发展．2020～2022年，该市将完成农业绿色发展项目总投资616亿元．已知福州2020年已完成项目投资100亿元，假设后两年该项目投资的平均增长率为x，依题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 10．如图，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二．填空题：（本大题共8题，每题2分，满分16分） 11．如图，在⊙O中，，AB＝3，则AC＝ . 12．若，则 . 13．写出一个二次项系数为1，且有一个根为2的一元二次方程： ． 14．的半径为4，圆心O到直线l的距离是方程的一个根，则直线l与的位置关系是__________． 15．关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是 16．如图，的弦，半径交于点，是的中点，且，则的长为 ． 17．北京时间2022年8月19日，2021﹣22赛季中国初中篮球联赛全国总决赛落幕，明德华兴中学获得男子组全国总冠军．小组预赛赛制为单循环形式（每两个队之间都赛一场），总共有15场比赛，请问这个小组有 支球队打比赛． 18．如图，在矩形中，，点M、N分别在边、上，连接、．若四边形是菱形，则等于 ．    三．解答题：（本大题共8题，19-23题每题6分，24-26题每题8分，满分54分） 19．已知，若的值比的值大1，求满足条件的值． 20．为了让学生养成热爱图书、喜欢阅读的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买书籍．已知2021年该学校用于购买图书的费用为1200元，2023年用于购买图书的费用是1452元，求年买书资金的平均增长率． 21．新冠疫情下，网上购物已经成为一种习惯．某网点“元旦”全天交易额逐年增长，年交易额为万元，年交易额为万元，求： (1)年至年“元旦”交易额的年平均增长率； (2)若保持原来的增长率，预计年“元旦”全天交易额是多少？ 22．计算 (1) (2) 23．某商店以每件25元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（400﹣10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过进价的30%，商店计划要盈利500元，每件商品应定价多少元？需要进货多少件？ 24．已知，．按下列要求用直尺和圆规作图．（保留作图痕迹，不写作法） （1）在图①中求作一点，使，且、在直线异侧； （2）在图②中求作一点，使，且、在直线同侧． 25．如图，在的方格纸中，的三个顶点都在格点上，我们把这样的三角形叫做格点三角形（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．请完成以下画图并填空． （1）在图1中画出一个与成中心对称的格点三角形； （2）在图2中画出一个与成轴对称且与有公共边的格点三角形； （3）在图3中画出将绕点顺时针旋转后得到的三角形，其中顶点A在旋转过程中经过的路径长为______．（直接填结果） 26．如图，已知为的直径，连接，，，过点O作于点E，点F是半径的中点，连接，． (1)如图1，设的半径为2，若，求线段的长． (2)如图2，设交于点P，延长交于点D，连接． ①求证：； ②若，求的度数． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年江苏九年级上学期第一次月考卷 考试范围：一元二次方程、对称图形——圆、共26题 （考试时间：90分钟、试卷满分：100分） 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．下列方程中，有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程，一元二次方程，无理方程的根问题，熟练掌握知识点是解题的关键． 解A选项中的分式方程得是增根，B、D选项可以根据根的判别式进行判断，C选项由进行判断． 【详解】解：A、，解得，经检验是增根，舍去，故本选项不符合题意； B、，，故该一元二次方程无实数根，故本选项不符合题意； C、，则，故该方程无实数根，故本选项不符合题意； D、，，，故本选项符合题意． 故选：D． 2．已知关于x的方程的一个根为x=4， 则实数k的值为（  ） A． B． C．2 D．5 【答案】B 【分析】方程的根即方程的解，就是能使方程两边相等的未知数的值，利用方程解的定义就可以得到关于k的方程，从而求得k的值． 【详解】解：∵关于x的方程的一个根为x=4， 把x=4代入方程得：16-4k-6=0， 解得k=． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立． 3．已知，，满足，，，则的值为（    ） A． B．5 C．6 D． 【答案】B 【分析】首先把，，，两边相加整理成，分解因式，利用非负数的性质得出、、的数值，代入求得答案即可． 【详解】解：，，， ， ， ，，， ． 故选：B． 【点睛】此题考查了配方法，解题的关键是掌握完全平方公式是解决问题的关键． 4．一元二次方程根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式，解决该题型题目时，根据根的判别式的符号确定方程根的情况是关键．根据方程的根的判别式，即可得出该方程没有实数根． 【详解】解：在方程中， ， 方程没有实数根． 故选：A． 5．