2024-2025学年江苏八年级上学期第一次月考卷 考试范围：全等三角形、轴对称图形 2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

2024-2025学年江苏八年级上学期第一次月考卷 考试范围：全等三角形、轴对称图形、共26题 （考试时间：90分钟、试卷满分：100分） 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．下列图案是轴对称图形的是(　　) A． B． C． D． 2．如图，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．小华家梳妆台上的一块三角形玻璃不小心打成了如图所示的四块，需要去玻璃装饰品店再购买一块与原来大小和形状完全相同的玻璃，最省事的办法是携带哪两块玻璃去玻璃装饰品店让商家再裁出一块？（    ）    A．（1）和（3） B．（2）和（3） C．（1）和（4） D．（1）和（2） 4．如图，在Rt△ABC中，∠B＝60°，D是线段BC上一动点，将A绕点D顺时针旋转90°至点E，连接CE．当CE取最小值时，∠ACE＝（　　） A．45° B．65° C．75° D．105° 5．如图，在等边中，为边上的中点，以为圆心，为半径画弧，与边交点为，则的度数为（   ） A．60° B．75° C．105° D．115° 6．如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（    ）    A．∠B=∠D B．BE=DF C．AD=CB D．AD∥BC 7．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和38，则△EDF的面积为（    ） A．6 B．12 C．4 D．8 8．如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连结并延长交于点，则下列说法中正确的个数是（    ） ①是的平分线；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 9．如图，与关于直线对称，为上任一点（不与共线），下列结论中错误的是（    ） A．是等腰三角形 B．垂直平分， C．与面积相等 D．直线，的交点不一定在上 10．如图，在和中，，，，交于点，交于点．下列结论：①；②；③．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 二．填空题：（本大题共8题，每题2分，满分16分） 11．如图，AD是△ABC的对称轴，∠DAC＝30°，DC＝4cm，则△ABC是 三角形，△ABC的周长＝ cm. 12．如图，中，，，，，，则 ． 13．如图，点P为三边垂直平分线的交点，若，，则的度数为 ．    14．如图，，的延长线交于，交于，，，，则的度数为 ． 15．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线交于点D，连接．若，，则 ．    16．如图，在锐角△ABC中，AC＝8，△ABC的面积为20，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是 . 17．如图，在中，，平分，交边上的高于点F．已知，，则 ． 18．如图，在Rt△ABC中，已知∠C=90°，AC=10，BC=4，点P在线段AC上，点Q在AC的垂线AD上，若PQ=AB，则AP= 时，才能使△ABC和△APQ全等． 三．解答题：（本大题共8题，19-23题每题6分，24-26题每题8分，满分54分） 19．已知等腰三角形三边、、长分别为，，，求这个三角形的周长． 20．在边长为1的小正方形网格中，的顶点均在格点上． (1)画出关于直线的对称图形； (2)把向右平移一个单位长度得到，设上一点在对应点为．在对应点为，设到的距离为，则________（用表示）． 21．如图：已知OA和OB两条公路，以及C，D两个村庄，建立一个车站P，要求车站到OA，OB两条公路的距离相等，且使为等腰三角形，请作出车站P的位置． 22．如图，已知△ABC中，∠ACB=，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的平分线，且与CD交于点F， （1）求证：CE=CF； （2）过点F作FG‖AB，交边BC于点G，求证：CG=EB. 23．如图，中，，点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边顺时针运动，点M个速度为，点N的速度为，当点M、N第一次相遇时，点M、N同时停止运动，设点M、N的运动时间为秒．    (1)当点M在上时，___________；当点M在上时，___________（用含t的代数式表示）． (2)点N在上时，若为直角三角形，求t的值． (3)连结，当的对称轴垂直平分线段时，直接写出t的值． 24．阅读与思考 下面是森森同学写的一篇数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． ×年×月×日星期四 数学推理真有趣 今天数学课上学习了一个“二推一模型”，意思就是平行线、角平分线和等腰三角形，这三个条件只要已知其中的任意两个，就能推导出第三个． 