⊙O的弦AB的长为8cm，弦AB的弦心距为3 cm，则⊙O的直径为（ ） A．4 cm B．5 cm C．8 cm D．10 cm 【答案】D 【分析】根据垂径定理即可求得AC的长，连接OC，在直角△AOC中根据勾股定理即可求得半径OA的长，则直径即可求解． 【详解】解：连接OC， ∵OC⊥AB， ∴AC=AB=4cm， 在直角△AOC中， 所以直径为10， 故选D 【点睛】本题考查了直角三角形的基本知识.此类试题属于难度较大的试题，考生在解答此类试题时一定要对直角三角函数和直角三角形的性质牢牢把握. 6．小英家的圆形镜子被打碎了，她拿了如图（网格中的每个小正方形边长为1）的一块碎片到玻璃店，配制成形状．大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是（   ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理．作的垂直平分线，交点O就是圆心，连接，则，，再由勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图，作的垂直平分线，交点O就是圆心，连接，则，， ∵，， ∴， 即这个镜面的半径是． 故选：B． 7．如图，A、D是⊙上的两点，BC是直径，若∠D = 35°，则∠OCA的度数是（　　） A．35° B．55° C．65° D．70° 【答案】B 【分析】根据圆周角定理可得∠BAC=90°，∠B=∠D=25°，进而解答即可． 【详解】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠BAC=90°， ∵∠D=35°， ∴∠B=35°， ∴∠OCA=90°-∠B=90°-35°=55°， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，正确理解圆周角定理是关键． 8．如图，是的切线，为切点．点在上，连接并延长交于点．若，则（    ）    A．35° B．45° C．55° D．65° 【答案】C 【分析】首先根据切线的性质得出∠BAD=90°，然后根据圆周角定理得出∠ABC=35°，进而即可得出∠ADB. 【详解】∵是的切线， ∴∠BAD=90° ∵ ∴∠ABC=35° ∴∠ADB=90°-35°=55° 故选：C. 【点睛】此题主要考查圆的切线性质以及圆周角定理，熟练掌握，即可解题. 9．据报道，为推进某市绿色农业发展．2020～2022年，该市将完成农业绿色发展项目总投资616亿元．已知福州2020年已完成项目投资100亿元，假设后两年该项目投资的平均增长率为x，依题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平均增长率，分别表示2021年，2022年的投资，计算三年的投资总和，列方程即可． 【详解】设后两年该项目投资的平均增长率为x，依题意可列方程为， 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用平均增长率问题，熟练掌握平均增长率是解题的关键． 10．如图，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理、圆内接四边形，取优弧上一点，连接，，由圆周角定理，得，运用圆内接四边形对角互补求解是解决题的关键． 【详解】解：如图，取优弧上一点，连接，， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 二．填空题：（本大题共8题，每题2分，满分16分） 11．如图，在⊙O中，，AB＝3，则AC＝ . 【答案】3 【分析】根据圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解答即可． 【详解】解：∵在⊙O中，，AB＝3， ∴AC=AB=3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等． 12．若，则 . 【答案】4或5 【分析】设x2+3x=y，方程变形后，求出解得到y的值，即可确定出x2+3x的值． 【详解】设x2+3x=y，方程变形得：y2﹣9y+20=0，即（y﹣4）（y﹣5）=0，解得：y=4或y=5，即x2+3x=4或x2+3x=5． 故答案为4或5． 【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 13．写出一个二次项系数为1，且有一个根为2的一元二次方程： ． 【答案】x2-3x+2=0（答案不唯一） 【分析】根据一元二次方程的定义及一元二次方程解的概念即可完成． 【详解】∵一个二次项系数为1 ∴设所写的一元二次方程为 ∵方程有一个根为2 ∴ ∴c=2 ∴这个方程是x2-3x+2=0 但由于一次项系数还可以取其它任意实数，故所写的满足条件的方程不唯一 故答案为：x2-3x+2=0(答案不唯一) 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念及一元二次方程的解，利用已知可以写一个关于x的一元二次方程，可以先确定一次项，常数项待定，将x=2代入可确定常数项，即可得到一个二次项系数为1，且有一个根为2的一元二次方程． 14．的半径为4，圆心O到直线l的距离是方程的一个根，则直线l与的位置关系是__________． 