第一种情况，已知：如图，，CE是的平分线．求证：是等腰三角形． 证明：∵，∴． ∵CE是的平分线，∴． ∴．∴．（依据）∴是等腰三角形． 第二种情况 第三种情况 (1)以上证明过程中，依据是______． (2)请你参照日记中的第一种情况，写出其余两种情况的已知和求证，并选择其中一种进行证明． 25．八年级数学兴趣小组开展了测量学校教学楼高度的实践活动，测量方案如下表： 课题 测量学校教学楼高度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 （1）在教学楼外，选定一点； （2）测量教学楼顶点视线与地面夹角； （3）测的长度； （4）放置一根与长度相同的标杆，垂直于地面； （5）测量标杆顶部视线与地面夹角． 测量数据 ，，， 请你根据兴趣小组测量方案及数据，计算教学楼高度的值． 26．画图或计算： （1）如图1，地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口（到A、B、C三个点的距离相等），尽快抓到老鼠，应该蹲守在何处？请在图2中，用尺规作出猫所蹲守的位置点P．（不写作法，保留作图痕迹）. （2）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上． ①在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△AB′C′； ②线段CC′被直线l ； ③在直线l上找一点P，使PB+PC的长最短． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年江苏八年级上学期第一次月考卷 考试范围：全等三角形、轴对称图形、共26题 （考试时间：90分钟、试卷满分：100分） 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．下列图案是轴对称图形的是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称图形的性质，分别进行判断，即可得到答案. 【详解】解：根据题意，A、B、D中的图形不是轴对称图形，C是轴对称图形； 故选：C. 【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，解题的关键是熟记定义. 2．如图，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理．根据三角形全等的性质得出，再由三角形内角和定理进行计算即可，熟练掌握全等三角形的性质及三角形内角和定理为是解此题的关键． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：B． 3．小华家梳妆台上的一块三角形玻璃不小心打成了如图所示的四块，需要去玻璃装饰品店再购买一块与原来大小和形状完全相同的玻璃，最省事的办法是携带哪两块玻璃去玻璃装饰品店让商家再裁出一块？（    ）    A．（1）和（3） B．（2）和（3） C．（1）和（4） D．（1）和（2） 【答案】D 【分析】根据三角形全等判定的方法逐一验证即可得到答案． 【详解】解：A．带第（1）和（3）块去，只保留了原三角形的一个角和部分边，不能配一块与原来大小和形状完全相同的玻璃； B．带第（2）和（3）块去，只保留了原三角形的一个角和部分边，不能配一块与原来大小和形状完全相同的玻璃； C．带第（1）和（4）块去，只保留了原三角形的两个角，不能配一块与原来大小和形状完全相同的玻璃； D．带第（1）和（2）块去，保留了原三角形的两个角和夹边，符合“角边角”定理，能配一块与原来大小和形状完全相同的玻璃； 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，是基础题，熟记三角形全等的判定方法是解题的关键． 4．如图，在Rt△ABC中，∠B＝60°，D是线段BC上一动点，将A绕点D顺时针旋转90°至点E，连接CE．当CE取最小值时，∠ACE＝（　　） A．45° B．65° C．75° D．105° 【答案】C 【分析】以为斜边向下作等腰直角三角形，根据，当三点共线时，取得最小值，即可求解． 【详解】解：如图，以为斜边向下，作等腰直角三角形， ∵， 当三点共线时，取得最小值，此时 ． 故选C 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，两点之间线段最短，掌握以上知识是解题的关键． 5．如图，在等边中，为边上的中点，以为圆心，为半径画弧，与边交点为，则的度数为（   ） A．60° B．75° C．105° D．115° 【答案】C 【分析】根据等边三角形三线合一的性质可求出∠DAC=30°，结合AD等于AE求出∠AED的度数即可解出∠DEC的度数． 【详解】解：在等边△ABC中，D为BC边上的中点， ∴∠DAC=∠BAC= 30°， 在△ADE中，AD=AE， ∴∠AED=∠ADE=（180°-30°）=75°， ∵∠AED+∠DEC=180°， ∴∠DEC=180°-75°=105°， 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，解题关键在于能够熟练掌握该知识并进行合理运用． 