【答案】相交或相切 【分析】首先求出方程的根，再利用半径长度，由点O到直线a的距离为d，若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离，从而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 解得：，， ∵点O到直线l距离是方程的一个根，即为3或4， ∴点O到直线l的距离或4， ∵的半径为4， ∴， ∴或 ∴直线l与圆相交或相切， 故答案为：相交或相切． 【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定． 15．关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是 【答案】m≥0且m≠1． 【分析】让△=b2-4ac≥0，且二次项的系数不为0以保证此方程为一元二次方程． 【详解】解：由题意得：4m2-4m（m-1）≥0； m-1≠0， 解得m≥0且m≠1． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，难度不大． 错因分析 容易题.失分原因是：忽略一元二次方程二次项系数不为0这个条件. 16．如图，的弦，半径交于点，是的中点，且，则的长为 ． 【答案】2 【分析】连接OA，先根据垂径定理求出AO的长，再设ON=OA，则MN=ON-OM即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接OA， ∵半径交于点，是的中点， ∴AM=BM==4,∠AMO=90°， ∴在Rt△AMO中 OA= =5. ∵ON=OA， ∴MN=ON-OM=5-3=2. 故答案为2. 【点睛】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 17．北京时间2022年8月19日，2021﹣22赛季中国初中篮球联赛全国总决赛落幕，明德华兴中学获得男子组全国总冠军．小组预赛赛制为单循环形式（每两个队之间都赛一场），总共有15场比赛，请问这个小组有 支球队打比赛． 【答案】6 【分析】设这个小组有x支球队打比赛，每个队都要赛场；由题意得，，解方程即可； 【详解】解：设这个小组有x支球队打比赛，每个队都要赛场； 由题意得，， 解得：或（舍去）， ∴共有6个球队参加比赛． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，正确列出方程是解题的关键． 18．如图，在矩形中，，点M、N分别在边、上，连接、．若四边形是菱形，则等于 ．    【答案】 【分析】证明，，设，，则，（x、y均为正数）．结合在中，，即，可得得，再计算即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴． ∵四边形是矩形， ∴． 设，，则，（x、y均为正数）． 在中，，即， 解得，（不符合题意的根舍去） ∴， ∴． 故答案是：． 【点睛】本题考查的是矩形的性质，菱形的性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，熟练的利用勾股定理建立方程是解本题的关键． 三．解答题：（本大题共8题，19-23题每题6分，24-26题每题8分，满分54分） 19．已知，若的值比的值大1，求满足条件的值． 【答案】或 【分析】本题考查了解一元二次方程—因式分解法，根据题意得：，整理得，然后利用因式分解法解方程即可得到的值． 【详解】解：，的值比的值大1， ， ， 化简得： 或 即或． 20．为了让学生养成热爱图书、喜欢阅读的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买书籍．已知2021年该学校用于购买图书的费用为1200元，2023年用于购买图书的费用是1452元，求年买书资金的平均增长率． 【答案】年买书资金的平均增长率为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设2021～2023年买书资金的平均增长率为，利用2023年该学校用于购买图书的费用年该学校用于购买图书的费用（年买书资金的平均增长率），可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设年买书资金的平均增长率为， 由题意得： 解得或（不符合题意，舍去） 答：年买书资金的平均增长率为． 21．新冠疫情下，网上购物已经成为一种习惯．某网点“元旦”全天交易额逐年增长，年交易额为万元，年交易额为万元，求： (1)年至年“元旦”交易额的年平均增长率； (2)若保持原来的增长率，预计年“元旦”全天交易额是多少？ 【答案】(1)2020年到2022年“元旦”交易额的年平均增长率为； (2)保持原来的增长率，预计2023年该平台“元旦”的交易额将达到万元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用； （1）设2020年到2022年“元旦”交易额的年平均增长率为x，然后根据经过连续两年增长后从万元增长到万元列出方程求解即可； （2）根据（1）所求，求出2023年该平台“元旦”的交易额即可得到答案． 【详解】（1）解：设2020年到2022年“元旦”交易额的年平均增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：2020年到2022年“元旦”交易额的年平均增长率为； （2）解：∵， 答：保持原来的增长率，预计2023年该平台“元旦”的交易额将达到万元． 22．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)，． 【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）把原方程整理成一元二次方程的一般形式，用求根公式求出方程的根即可． 【详解】（1）解： 方程的两边都乘以（x＋1）（x－1）得， ， 解整式方程得，， 经检验，当时，（x＋1）（x－1）≠0， ∴原分式方程的的解是． （2）解：， 方程整理得，， a＝1，b＝﹣6，c＝6， ∵， ∴， ∴，． 【点睛】此题考查了分式方程和一元二次方程，熟练掌握方程的解法是解题的关键． 23．某商店以每件25元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（400﹣10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过进价的30%，商店计划要盈利500元，每件商品应定价多少元？需要进货多少件？ 【答案】需要进货100件，每件商品应定价30元 【分析】根据：每件盈利×销售件数＝总盈利额；其中，每件盈利＝每件售价﹣每件进价，建立等量关系，列出出方程，求解即可． 【详解】根据题意得： （a﹣25）（400﹣10a）＝500 整理得：a2﹣65a+1050＝0，解得：a1＝30，a2＝35． 当a＝30时，利润率为：100%＝20%＜30%，符合题意； 当a＝35时，利润率为：100%＝40%＞30%，不符合题意，舍去； 则400﹣10a＝400﹣10×30＝100（件）． 答：需要进货100件，每件商品应定价30元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，找出题目中的等量关系，列出方程是解题的关键；解一元二次方程的应用题，需要检验结果是否符合题意． 24．已知，．按下列要求用直尺和圆规作图．（保留作图痕迹，不写作法） （1）在图①中求作一点，使，且、在直线异侧； （2）在图②中求作一点，使，且、在直线同侧． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【分析】（1）分别以B，C为圆心，BA为半径画弧，两弧交于点P，连接BP，PC即可； （2）作△ABC的外接圆，在优弧BC上任意取一点P，连接BP，PC即可． 【详解】（1）如图①，即为所求； （2）如图②，即为所求． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 25．如图，在的方格纸中，的三个顶点都在格点上，我们把这样的三角形叫做格点三角形（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．请完成以下画图并填空． （1）在图1中画出一个与成中心对称的格点三角形； （2）在图2中画出一个与成轴对称且与有公共边的格点三角形； （3）在图3中画出将绕点顺时针旋转后得到的三角形，其中顶点A在旋转过程中经过的路径长为______．（直接填结果） 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析， 【分析】（1）根据成中心对称图形的概念以及网格结构，分别找出点A、点B以C为对称中心得到对应点的位置，再与点C顺次连接即可作出图形； （2）根据成轴对称图形的概念，以边BC所在的直线为对称轴作出图形即可； （3）根据网格结构找出点A、B绕着点C按顺时针方向旋转后的对应点的位置，再与点C顺次连接即可．由题意得点A在旋转过程中经过的路径为所对的圆弧的长度，利用弧长公式即可求出． 【详解】（1）如图（答案不唯一）， （2）如图（答案不唯一）， （3）如图， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，利用中心对称和轴对称作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． 26．如图，已知为的直径，连接，，，过点O作于点E，点F是半径的中点，连接，． (1)如图1，设的半径为2，若，求线段的长． (2)如图2，设交于点P，延长交于点D，连接． ①求证：； ②若，求的度数． 【答案】(1) (2)①见解析；②45° 【分析】(1)根据，，， F是半径的中点，证明，，根据垂径定理计算的长即可． （2）①过点F作于G，交OB于H，连接EH，证明四边形是平行四边形即可．②利用等腰直角三角形的判定，三角形全等，圆周角定理证明即可． 【详解】（1）∵，，， F是半径的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）①证明：如图2中，过点F作于G，交OB于H，连接EH． ∵，，为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． ②解：如图2，∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 解法二：可以过E点作交于点G，连接． ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（SAS）， ∴，∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，平行线分线段成比例定理，三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握定理并灵活运用是解题的关键． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$