6．如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（    ）    A．∠B=∠D B．BE=DF C．AD=CB D．AD∥BC 【答案】C 【分析】求出AF=CE，再根据全等三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：∵AE=CF， ∴AE+EF=CF+EF， ∴AF=CE， A、∠B=∠D，∠AFD=∠CEB，AF=CE，满足AAS，能判定△ADF≌△CBE； B、BE=DF，∠AFD=∠CEB，AF=CE，满足SAS，能判定△ADF≌△CBE； C、AD=CB，AF=CE，∠AFD=∠CEB，满足SSA，不能判定△ADF≌△CBE； D、AD∥BC，则∠A=∠C，又AF=CE，∠AFD=∠CEB，满足ASA，能判定△ADF≌△CBE； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线性质，全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS． 7．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和38，则△EDF的面积为（    ） A．6 B．12 C．4 D．8 【答案】A 【分析】过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DF=DH，然后利用“HL”证明Rt△DEF和Rt△DGH全等，根据全等三角形的面积相等可得S△EDF=S△GDH，设面积为S，然后根据S△ADF=S△ADH列出方程求解即可． 【详解】解：如图，过点D作DH⊥AC于H， ∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB， ∴DF=DH， 在Rt△DEF和Rt△DGH中，， ∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL）， ∴S△EDF=S△GDH，设面积为S， 同理Rt△ADF≌Rt△ADH， ∴S△ADF=S△ADH， 即38+S=50-S， 解得S=6． 故选：A． 【点睛】本题考查角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是作辅助线构造出全等三角形并利用角平分线的性质． 8．如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连结并延长交于点，则下列说法中正确的个数是（    ） ①是的平分线；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】①连接NP，MP，根据SSS定理可得△ANP≌△AMP，故可得出结论； ②先根据三角形内角和定理求出∠CAB的度数，再由AD是∠BAC的平分线得出∠1=∠2=30°， 根据直角三角形的性质可知∠ADC=60°； ③根据∠1=∠B可知AD=BD，故可得出结论； ④先根据直角三角形的性质得出∠2=30°，CD= AD，再由三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】①证明：连接NP，MP， 在△ANP与△AMP中， ∵ ， ∴△ANP≌△AMP， 则∠CAD=∠BAD， 故AD是∠BAC的平分线，故此选项正确； ②证明：∵在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°， ∴∠CAB=60°. ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠1=∠2= ∠CAB=30°， ∴∠3=90°−∠2=60°,∠ADC=60°，故此选项正确； ③证明：∵∠1=∠B=30°， ∴AD=BD，故此选项正确； ④证明：∵在Rt△ACD中,∠2=30°， ∴CD=AD， ∴BC=BD+CD=AD+AD=AD,=AC⋅CD= AC⋅AD， ∴=AC⋅BC=AC⋅AD= AC⋅AD， ∴ =1:3，故此选项不正确； 故选C. 【点睛】此题考查角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，作图—基本作图，解题关键在于掌握判定定理和作辅助线. 9．如图，与关于直线对称，为上任一点（不与共线），下列结论中错误的是（    ） A．是等腰三角形 B．垂直平分， C．与面积相等 D．直线，的交点不一定在上 【答案】D 【分析】据对称轴的定义，与关于直线对称，为上任意一点，可以判断出图中各点或线段之间的关系. 【详解】解：∵与关于直线对称，为上任意一点， ∴是等腰三角形，垂直平分，，这两个三角形的面积相等，、、选项正确； 直线，关于直线对称，因此交点一定在上.错误； 故选：D. 【点睛】本题考查轴对称的性质与运用，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等. 10．如图，在和中，，，，交于点，交于点．下列结论：①；②；③．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，可根据题意得出，即可得出判断①；证明得出，进而证明，进而判断②，根据已知条件不能得出，则不一定成立，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，即故①正确； ∵，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴，故②正确； 不能得出，则不一定成立，故③错误； 故选：A． 二．填空题：（本大题共8题，每题2分，满分16分） 11．如图，AD是△ABC的对称轴，∠DAC＝30°，DC＝4cm，则△ABC是 三角形，△ABC的周长＝ cm. 【答案】 等边， 24 【详解】分析：根据轴对称图形的性质得出∠BAC=60°，AB=AC，BC=8cm，从而得出△ABC的性质以及△ABC的周长． 详解：∵AD是△ABC的对称轴∴AB=AC，∠DAC=30°， ∴∠BAC=2∠DAC=60°，  ∴△ABC为等边三角形， ∵DC=4cm，  ∴BC=2DC=8cm，  ∴△ABC的周长=8×3=24cm． 点睛：本题主要考查的是轴对称图形的性质，属于基础题型．根据题意得出△ABC为等边三角形是解题的关键． 12．如图，中，，，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质、三角形的面积公式．过点作于，作于，根据角平分线的性质可得，再由三角形的面积公式计算即可得到答案．熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解此题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，作于， ， ，， ， 是的平分线， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 13．如图，点P为三边垂直平分线的交点，若，，则的度数为 ．    【答案】/度 【分析】根据中垂线的性质，等边对等角进行求解即可． 【详解】解：∵点P为三边垂直平分线的交点， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查中垂线的性质，等腰三角形的判定和性质．熟练掌握中垂线上的点到线段两端点的距离相等，是解题的关键． 14．如图，，的延长线交于，交于，，，，则的度数为 ． 【答案】66° 【分析】根据全等三角形对应角相等可得，再求出，然后根据三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【详解】解：， ， ， 在和中，， 即， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键． 15．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线交于点D，连接．若，，则 ．    【答案】/108度 【分析】根据等腰三角形的性质，可求得的度数，又由题意可得为的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得，则可求得的度数，即可解题． 【详解】解：，， ， 由题知，直线为的垂直平分线， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形性质，垂直平分线性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关性质定理并灵活运用即可解题． 16．如图，在锐角△ABC中，AC＝8，△ABC的面积为20，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是 . 【答案】5 【分析】根据AD是∠BAC的平分线确定出点B关于AD的对称点B′在AC上，根据垂线段最短，过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，根据轴对称确定最短路线问题，点M即为使BM+MN最小的点，B′N=BM+MN，过点B作BE⊥AC于E，利用三角形的面积求出BE，再根据等腰三角形两腰上的高相等可得B′N=BE，从而得解． 【详解】∵AD是∠BAC的平分线， ∴点B关于AD的对称点B′在AC上，过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，如图， 由轴对称确定最短路线问题,点M即为使BM+MN最小的点,B′N=BM+MN， 过点B作BE⊥AC于E, ∵AC=8,S△ABC=20， ∴12×8⋅BE=20， 解得BE=5， ∵AD是∠BAC的平分线，B′与B关于AD对称， ∴AB=AB′， ∴△ABB′是等腰三角形， ∴B′N=BE=5， 即BM+MN的最小值是5. 故答案为5. 【点睛】本题考查最短路径问题，根据轴对称作出辅助线确定最短路径是解决此类问题的关键. 17．如图，在中，，平分，交边上的高于点F．已知，，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查含角的直角三角形，三角形外角的性质，等腰三角形的判定，角平分线定义，由直角三角形的性质求出，由角平分线定义得到，因此，推出，由含角的直角三角形的性质推出，推出，由三角形外角的性质推出，得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：4． 18．如图，在Rt△ABC中，已知∠C=90°，AC=10，BC=4，点P在线段AC上，点Q在AC的垂线AD上，若PQ=AB，则AP= 时，才能使△ABC和△APQ全等． 【答案】4或10/10或4 【分析】本题要分情况讨论：①Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP=BC=4，可据此求出P点的位置；②Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP=AC=10，P、C重合． 【详解】解：∵PQ=AB， ∴根据三角形全等的判定方法HL可知， ①当P运动到AP=BC时，△ABC≌△QPA， 即AP=BC=4； ②当P运动到与C点重合时，△QAP≌△BCA， 即AP=AC=10； 故答案为：4或10． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、HL．由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解． 三．解答题：（本大题共8题，19-23题每题6分，24-26题每题8分，满分54分） 19．已知等腰三角形三边、、长分别为，，，求这个三角形的周长． 【答案】 【分析】此题考查三角形三边关系，等腰三角形的性质，解题关键在于分情况讨论．分情况讨论：若，若，若，分别根据题意求出三角形的边长，再根据三角形的三边关系判断即可． 【详解】解：若，则， 解得：， ， ， 不满足三角形三边关系，舍去； 若，则， 解得：， ， ， 三角形周长为：； 若，则， 解得：， ，不满足三角形三边关系，舍去； 综上，这个三角形的周长为． 20．在边长为1的小正方形网格中，的顶点均在格点上． (1)画出关于直线的对称图形； (2)把向右平移一个单位长度得到，设上一点在对应点为．在对应点为，设到的距离为，则________（用表示）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了轴对称作图，平移的性质和轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质和平移的性质，数形结合． （1）先作出点A、B、C关于的对称点、、，然后顺次连接即可； （2）根据平移和轴对称的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形． （2）解：∵与点P关于对称，到的距离为， ∴到的距离为a， ∵向右平移一个单位长度得到， ∴到的距离为， ∴． 故答案为：． 21．如图：已知OA和OB两条公路，以及C，D两个村庄，建立一个车站P，要求车站到OA，OB两条公路的距离相等，且使为等腰三角形，请作出车站P的位置． 【答案】见解析 【分析】作的角平分线，再以点C、D分别为圆心，CD长为半径画圆，再作线段CD的垂直平分线，角平分线与圆和垂直平分线的所有交点即为P点． 【详解】解：作法步骤： （1）作的平分线； （2）以点D为圆心，CD长为半径画圆，与的平分线的交点为，； （3）以点C为圆心，CD长为半径画圆，与的平分线的交点为，； （4）作CD的垂直平分线，与的平分线的交点为． 答：如图示，点，，，，为所求作的车站的位置． 【点睛】本题考查了尺规作图：角平分线的性质，垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是掌握其性质并会画图． 22．如图，已知△ABC中，∠ACB=，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的平分线，且与CD交于点F， （1）求证：CE=CF； （2）过点F作FG‖AB，交边BC于点G，求证：CG=EB. 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）要得到CE=CF证明∠CFE=∠CEF即可，据已知条件∠CAE+∠CEA=90°，∠FAD+∠AFD=90°，因为AE平分∠CAB，所以∠AFD=∠AEC；因为∠AFD=∠CFE，即可得∠CFE=∠CEF，即得结论CF=CE． （2）过点E作，垂足为点H，如能证得，即可得解． 【详解】解：（1）∵AE平分，∴ ∵，且， ∴∠ACD=∠B ∵∠CFE=∠CAE+∠ACD，∠CEF=∠BAE+∠B ∴∠CFE=∠CEF ∴ （2）过点E作，垂足为点H， ∵AE平分，且 ∴． 又∵，∴ ∵，且FG∥AB， ∴∠CGF=∠B，且，∠CFG=90° 在中， ∵， ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，涉及到直角三角形，等腰三角形、平行线等的性质，是一道综合性题目，比较复杂．解题的关键是熟练掌握所学的知识进行证明． 23．如图，中，，点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边顺时针运动，点M个速度为，点N的速度为，当点M、N第一次相遇时，点M、N同时停止运动，设点M、N的运动时间为秒．    (1)当点M在上时，___________；当点M在上时，___________（用含t的代数式表示）． (2)点N在上时，若为直角三角形，求t的值． (3)连结，当的对称轴垂直平分线段时，直接写出t的值． 【答案】(1)； (2)或5 (3)或或或 【分析】（1）分点M在上和点M在上两种情况求解即可； （2）分点M是的中点和点N是的中点两种情况画图进行求解即可； （3）分四种情况画出图形，列方程进行求解即可． 【详解】（1）解：当点M在上时，，当点M在上时，． 故答案为：，； （2）解：由题意，点N的速度为，， 当时，点N落在上，此时点M也在上． 当点M是的中点时，如图1， 当点M是的中点时， ， 是等边三角形， ， 此时，满足题意，    当点N是的中点时，如图2， ， 此时，满足题意，    综上所述，满足条件的t的值为或5； （3）解：如图3中，当线段的垂直平分线经过点A时，    ， 则， 解得． 如图4中，当线段的垂直平分线经过点B时，    ，， ， ， 解得． 如图5中，当线段的垂直平分线经过点C时，    ， ， 解得． 如图6中，当线段的垂直平分线经过点A时，    ，， ， ， 解得． 综上所述，满足条件的t的值为或或或． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，线段的垂直平分线的性质、一元一次方程的解法等知识，解题关键是学会用分类讨论思想思考问题，学会构建方程解决问题． 24．阅读与思考 下面是森森同学写的一篇数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． ×年×月×日星期四 数学推理真有趣 今天数学课上学习了一个“二推一模型”，意思就是平行线、角平分线和等腰三角形，这三个条件只要已知其中的任意两个，就能推导出第三个． 第一种情况，已知：如图，，CE是的平分线．求证：是等腰三角形． 证明：∵，∴． ∵CE是的平分线，∴． ∴．∴．（依据）∴是等腰三角形． 第二种情况 第三种情况 (1)以上证明过程中，依据是______． (2)请你参照日记中的第一种情况，写出其余两种情况的已知和求证，并选择其中一种进行证明． 【答案】(1)两底角相等，则两腰相等； (2)答案见解析． 【分析】根据角平分线、平行线和等腰三角形的性质和判定解题即可． 【详解】（1）∵．∴．依据是两底角相等，则两腰相等； （2） 第二种情况，已知：如图，是等腰三角形，CE是的平分线．求证：． 证明：∵是等腰三角形， ∴． ∵CE是的平分线， ∴． ∴． ∴． 第三种情况，已知：如图，是等腰三角形，．求证：CE是的平分线． 证明：∵， ∴． ∵是等腰三角形． ∴． ∴， ∴CE是的平分线． 【点睛】本题考查角平分线、平行线和等腰三角形的性质和判定.熟练掌握相关性质和定理是解题的关键． 25．八年级数学兴趣小组开展了测量学校教学楼高度的实践活动，测量方案如下表： 课题 测量学校教学楼高度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 （1）在教学楼外，选定一点； （2）测量教学楼顶点视线与地面夹角； （3）测的长度； （4）放置一根与长度相同的标杆，垂直于地面； （5）测量标杆顶部视线与地面夹角． 测量数据 ，，， 请你根据兴趣小组测量方案及数据，计算教学楼高度的值． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的应用．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 先证明，再证明，得到，即可求解． 【详解】解：，， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， 答：教学楼高度为． 26．画图或计算： （1）如图1，地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口（到A、B、C三个点的距离相等），尽快抓到老鼠，应该蹲守在何处？请在图2中，用尺规作出猫所蹲守的位置点P．（不写作法，保留作图痕迹）. （2）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上． ①在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△AB′C′； ②线段CC′被直线l ； ③在直线l上找一点P，使PB+PC的长最短． 【答案】答案见解析 【分析】（1）根据题意，已知猫应该到三个洞口的距离相等，则此点就是三角形三边垂直平分线的交点． （2）①根据轴对称图形的性质作图； ②根据图象判断即可； ③连接B′C，交直线与点P，此时PB+PC的长最短. 【详解】如图所示：P点为所求．（三条垂直平分线的交点）. (2) ①如图所示： ②垂直平分; ③连接B′C，交直线l与点P，此时PB+PC的长最短， 可得BP= B′P， 则B′C=BP+CP==. 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练的掌握线段垂直平分线的性质. ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$